2024-2025学年重庆市大一名校联盟高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市大一名校联盟高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.在中，在线段上且，设，，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，满足，，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.北京大兴国际机场如图所示坐落于北京市大兴区与河北省廊坊市交界处，是民航最高等级的级国际机场及世界级航空枢纽．其创新性的“五指廊”放射状航站楼设计不仅优化了旅客流线，更以“凤凰展翅”的造型成为彰显中国基建实力的地标性建筑．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东方向上，在天安门北偏东的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为( )
参考数据：，，
A. B. C. D.
5.下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是( )
A. B.
C. D.
6.已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.是边长为的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若在区间上单调，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数
10.已知复数，，，下列说法正确的有( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的最大值是
D. 的周长的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知复数满足，则的最小值为 ．
14.设为的外心，若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，的夹角为，且，，求与的夹角；
已知向量，求与向量垂直的单位向量的坐标．
16.本小题分
在中，设角，，所对的边分别是，，，已知．
求角的值；
若，的面积为，求的周长．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
求；
求的值．
18.本小题分
已知函数，其相邻两个对称轴之间的距离为．
求函数的解析式；
若当时，的值域为，求实数的取值范围．
设，若函数在上有两个不同零点，，求实数的取值范围．
19.本小题分
在中，设角，，所对的边分别是，，，且满足．
求角；
若，求面积的最大值；
求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：平面向量，的夹角为，且，，
由平面向量数量积定义可知，
因而，
所以，，
由平面向量夹角的范围为，可知与的夹角为
设与向量垂直的单位向量的坐标为，
则，解方程组可得或，
所以与向量垂直的单位向量的坐标为或
16.解：由余弦定理可得，
且，故．
由三角形的面积公式可得，可得，
由余弦定理可得
，
故，
因此，的周长为．
17.解：由题意可知，，，，，
所以，，
；
，
，

，
由，得，
又因为，
则，
所以．
18.解：，
，
，
；
当时，则，
若，即，
则，解得，
所以实数的取值范围为；
由函数单调性可知，
在上单调递增，函数值从增大到，
在上单调递减，函数值从减小到，
函数在的图象，如图，
由，得，函数在上有两个不同零点，
即直线与函数在的图象有两个公共点，
此时，
，
所以的取值范围是

19.解：因为，
根据正弦定理得，
且，
可得，
即，
又因为，则，
可得，整理可得，
且，则，
可得，解得．
由余弦定理得，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立．
所以的面积为：，
故面积的最大值为．
由，由余弦定理得，所以，
根据正弦定理得
，
令，则，
可得，
将原式化为，
因为，则，可得
根据二次函数的图像性质，可得：
当时，原式取得最小值，；
当时，原式取得最大值，．
综上所述，的取值范围为．
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