2024-2025学年福建省厦门市双十中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省厦门市双十中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与共线，则实数( )
A. B. C. D.
3.用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形已知，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是( )
A. 有一个角是的等腰三角形 B. 等边三角形
C. 三边均不相等的直角三角形 D. 等腰直角三角形
6.已知，为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.设内角，，的对边分别为，，，已知，，，的平分线交边于点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
8.点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形包括边界内运动．若面，则的长度范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列选项中正确的是( )
A. 复数是纯虚数，，则或
B. 若，则的最大值为
C. 若，则
D. 若是关于的方程的一个根，则
10.已知是边长为的等边三角形，，分别是，上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量的模长为
11.已知三棱柱的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球的表面上，侧面的面积为，则下列四个结论正确的有( )
A. 若的中点为，则平面
B. 若三棱柱的体积为，则到平面的距离为
C. 若，，则球的表面积为
D. 若，则球体积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正方形的边长为，点是边上的中点，点是边上靠近的三等分点，则 ______．
13.如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台状模具，它的高为，下底部直径为，上面开口圆的直径为，现用此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原来液态状态下体积的倍模具不发生变化，现用直径为的圆柱形容器量取液态原料不考虑损耗，则圆柱形容器中需要注入液态原料的高度为______．
14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设，且，则可推出______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位．
求；
若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，为中点，
求证：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，，在下列三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并求解下面的问题．
；
；
．
求；
若是的中点，，求的面积．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
求证：平面；
求和平面所成的角的大小；
求二面角的正弦值．
19.本小题分
某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角已知，．
当，重合时，求路灯在路面的照明宽度；
求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．
参考答案
1.
2.
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4.
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10.
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13.
14.
15.解：因为复数，
所以；
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以，解得，．
16.证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，
因为，所以，
因为平面，所以，
因为，，所以，
又，、平面，
所以平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，即点到平面的距离为，
在等腰直角中，，
故点到平面的距离为．
17.解：选：由正弦定理，
，
可得分
分
由余弦定理的推论分
，
分
选，
由正弦定理，得：，分
分
分
，
即分
，
分
选
因为由正弦定理，
所以分
分
分
分
解法：向量法由已知得，分
两边平方得，
即分
，即分
解得或舍分
所以分
则分
解法：余弦定理
因为与互补，分
所以，分
又由余弦定理，
化简得解得或舍，分
所以，分
则分
18.解：证明：因为底面，
平面，故CD，
因为，，
所以平面，又平面，
所以，
由，，
可得，
因为是的中点，所以，
又，
所以平面；
因为底面，平面，故，
又，，
所以平面，
故在平面内的射影为，
从而为和平面所成的角，
在中，，故，
所以和平面所成的角的大小为．
过点作，垂足为，连接，如图所示，
由知，平面，
则在平面内的射影是，
则可证得，
因此是二面角的平面角，
由已知可得．
设，可得，，，．
在中，因为，
所以，
则．
在中，．
所以二面角的正弦值为．
19.解：当，重合时，
由余弦定理知，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
在中，由正弦定理可知，，解得；
易知到地面的距离，
由三角形面积公式可知，，
所以，
又由余弦定理可知，，
当且仅当时，等号成立，
所以，解得；
答：路灯在路面的照明宽度为；照明宽度的最小值为．
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