2024-2025学年北京市朝阳区青苗学校高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区青苗学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某女生有件不同颜色的衬衣，件不同花样的裙子，另有套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知函数，则的导函数为( )
A. B.
C. D.
3.名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，若每个项目都有人报名，每人限报个项目，则不同的报名方式有种
A. B. C. D.
4.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D. 和
5.设，为两个事件，若，，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量的分布规律为，则( )
A. B. C. D.
7.二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
8.已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击次后，恰好命中两次的概率是( )
A. B. C. D.
9.如图所示是的导函数的图象，下列个结论：
在区间上是增函数；
是极小值点；
在区间上是减函数；在区间上是增函数；
当时，在区间上取得最大值．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
10.已知两个正态分布的密度函数图像如图所示，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知随机变量的分布列如下表；且，则 ， ．
12.若函数，则曲线在点处的切线方程为_______．
13.如果，那么等于 ．
14.设是一个离散型随机变量，其分布列为如下，则 ．
15.将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续次正面的概率给出下列四个结论：
；
；
当时，；
．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程是
求函数的解析式
求函数的单调区间与极值．
17.本小题分
抽样检查是日常检测中常用的方法．某商场进了一种商品件，其中有件次品，若从中抽取件．
抽出的商品中无次品的抽法有多少种？
抽出的商品中全是次品的抽法有多少种？
抽出的商品中至多有件次品的抽法有多少种？
18.本小题分
已知，．
求的值；
求的值；
19.本小题分
某工厂生产一种产品，产品等级分为一等品、二等品、普通品，为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取件产品进行等级检测，检测结果如下表所示．
产品等级 一等品 二等品 普通品
样本数量件
若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为一等品的概率；
从该流水线上随机抽取件产品，记其中一等品的件数为，用频率估计概率，求随机变量的分布列和数学期望；
为拓宽市场，工厂决定对抽取的件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了元．设降价前后这件样本产品的利润的方差分别为，，比较，的大小．请直接写出结论
参考答案
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16.由题意可知，
由，则，
已知函数图像在处的切线方程是，即，
所以，
解得，
的解析式为：，
综上所述，的解析式为；
由可知，的解析式为
则，
令，解得或，
令，解得或，
则函数在和上单调递增
令，解得，则函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，；在处取得极小值，，
综上所述的单调增区间为和，的单调减区间为，
极大值为，极小值为．
17.由题意，共有件非次品，则抽出的商品中无次品的抽法有种；
由题意，抽出的商品中全是次品的抽法有种；
由题意，抽出的商品中至多有件次品的抽法有种
18.因为，，
令得，．
因为，，
令得，，
令得，，
上述两个等式相减得，故．
19.解：Ⅰ根据题意，样本共有件，其中一等品有件，
则其概率；
Ⅱ根据题意，，
则，
，
，
；
其分布列为：


则有，
Ⅲ根据题意，每件产品的销售价格均降低了元，产品的平均售价也降低了元，
则．
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