2024-2025学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市邗江中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
3.直三棱柱中，，，则与所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
4.如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 是函数的极值点
C. 是函数的极小值点
D. 函数在区间上单调递减
5.高一班某组有人，组长安排值日生，其中人负责擦黑板，人负责教室内地面卫生，人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若函数在处取得极小值，则实数( )
A. B. C. 或 D.
7.已知的展开式共有项，则下列说法中正确的有( )
A. 展开式所有项的系数和为 B. 展开式二项式系数最大为
C. 展开式中没有常数项 D. 展开式中有理项共有项
8.若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. D.
10.已知正方体的棱长为，点，分别为，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 二面角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
11.已知函数为常数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为
B. 若有个零点，则的取值范围为
C. 当时，是的极大值点
D. 当时，有唯一零点，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中有三点，，，则到直线的距离为______．
13.已知的展开式的二项式系数和为，各项系数和为，则实数的值为______．
14.已知函数，若有三个零点，，，其中，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，求：
的值；
的值．
16.本小题分
为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了名女生和名男生共名优胜者赛后，名同学站成一排，照相留念．
女生必须站在一起的站队方式有多少种？
男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？
现在要求这名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？
17.本小题分
已知函数．
若，求在处的切线方程；
当时，函数在上的最小值为，求实数的值．
18.本小题分
如图，在中，，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥．
求证：平面；
若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离；
当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
已知，，函数，．
当时，求的极值；
若存在零点．
当时，求的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：已知，
由，得，则，
取，即，得．
对两边求导，
得，
取，得．
16.解：名女生和名男生共名优胜者，赛后，名同学站成一排，照相留念，
女生必须站在一起的站队方式有：种种不同的站队方法．
男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种类型，
甲站两端有：种不同的站队方法．
甲不站两端，先选出名女生和甲排列，甲在中间，共有种，把三个人看着一个整体，和剩下的名同学全排列，
所以站队方式有种，
共有：种不同的站队方法．
先将个女生分成三组，有种方法，
再将三组女生分到三个年级有种，
再将三组男生分到三个年级有种，
根据分步乘法计数原理，所有情况共种．
17.解：当时，，
则，所以，而，
所以函数在点处切线方程为，
即．
函数，则，，
当时，，函数在上单调递增，
，解得，矛盾，
当时，由，得，函数递减；
由，得，函数递增，
因此，解得，从而，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，矛盾，
所以．
18.解：证明：在四棱锥中，
，而平面，平面，
所以平面
由，，得，折叠后，在四棱锥中，，，
由二面角是直二面角，即平面平面，
平面平面，，平面，平面，
平面，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面法向量为，
则，则，
令，得，
所求点面距为．
以直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，，，显然，
，
，得出，则，
则，
点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形，
则，
即，且且，
即，
平面的法向量为，设直线与平面所成角为，
，
则，
令，函数在上递减，，
因此，则，
解得，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．
19.解：时，，
当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值．
当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增，
函数的极小值是，无极大值．
当时，因为函数存在零点，故有解，
若，此时无解，所以，有解，，
若，单调递增，，此时不存在零点；
若，令，，，
由零点存在定理可知存在，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，解得，故，
即的取值范围是．
证明：因为函数存在零点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故．
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
，所以，
时，要证，只需证，
即证，
令，，则，
令，，故，在上为增函数，故，
即，在上为增函数，
故，故，即成立．
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