2024-2025学年重庆二十九中高一下期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆二十九中高一下期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.在，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.一组数据，，，，的中位数不小于平均数，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数 D. 若，则
10.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与互斥 B.
C. 事件与相互独立 D.
11.已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有( )
A. 的取值范围是
B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增
C. 在上的最小值不可能为
D. 若的图象关于直线对称，函数，，是常数，有奇数个零点，，，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，与夹角为钝角时，则的取值范围为________
13.已知，是方程的两个实数根，则________．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则 ；若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，B.
求角的值
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知向量，，且
求的值；
求的取值范围；
记函数，若的最小值为，求实数的值．
17.本小题分
为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试根据测试成绩总分分，将所得数据按照，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
求图中的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的百分位数；
试估计本次数学测试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
18.本小题分
每年的月日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
若，求乙恰好有一轮胜出的概率；
若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为．
求，的值；
求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．
19.本小题分
如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”．
对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由；
对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由．
参考答案
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15.解：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
由 ，可得 ，
又为锐角三角形 ，所以，故
由正弦定理得： ，
， ，

，
， ，即 ， ，
， ，即 ．
16.解：．
，
，
，且，
．
由可得，
令，则，
，
其对称轴方程为，
当，即时，
最小值为，
解得舍；
当，即时，
最小值为，
解得舍负；
当，即时，
最小值为，
综上可知，．
17.解：由
，
解得，
设该样本的百分位数为，
因为，，
对应的频率分别为，
所以百分位数在这组数据内，
由题意可得，
解得，
所以该样本的百分位数为；
数学测试成绩的平均值为分
18.解：设事件“第一轮比赛中甲胜出”，
事件“第二轮比赛中甲胜出”，
设事件“第一轮比赛中乙胜出”，
事件“第二轮比赛中乙胜出”，
由题意得，，，相互独立，且，，，．
记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，
又，互斥，
所以，当时，
．
因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为．
事件“甲，乙各有一轮胜出”，
事件“甲，乙两轮都胜出”，
则
，
，
则，解得，．
事件“甲两轮都胜出”，
事件“乙两轮都胜出”，
事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，
，，
．
19.解：函数不是“保三角形函数”，理由如下，
设，
，则，
，
，
，
，
则，
且，
，
故，，不能构成三角形，
不是“保三角形函数”；
函数是“保三角形函数”，理由如下，
，
，
当时，最大，且，
，
当时，最大，
，
综上所述，，，能构成三角形，
所以是“保三角形函数”．
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