2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市高新一中高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共11小题，第1-8小题每小题5分，第9-11小题每小题6分，共58分。
1.已知角终边上有一点，则是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知直线、、与平面、，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
3.连掷两次骰子分别得到点数，，则向量与向量的夹角的概率是( )
A. B. C. D.
4.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为天，那么感染人数由个初始感染者增加到人大约需要轮传染？初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染
A. B. C. D.
5.已知函数，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.高三班某天安排节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.设双曲线：的左、右焦点分别为，，以坐标原点为圆心、为半径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线与的左支交于点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
9.已知数列的前项和，则( )
A.
B. 前项和为
C.
D.
10.已知，，分别是三个内角，，的对边，以下四个命题正确的是( )
A. 若，且该三角形有两解，则的范围是
B. 若，则点为的外心
C. 若为锐角三角形，则
D. 存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍
11.如图，正方形的中心为，边长为，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥的外接球表面积为
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 点到平面的距离为
D. 三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，常数项为，则 ______．
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ______．
14.卵形线是由法国天文家引入的卵形的定义：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线若，动点满足，若和是动点的轨迹与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，则的面积为，求，．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
若，求满足条件的最大整数．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为菱形，，，分别是，的中点．
求证：平面；
若，，，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若存在正数，使成立，求的取值范围；
若，证明：对任意，存在唯一的实数，使得成立．
19.本小题分
已知抛物线：，为上一点．
证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切．
若动直线：与相交于，两点，点满足为坐标原点，且直线，的斜率之和为．
求的方程；
过点作的切线，若，求的面积的最小值．
参考答案
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15.解：由，
根据正弦定理，化简得，
因为，
所以，即．
在中，，可得，即，
所以，结合，可得，即；
根据题意，的面积，即，解得，
由余弦定理，可得，结合，整理得，
由组成方程组，解得，或，．
16.解：证明：数列的首项，且满足，
可得，
则，
可得数列是首项，公比为的等比数列；
由，可得，
则，
可得，
由，，，
则满足条件的最大整数为．
17.解：证明：取的中点为，连接，．
点，分别是，的中点，
是的中位线，即，，
在菱形中，，．
，，即四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面．
连接，，
，，，平面，平面，
平面，
又平面，，
，
又，则，，
即直线，，两两垂直，
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，则，得，
取．
则，则，得，
取，
设平面与平面所成角为，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：对求导得．
当时，对有，故在上单调递增；
当时，有，而当时，，
故当时，，当时，，从而在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
若，由于，故存在正数使得，条件满足；
若，则由的结论，知在上单调递增，在上单调递减，
从而此时对任意的都有，条件不满足．
综上，的取值范围是．
证明：令，
则，
因为，所以在区间上单调递减，
，
令，，则，
所以当时，，单调递减，
时，，单调递增，所以当时，，
又，所以，所以恒成立，
又因为，所以．
同理可得，由时等号成立．
又，所以，所以恒成立，
又，，，所以，
所以区间上存在唯一的实数，使得，
所以对任意，存在唯一的实数，使得成立．
19.解：证明：由抛物线方程得抛物线的焦点为，准线方程为，
因为为上一点，所以由抛物线的定义得等于点到的准线的距离，
所以以为圆心且过点的圆与的准线相切．
当时，点，关于轴对称，点，
直线，关于轴对称，成立．
当时，由得，直线的方程为，
将点的坐标代入，可得，则．
联立，消去得，
设，，则，．
因为，
所以，
化简可得，则，
由得，，由得，
故C的方程为．
设直线：，
联立，消去得，
因为与抛物线相切，所以，即，
所以，解得，，故点
设的中点为，因为，
所以，，故E．
因为，所以，，三点共线，且为线段的中点，
所以的面积为的面积的，
由为的中点得，的面积为的面积的，
所以的面积为的面积的．
因为，，
所以．
因为点到直线：的距离，
所以，
当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为．
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