2024-2025学年江西省南昌县中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌县中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关数列的说法正确的是( )
数列，，与数列，，是同一数列；
数列的第项是；
数列中的每一项都与它的序号有关．
A. B. C. D.
2.下列函数中，在为减函数的是( )
A. B. C. D.
3.将公比为的等比数列依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，则此数列( )
A. 是公比为的等比数列 B. 是公比为的等比数列
C. 是公比为的等比数列 D. 不一定是等比数列
4.已知曲线在点处切线的斜率为，( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.函数有个零点的充分不必要条件是( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且， D. ，且，
8.已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等差数列的前项和为，已知，，则有( )
A. B. C. D.
10.下面说法不正确的是( )
A. 若不存在，则曲线在点处没有切线
B. 若曲线在点处有切线，则必存在
C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在
D. 若曲线在点处没有切线，则有可能存在
11.设，，且，则下列关系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______
13.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长度为的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点第一段圆弧，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧以此类推，当得到的“蚊香”恰好有段圆弧时，“蚊香”的长度为______．
14.已知正实数，满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求下列函数的导数．
16.本小题分
已知为等比数列．
若，且，求的值．
若，，求的通项公式．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围．
18.本小题分
已知，函数，．
若，求函数的极值；
设，是的导数，是的导数，，图像的最低点坐标为，对于任意正实数，，且，恒成立求实数的最大值．
19.本小题分
若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列．
若为好数列，且，请写出所有可能的取值；
若为好数列，且，求最大的可能值；
证明：对任意的好数列，存在，使得对，都有．
参考答案
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16.解：是等比数列，，
，即．
再由，，为公比，可得；
由，得，即，
代入，得，
又，解得：或．
，，；，，
17.解：因为，故可得，
令，可得或，
当时，，此时在上单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和单调递增，在单调递减；
当时，在和单调递增，在单调递减．
由可知：当时，在单调递减，
在单调递增，
又，，故在单调递减，在单调递增．
则的最小值；
又，
当时，的最大值，
此时；
当时，的最大值，
此时，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以；
所以的取值范围为．
18.解：当时，，
，，
当时，，当或时，，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
在处取得极大值为，
在处取得极小值为．
由题意，得，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，解得，
所以．
又恒成立，
设
，
所以，
令，则，即
，
因为，
所以在上单调递减，
所以，
所以，所以实数的最大值为．
19.解：若无穷正整数数列满足递推关系，则称数列为好数列，
，则，或，
当时，；当时，或，
综上，，或，
因为，故，故，故，
，
故，
故．
此时，经检验满足要求．
故最大为
由于为正整数列，故其中必存在一项为整个数列中最小的正整数，设其为．
若为奇数，则，得到，故归纳可得此时为常数列，满足题意．
若为偶数，则为奇数，故得到．
故或．
若，则，且，
取，对，都有，满足题意，
若则，且，
取，对，都有，满足题意，
综上所述，存在，满足题意．
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