2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中数学试卷（B卷）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高一（下）期中
数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.李善兰是中国近代著名数学家，辅助角公式是他提出来的一种三角公式，其主要作用是将多个三角函数化成单个三角函数辅助角公式的正弦型为：，下列判断错误的是( )
A. 当，时，辅助角
B. 当，时，辅助角
C. 当，时，辅助角
D. 当，时，辅助角
3.如图是根据某港一天中记录的潮汐高度与相应时间的有关数据绘制的简图，若选择函数来近似刻画与之间的关系，则此函数可以是( )
A. B.
C. D.
4.已知下列命题，其中假命题有( )
A. 要得到函数的图像，需把函数的图像上所有点向左平行移动个单位长度．
B. 已知函数，当时，函数的最小值为．
C. 已知角、、是锐角的三个内角，则点在第二象限．
D. 对任意角，均有：．
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.函数的单调递减区间是______．
6.若，则 ______．
7.若为第一象限角，则 ______．
8.函数其中为奇函数，则 ______．
9.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______．
10.定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是______．
11.已知，则的值为______．
12.已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为______．
13.锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知且，则的取值范围是______．
14.在中，若，且，则的周长为______．
15.已知，，分别为三内角的对边，且，若，角的平分线，则的面积为______．
16.已知，若命题：“存在，使得”是假命题，则满足条件的有序实数对为______写出所有可能的结果
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边．
若，求：的大小；
若边上的高等于，且，求：的取值范围；
18.本小题分
某休闲农庄有一块长方形鱼塘，米，米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊、和，考虑到整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且．
设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
经核算，三条走廊每米建设费用均为元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
19.本小题分
已知函数．
化简的解析式，并写出函数的最小正周期；
求函数的单调增区间；
用五点法画出函数，的图像；若函数在内有两个相异的零点，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围；
若函数在上恰有个零点，求的取值范围．
21.本小题分
若函数满足且，则称函数为“函数”．
试判断是否为“函数”，并说明理由；
函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；
在条件下，当，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．
参考答案
1. 2. 3. 4.
5.，，
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.解：在中，，，，
在中，，，，
．
又，
，
．
当点在点时，这时角最小，此时；
当点在点时，这时角最大，求得此时．
故此函数的定义域为；
由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可．
由得，，，
设，则，
由，
又，得，
，
从而当，即时，，
所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．
19.解：由函数，
所以函数的最小正周期为．
解：由知，
令，解得，
所以函数的单调递增区间．
解：由，可得，
列表：
描点、连线
由函数在内有两个相异的零点，
即在内有两个相异的实根，
即和的图象在内有两个不同的交点，
因为，可得，
当时，即，可得；
当时，即，可得；
当时，即，可得，
要使得和的图象在内有两个不同的交点，
结合图象，可得，解得，
即实数的取值范围为．
20.解：
，
由，
所以函数的单调递减区间为；
因为不等式在上恒成立，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即；
，
由，得，
因为函数在上恰有个零点，
所以，解得，
所以的取值范围为．
21.解：不为函数，理由如下：
因为，所以函数的周期为，
又因为，所以函数的图象关于对称，
因为的周期为，
当时，，
所以的图象不关于对称，
不是“的函数”；
由可得，
又因为的周期为，
当时，，，
当时，，，
综上：
，中，
当时，，，此时单调递增区间为，
，中，
当时，，，
则，
当，即时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调递增区间为，；
由知：函数在上图象为：
当或时，有个解，由对称性可知：其和为，
当时，有个解，由对称性可知：其和为，
当时，有个解，其和为，
所以．
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