2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市金陵中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，且满足，则( )
A. B. C. D.
3.设，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，则塔高为( )
A.
B.
C.
D.
5.若，，则( )
A. B.
C. D.
6.在中，，，，若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若函数其中在上恰有个零点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知点在所在平面内一点，则( )
A. 若为中点，，则是在方向上的投影向量
B. 若，则面积比
C. 若，，的夹角两两相等，，，则
D. 若为边长为的正三角形，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围为
11.在中，角，，的对边分别为，，，有如下判断，其中正确的是( )
A. 若，则为等腰直角三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. “”是“为等边三角形”的充要条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为______．
14.数学语言是一门神奇的语言，比如对于任意的，，，，恒有不等式，这其实就是柯西不等式，但是换个角度，如果设向量，向量，上述不等式又可以表示为______用向量，表示，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”带着这样多角度的眼光，请大家解决下面的问题：已知，若存在，当时，都有，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，，向量，，，且，．
求；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知复数，，其中．
若，且为纯虚数，求复数；
若为虚数，为实数，且，求实部的取值范围．
17.本小题分
为了防止水鸟偷吃行知楼池塘的鱼儿，学校拟制作一个保护网，如图，，是固定的框架，，是的角平分线，的长为米，过点安装另一直线型横架分别在，上，围成安全区，由于池塘大小限制，、都不超过米设长为米，长为米．
将表示成的函数，并求其定义域；
若边上挂网的造价为百元米，边上挂网的造价为百元米，当两侧拦网和的总造价最低时，横架的长度为多少？
18.本小题分
已知函数．
求的对称中心；
若，求的值；
记，集合，试判断集合中最多有几个正整数元素，并求正整数元素最多时实数的取值范围．
19.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，．
记的面积为，且满足．
求角；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
对于，若存在，使得，，则称为的伴随三角形若存在伴随三角形，试求出三个内角中的最大值．
参考答案
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15.解：由，，
可得且，
解得，，
即，，
则，
则；
由知，，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16.已知，则．
，
因为为纯虚数，可得．
解得所以．
设，且．
则．
可得：．
所以．
因为为实数，所以虚部为，即．
因为，可得，即．
此时．
又因为，即，可得，
故实部的取值范围为
17.解：由等面积法知，，
即，即，
所以，解得，
要求函数的定义域，则需满足，解得，
所以函数的定义域为．
由知，所以，
所以总造价为，
当且仅当时取等号，此时，
所以在中，由余弦定理得：
．
解得米．
18.解：，
令，可得，
可得的对称中心为；
因为，
又，
可得，可得，
可得；
因为
，
又
，
可得，
可得，
可得
，
又，则，，
可得，
可得，
设，则，，
因为，一次函数单调递减，
而函数在时单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，在上单调递减，
所以，
最后根据正整数解的个数确定的取值范围，
若区间中包含个整数解：
要使区间包含个正整数解，则且，
解，两边平方得，即，；
解，两边平方得，即，，此时无解，
若区间中包含个整数解：
有两种情况：
情况一：且，
解，两边平方得，则；
解，两边平方得，即，，取交集得，
情况二：且，
解，两边平方得，即，；
解，两边平方得，即，此时无解，
故集合中最多个正整数解，此时的取值范围为．
19.解：的面积为，由，
得，
整理得，
由正弦定理得，
即，又，
所以，又，所以．
由得，
由锐角三角形得，
而，
当时，最小值为；当时，最大值为，
所以的取值范围是．
对于一般情况有或，
不妨设，
由，得，
则，
根据三角形内角和可得，，
所以，解得．
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