2024-2025学年安徽省智学大联考·皖中名校联盟合肥八中高二下学期期中测试数学试卷（A卷）（含答案）

2024-2025学年安徽省智学大联考·皖中名校联盟合肥八中高二下学期期中测试数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知曲线上一点，记为函数的导数，则( )
A. B. C. D.
3.吹气球时，气球的半径单位：与体积单位：之间的关系式为，则时气球的瞬时膨胀率大约是时气球的瞬时膨胀率的( )
A. 倍 B. 倍 C. D.
4.关于二项式，若展开式中含项的系数为，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线是曲线在处的切线，则的值为( )
A. B. C. D.
6.届高二数学竞赛中对尖端生采用暂时屏蔽措施，某校有、、、、五名屏蔽生总分在前名，现在确定第一、二、五名是、、三位同学，但不是第一名，、两名同学只知道在至名，且的成绩比好，则这位同学总分名次有多少种可能( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则，，的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数和，若对，，使得，则的取值范围．
A. B.
C. ， D. ，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值
10.设，，是三个随机事件，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，相互独立，则
C. 若，则，对立
D. 若，，则
11.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：
下列说法正确的有( )
A. 第行的第个数是
B. 第行的第个数最大
C.
D. 在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有个编号为，，的盒子和个编号为，，的小球，要求把个小球全部放进盒子中，恰有个盒子是空盒的方法共有 种
13.已知离散型随机变量的分布列如下表：
则 ．
14.已知，定义运算@@，其中是函数的导数
若@，设实数，若对任意，恒成立，则的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式展开式中，前三项的二项式系数和是．
求的值
求其二项式系数之和与各项系数之和的差．
16.本小题分
已知函数的图象关于原点对称．
求的值
求函数的极值点．
17.本小题分
甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是请问三人中哪一位投篮水平较高并说明理由
对于事件，，，当时，求证：
(ⅱ)若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有个大小完全相同的小球，其中黑球个，白球个，每次从袋子中随机摸出个球，且摸出的球不再放回若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率．
18.本小题分
已知函数．
当，时，恒成立，求实数的取值范围
证明：．
19.本小题分
一个生产车间有三台设备，假设在一天的运行中，设备，，出现故障的概率分别为，，，其中，每台设备一天最多出现一次故障，各部件的状态相互独立．
若，求车间在一天的运行中，有两台设备出现故障的概率
对于出现故障的设备，车间在当天对其修复，且设备，，的单次维修费用分别为元，元，元，通过计算说明当时该车间每年设备维修费用的均值不超过万元一年按天计算．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为二项式展开式中，前三项的二项式系数和是，所以，
得到，解得．
由二项式性质得二项式系数之和为，
令，可得各项系数之和为，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为．
16.解：定义域：
由已知：函数为奇函数，所以，即，解得．
由得：
当时，因为，所以．
令，解得．
，变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以在上单调递减，在上单调递增．
故当时，有极小值，并且极小值为，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减．
故当时，有极大值，并且极大值为．
综上：有极大值点，极小值点．
17.解：甲投篮水平较高，理由如下：
设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，
依题意，得
解得
因为，，
所以，得证．
记事件“第次摸到白球”为．
由题意可知，，．
由结论，
可得．
故三次都摸到白球的概率为．
18.解：不等式，
令，求导得，
令，，求导得，
而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此
当时，由，得，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是．
证明：由知，当时，，，
取，，
则，而．，
因此
，
所以．
19.解：根据题意设事件为“有两台设备出现故障”，事件为设备出现故障，
事件为设备出现故障，事件为设备出现故障，
若，则设备出现故障的概率为，
设备出现故障的概率为，
设备出现故障的概率为，
则
设每天设备维修费用为，
则的可能取值为，，，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
所以
整理得：，
令，
又设每年设备维修费用的均值是，且，
所以，即，解得或不合题意舍去，
故当时，该车间每年设备维修费用的均值不超过万元一年按天计算．

第1页，共1页