2024-2025学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市顺义一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个球的表面积为，则该球的半径为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的直观图，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以为( )
A. B.
C. D.
6.在中，，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.在中，“”是“为钝角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则( )
A.
B.
C.
D.
9.如图某实心零部件的形状是正四棱台，已知，，棱台的高为，先需要对该零部件的表面进行防腐处理，若每平方厘米的防腐处理费用为元，则该零部件的防腐处理费用是( )
A. 元
B. 元
C. 元
D. 元
10.平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基若，则将有序实数对，称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为设，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知在中，：：：：，则等于______．
12.如图是以为圆心的一个圆，其中弦的长为，则 ______．
13.设函数若对任意实数都成立，则的值可以为______答案不唯一，写出一个满足条件的值即可
14.已知，，，若，则实数 ______．
15.已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍给出下列结论：
设圆柱与圆锥的体积分别为、，则；
设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则；
设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则；
设圆柱与圆锥表面积分别为、，则．
其中正确结论的是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知向量和，则，，，求：
的值；
的值；
求向量在方向上的投影向量．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若，求直三棱柱的体积和表面积．
19.本小题分
在中，．
Ⅰ求；
Ⅱ从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高．
条件：，；
条件：，的周长为；
条件：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的最小正周期以及单调递增区间；
Ⅱ若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称，
求的最小值；
若函数在区间上存在零点，求的取值范围．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
已知，，求；
已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
在中，，，角的平分线与交于点，且，若，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，符合即可，且为正值
14.
15.
16.解：Ⅰ，
所以函数的最小正周期；
Ⅱ因为，所以，
令，即，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
且，，，
所以，
所以在区间上的最大值，最小值．
17.解：，
；
，
；
设与的夹角为，
，
，
故向量在方向上的投影向量为：
．
18.Ⅰ证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，，
因为四边形为平行四边形，为的中点，
所以，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
Ⅱ因为，所以为直角三角形，
所以，
所以；
．
19.解：Ⅰ由正弦定理可得，
所以，因为，所以，即，所以，
因为，所以，即可得；
Ⅱ选择，，，由余弦定理可得，
即，
解得或，所以该三角形不唯一，不符合条件；
选择，因为，，所以，
由余弦定理，即，
即，解得，所以，所以，最长边为，
设高为，，
选择，由正弦定理得，，则，
因为，所以，因为，所以，所以，
在中，最长边为，设高为，．
20.解：Ⅰ函数
，
所以最小正周期，
令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，；
Ⅱ由题意可得，
又因为函数的图象关于对称，
所以，，，
解得；
由可得，
因为，
所以，所以，
则，
令，
可得，所以．
所以的范围为．
21.解：因为，
由向量的“相离度”定义，，
则；
证明：因为
，
且，，
则，
所以．
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
因为角的平分线与交于点，
则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，
则，
，
，
可得，
所以．
第1页，共1页