2024-2025学年天津市河西区高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市河西区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导错误的是( )
A. B.
C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
5.用这个数字可以设置成种不同的位银行卡密码．
A. B. C. D.
6.已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 有个极值点
B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值
D. 在上单调递减
7.已知的展开式中的系数为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看哪吒，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，为的导函数，则
曲线在处的切线方程为；
在区间上单调递增；
在区间上有极小值；
在区间上有两个零点，
上述个结论中，正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知函数的极值点为，则 ______．
11.在的展开式中，常数项为______．
12.根据天津市高考政策，高一班李想同学要在第二学期结束前完成高考选科，即在物理、化学、生物学、历史、地理和思想政治这门等级性考试科目中选择门参加考试，他要报考武汉大学的金融学专业，并且在刚刚发布的年拟在津招生高等学校专业选考科目要求目录中明确指出此高校专业的选考科目要求是历史学科，再综合自己的学习特点，必须选择物理和化学学科其中的门，满足上述条件的选科方法数为______种
13.曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为______．
14.已知，则 ______．
15.已知，，且，那么在，，，，，，这个函数值中选取个，使得它们的乘积不大于的选取方法数为______种
三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
求的值；
求展开式中的系数．
17.本小题分
已知函数，．
求曲线在处的切线方程；
若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值．
18.本小题分
用这六个数字可以组成没有重复的．
Ⅰ三位数有多少个？
Ⅱ四位偶数有多少个？
Ⅲ能被整除的四位数有多少个？
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ判断函数的单调性，并求出函数的极值；
Ⅱ求函数在区间上的最大值与最小值；
Ⅲ求出方程的解的个数．
20.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，若为函数的正零点，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：由已知的展开式中的所有二项式系数之和为．
由题意可得，，
解得．
，故二项展开式的通项为，
由，得．
展开式中的系数为．
17.解：因为，所以，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
由可得：曲线在点处的切线方程为，
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，从而．
18.解：Ⅰ百位不为，三位数有个；
Ⅱ个位为，有个；
个位为，有个；
个位为，有个，
则共有个四位偶数；
Ⅲ根据分类计数原理，
当个位为，有种；
当个位为，千位不能取，有种取法，十位和百位有种取法，共有种取法，
则共有种取法．
19.解：Ⅰ因为函数的定义域为且，
当时，解得，列表得：
单调递减 极小值 单调递增
因此，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值为，没有极大值．
Ⅱ由Ⅰ可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
并且，，，
因此．
Ⅲ因为当时，时，，且时，，
所以当时，有个解；
当或时，有个解；
当时，有个解．
20.解：函数的定义域为，，
当即时，，函数单调递增，此时增区间为，没有减区间；
当时，由可得：
函数的减区间为，增区间为；
当时，由可得：
函数的减区间为，增区间为；
证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，
可知，等价于，
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，
则，
可得函数单调递减，则，
可得当时，，
故有，即得证．
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