高三最后50天1天1练-15
姓名：___________班级：___________日期：___________
一、单选题
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A． B．2 C．2或 D．不确定
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026高三·全国·专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2026高三·全国·专题练习）由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的有（ ）
A．120个 B．30个 C．36个 D．48个
二、填空题
8．（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
三、解答题
9．（2026高三·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求b的取值范围．
10．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与交于，两点，当直线垂直于时，．
(1)求的方程；
(2)若的内切圆的半径为，求直线的方程．
《高三最后50天1天1练-15》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B B C A C C
1．A
【分析】先求出，再由可得，解不等式即可得出答案.
【详解】由题意知，所以，解得：，
由可得：，解得：，
所以，
又，所以，所以解得，
即的取值范围是.
故选：A.
2．B
【分析】过点A作切线，过点B作切线，连接，得到直线，根据导数的几何意义以及斜率的定义结合图象即可得出答案.
【详解】
如图过点A作切线，斜率设为，过点B作切线，斜率设为，连接，得到直线，斜率设为，由图可知，.
又根据导数的几何意义以及斜率的定义可知，
，，
所以.
故选：B．
3．B
【分析】方法一：由条件可得，再由同角三角函数的平方关系代入计算，分别取得，即可得到结果；方法二：将原式平方，然后化为齐次式，即可得到结果.
【详解】方法一：因为且，
所以，
整理得，
所以，
所以，所以，所以．
方法二：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：2
4．C
【分析】利用单位向量的定义结合数量积的定义求出，，，最后利用数量积的定义求解夹角即可.
【详解】因为是夹角为的单位向量，，，
所以，
，
而，故，
，故，
所以，
而，解得，
则向量与的夹角为，故C正确.
故选：C
5．A
【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可得结论.
【详解】因为为减函数，所以，
又因为为增函数，所以，
所以．
故选：A．
6．C
【分析】根据给定的递推公式，利用取倒数及构造法求出通项公式即可.
【详解】由，得，，则，
而，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，
因此，所以．
故选：C
7．C
【分析】根据题意按照个位数为5或0分类求解即可.
【详解】因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以按照个位数字分为两类：
当个位数字为5时，首位数字从1，2，3，4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有（个）；
当个位数字为0时，前面两位数字从1，2，3，4，5中选2个排列，所以有（个），
所以所求的三位数共有（个）．
故选：C.
8．
【分析】根据等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解即可.
【详解】，所以，所以．
故答案为:.
9．(1)
(2)．
【分析】（1）将结合正弦定理进行边化角，再由三内角和等于对式子进行化简，解得即可求出角的大小；
（2）结合余弦定理得到的表达式，再结合基本不等式求出的取值范围.
【详解】（1）由，由正弦定理可得
又因为，所以，
，
则，又因为，
且．
（2）在中，，
由余弦定理可得：
（当且仅当时等号成立）．
又．
即b的取值范围为．
10．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积列式求出直线方程.
【详解】（1）令椭圆的半焦距为，由离心率为，得，，
椭圆，当时，，依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，
由消去并整理得，
，，
的面积，
由的内切圆的半径，得，
因此，整理得，即，
解得，所以直线的方程.高三最后50天1天1练-14
姓名：___________班级：___________日期：___________
一、单选题
1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列是公差为的等差数列， 则 （ ）
A．8 B．4 C． D．
2．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数（且）在上具有单调性，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（19-20高二·全国·课后作业）已知空间向量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·四川雅安·期中）函数对任意x都有，则等于（ ）
A．2或0 B．或2 C．0 D．或0
5．（2023·陕西榆林·二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2023·河北沧州·模拟预测）用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
二、多选题
7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的最小正周期为，则的图象关于点对称
B．若的图象关于直线对称，则的值可能为
C．若将的图象向左平移个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为
D．若在区间上恰有一个零点，则的取值范围为
三、填空题
8．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是 .
四、解答题
9．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）在直四棱柱中，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)若为直角三角形，求四棱柱的体积．
10．（23-24高二下·江西新余·开学考试）某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m3），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：用表示第天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，.
(1)由散点图可知，与可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01）
(2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m3，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：）
附：，.
《高中数学综合库AI卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B D B C A BC
1．C
【分析】根据条件可得数列是公比为的等比数列，利用等比数列的性质可得结果.
【详解】由题意可知，即，故，
∴数列为等比数列，公比，
∴.
故选：C.
2．B
【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解.
【详解】（且）在上具有单调性，
当在上单调递减时，，解得；
当在上单调递增时，，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
3．D
【分析】设，在中由余弦定理求解.
【详解】空间向量，，，，
则三向量可能构成三角形的三边.
如图，设，则中，，
.
故选：D
4．B
【分析】由确定为对称轴，即可求解.
【详解】因为函数对任意x都有，
可知该函数图象关于直线对称，
又因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或2.
故选：B．
5．C
【分析】作出给定的三视图对应的几何体，再利用锥体体积公式计算即得.
【详解】给定的三视图还原成的几何体，如图中三棱锥，
其中，，点到的距离为2，
所以该几何体的体积为.
故选：C
6．A
【分析】根据排列数运算求解．
【详解】由有2个，有3个，则将这5个字母看成不同时的排列为，故其排列个数为．
故选：A．
7．BC
【分析】利用降幂公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】依题意，函数，
对于A，，，则，
不是函数的最大值，也不是最小值，A错误；
对于B，，解得，取，B正确；
对于C，，由函数为偶函数，
得，解得，，C正确；
对于D，当时，，由，得，
由在上恰有一个零点，得，解得，D错误.
故选：BC
8．
【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围.
【详解】当时，，求导得，
函数在上单调递增，在时的取值集合为，
当时，，没有最小值，
由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由面面平行的判定定理与性质定理证明即可；
（2）根据直角三角形，利用勾股定理求解棱柱的高，再由体积公式得解.
【详解】（1）因为，平面，
平面，故平面．
在四棱柱中，，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为，平面，
故平面平面，平面，
所以平面．
（2）设四棱柱的高为h，
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，同理可得，．
因为，，，，，
所以，．
因为，所以，．
在直四棱柱中，，，
所以四边形ABCD是平行四边形，所以．
因为，为直角三角形，
所以或，
解得．
因为四棱柱的底面积为，
所以四棱柱的体积为．
10．(1)；
(2)第35天.
【分析】（1）设出回归直线方程，利用最小二乘法求出，再求出与的回归方程.
（2）利用（1）中回归模型建立不等式，再求解不等式即可.
【详解】（1）令，而，，
则，，
因此，即，
所以所求回归方程为.
（2）由（1）知：，即，解得，
所以，即在新房装修完第35天开始达到此标准.
试卷第1页，共3页
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