2024-2025学年广东省广州市庆丰实验学校高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市庆丰实验学校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.函数的单调增区间是( )
A. B. C. D.
4.一个等比数列前项的和为，前项的和为，则前项的和为( )
A. B. C. D.
5.将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知数列是递增数列，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若函数的定义域为，对于，，且为偶函数，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙譬如松果和凤梨的排列、向日葵花瓣数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，，则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，若，则 ______．
13.的展开式中的系数为______．
14.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
高考改革新方案新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理门科目中选取门作为选考科目某校为了解高一年级学生选科方案的意向，对高一班名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生
女生
利用排列组合和古典概型的知识解决以下问题：
求从名男生中随机选出名有______种情况，人中恰好有人选“物理、化学、生物”组合有______种情况，人中恰好有人选“物理、化学、生物”组合的概率等于______．
已知名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”种选科方案若从名女生中随机选出名，求人选科方案不同的概率．
16.本小题分
已知函数．
若，，求函数的单调递增区间．
若，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知数列中，，．
证明：数列为等比数列；
求的通项公式；
令，证明：．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性；
Ⅱ若有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
数列满足：，．
求的值；
求数列的前 项和；
令，，证明：数列的前项和满足．
参考答案
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16.解：由题意得：，，时，，
，
令，解得：，
故在递减；
时，，
不等式在恒成立，
即在区间恒成立，
令，则，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
故．
17.解：由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由得，
解得：．
令，
因为在上单调递增，
则．
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，
且，
故得．

18.解：Ⅰ由，
可得，
当时，，由，可得；由，可得，
即有在递减，在递增；
当时，令，得或，
若，则恒成立，即有在上递增；
若时，由，可得或，
由，可得，
即有在，递增，在递减；
若，由，可得或，
由，可得，
即有在，递增，在递减．
Ⅱ
由Ⅰ可得当时，在递减；在递增，
又，，；，，
所以有两个零点；
当时，，所以只有一个零点；
当时，
若时，在递减，
在，递增，
又当时，，所以不存在两个零点；
当时，在，单调增，
在单调减，
只有等于才有两个零点，
函数在上至多存在一个零点，不合题意；
当时，在上递增，所以至多有一个零点，不符题意．
综上可得，有两个零点时，的取值范围为．
19.解：，．
，，
解得，
，．
，．
两式相减得，，
则，，
当时，也满足，
，，
则；
，，
数列是公比，
则数列的前项和．
，
，，，
，
，
设，，
则．
即在上为增函数，
，即，
，且时，，
，即，
，，，，
即，
，
即．
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