2024-2025学年广东省广州四中等三校联考高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州四中等三校联考高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式是，则是该数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.在数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
4.在送课下乡支教活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名教师到三所薄弱学校支教，每所学校至少安排一名教师，且甲、乙两名教师安排在同一学校支教，丙、丁两名教师不安排在同一学校支教，则不同的安排方法总数为( )
A. B. C. D.
5.若的展开式中，只有第项的系数最大，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
6.记为等差数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
7.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
8.设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. 数列是递增数列 B.
C. 当取得最大值时， D.
10.已知，则( )
A. 的值为
B. 的值为
C. 的值为
D.
11.在年，我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第行开始，第行从左至右的数字之和记为，如：，，，的前项和记为，依次去掉每一行中所有的构成的新数列，，，，，，，，，，，记为，的前项和记为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的前项和为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.将，，，，这个数填入如图所示的格子中要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数，记第行中最大的数为，第行中最大的数为，第行中最大的数为，则的填法共有______种用数字作答
14.对任意，函数恒成立，求的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极小值，且极小值为．
求，的值；
求在上的值域．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，．
求证：四边形是直角梯形．
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求，并证明数列是等差数列；
求数列的前项和为；
若，求正整数的所有取值．
18.本小题分
已知椭圆过点，焦距为过作直线与椭圆交于、两点，直线、分别与直线交于、．
求椭圆的标准方程；
记直线、的斜率分别为、，证明是定值；
是否存在实数，使恒成立若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在曲线上的点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若有两个极值点，，证明：．
参考答案
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15.解：由题意可得，
因为在处取得极小值，且极小值为，
所以，解得，
此时，满足在处取得极小值，
故．
由得，，
当时，令解得，令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，
又因为，所以在上的最小值为，
故在上的值域为．
16.证明：平面，、平面，，．
，．
又，，得 ．
又，、平面 ，平面，
又平面，则．
又，又，四边形是直角梯形．
解：过作的垂线交于点．
平面，、平面，，．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系．
则 ，，，，．
为的中点，．
，
设平面 的法向量为，则，
令 ，得 ．
设直线 与平面 所成的角为，．
直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：当时，，解得；
证明：，
当时，，
可得，即，
，又，
数列是首项与公差都为的等差数列；
由得，即，
，
，
由得，
；
由可得，，
，，即，
令，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，
又，，
，，
要使，即，
故正整数的所有取值为，，．
18.解：因为椭圆过点，焦距为，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
证明：设，
直线的斜率一定存在，设为，
则，消去，得，
，
则，
故
，
故是定值；
设存在实数，使恒成立，
由，可得，
由，可得，
设到直线的距离为，到直线的距离为，
则，
因为，所以，
把代入并化简可得，
由可知，则，
代入上式可得，所以．
19.解：由题可知，当时，，
，
，，
切点为，切线的斜率为，
切线方程为：，即．
对函数求导可得，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则，，
令，则，或，
令，则，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
证明：有两个极值点，，
，是方程的两个不等实根，
则，，，
，
要证：，
即证：，
不妨设，即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：对任意的恒成立，
令，，
则，
从而在上单调递减，
故，
所以．
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