2024-2025学年上海市虹口区复旦大学附属复兴中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市虹口区复旦大学附属复兴中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，是为等腰三角形的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.函数是( )
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
3.下列命题中，真命题的个数为( )
若角的终边经过点，则
同时满足的角
不存在角和使得等式成立
任意的角和都满足等式
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知函数的定义域为，将的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：，，，，对于正整数有如下两个命题：
甲：；
乙：恒成立，则( )
A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为______．
6.是第______象限角．
7.若函数其中常数的最小正周期为，则的值为______．
8.当手表的分针转过分钟时，转过的弧度数是______．
9.在中，已知：：：：，则该三角形最小角的余弦值为______．
10.已知，则 ______．
11.函数的振幅是，频率是，初始相位是，则它的解析式为______．
12.若函数的图象关于直线对称，则实数 ______．
13.“无字证明” ，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：______．
14.下列条件判断三角形解的情况，正确的是______填序号；
，，，有两解
，，，有一解
，，，无解
，，，有一解
15.已知，若方程在上只有个不同实根、、、，则的取值范围为______．
16.已知，，函数，对任意正整数，有，且集合的元素个数为，则满足要求的的取值集合 ______．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知角和满足．
若，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
若，求；
若的面积，求．
19.本小题分
为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案：让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．
方案：让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调减区间；
设方程在内有两个相异的实数根、，求实数的取值范围及的值；
若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式例如：由可得切比雪夫多项式．
求；
若切比雪夫多项式，求的值；
已知函数在上有个不同的零点，分别记为，，，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.三
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，可得，
，解得或．
，可得，
即，
故．
18.解：由，得，
由正弦定理有，，，；
由的面积，，
，，
当，由余弦定理得，，
当，由余弦定理得，，
或．
19.解：选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
在直角中，设，则，，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
由，可得，
当，即时，
平方米
所以，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米；
选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
过点作的垂线分别交，于，，
由对称性可知，平分，
在直角中，设，则，，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
，
由，可得，
当，即时，平方米，
因此，当时，活动场地面积取得最大值为平方米．
20.解：
．
当时，，
由，得，．
当时，求函数的单调减区间为，．
方程在内有两个相异的实数根、，
即在内有两个相异的实数根、，
也就是在内有两个相异的实数根、，
当时，，即在内有两个相异的实数根、，
如图：
由图可知，，即，此时．
若对任意实数，恒成立，
则恒成立，即恒成立，
令，则恒成立．
可得，即．
实数的取值范围是．
21.解：因为，
可得切比雪夫多项式，
因为
，
因此，
即，
则，，，
所以．
函数在上有个不同的零点，，，
即方程在上有个不同的实根．
令，，
即，
由知，而，
所以或或，
所以，，，
则，
而，
所以，
．
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