广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
1．（2024高二下·广州月考）的展开式中，的系数为（ ）
A． B．10 C． D．40
2．（2024高二下·广州月考）已知随机变量的分布列如下：
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·广州月考）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高二下·广州月考）函数的大致图像是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2024高二下·广州月考）已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2024高二下·广州月考）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
7．（2024高二下·广州月考）已知双曲线为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2024高二下·广州月考）在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为)，第个直角三角形（阴影部分）的面积为(其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，)则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．数列的前项和取值范围是
D．数列是公比为的等比数列
9．（2024高二下·广州月考）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ）
A．甲队获胜的概率为 B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以3：1获胜的概率为 D．乙队以3：2获胜的概率为
10．（2024高二下·广州月考）下列命题中说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在9次射击中，击中目标的次数为X，且X~B，则他最有可能命中7或8次
11．（2024高二下·广州月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
12．（2024高二下·广州月考） 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为 ．
13．（2024高二下·广州月考）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 .
14．（2024高二下·广州月考）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ．
15．（2024高二下·广州月考）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
16．（2024高二下·广州月考）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.2 0.5 0.3
球队胜率 0.5 0.6 0.8
（1）当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；
（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
（3）如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置 请说明安排理由.
17．（2024高二下·广州月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，点.
（1）若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积；
（2）若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围．
18．（2024高二下·广州月考）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
（1）求证：平面BCD；
（2）若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
19．（2024高二下·广州月考）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率
（1）求曲线在的曲率；
（2）已知函数，求曲率的平方的最大值；
（3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式的通项为，，
所以的系数为．
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，再结合二项展开式的通项求出的系数.
2．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】先根据随机变量X的分布列求数学期望公式，从而求出的值，再根据数学期望的性质得出随机变量的数学期望.
3．【答案】D
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，
则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为：
.
故答案为：D.
【分析】 利用n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可知的定义域为，
∵，
∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴排除C；
∵，∴排除A，
又因为，所以排除D，
故答案为：B．
【分析】先根据奇偶性定义判断出函数是奇函数，再结合奇函数的图象关于原点对称，则排除选项C，再根据函数值排除选项A和选项D，从而找出函数的大致图象.
5．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的公比为，又的各项为正，所以，；
则由可得，
两式相除整理可得，解得或（舍）；
代入可得.
故选：C
【分析】利用，构造方程组可解得公比，代入计算得.
6．【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所有可能的情况有：.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意设直线方程为，直线方程为，
设
则，
同理，
所以，，
即.
故答案为：D
【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系.设直线方程为，直线方程为，且设，将直线分别与双曲线联立，求出，再利用两点间的距离公式可求出，，通过化简可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；等比数列的通项公式；两角和与差的正弦公式；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：对于A：由题意可知，
则，
因为，
则，
所以，即，故A正确；
对于B：由选项A可知，
所以，故B正确；
对于D：易知，此后对应三角形均相似，
且相似比为，
则是首项为3，公比为的等比数列，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，故D错误；
对于C：由选项D可得，
则，
则，
显然单调递减，即，
所以的取值范围为，故C正确.
故答案为：D.
【分析】利用正方形的结构特征结合的三角函数值，则可判断选项A、和选项B；利用相似三角形对应边成比例，再结合等比数列的定义，则判断出选项D；结合等比数列的前n项和公式和函数单调性求值域的方法，则判断出选项C，从而找出结论错误的选项.
9．【答案】A,B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，在乙队以2：0领先的前提下，
若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，
所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于B，因为乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，因为乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，
所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】由已知条件和概率的乘法公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量，，
所以，解得，故A错误；
对于B，由方差的性质可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，故B正确；
对于C，因为随机变量服从正态分布，，
所以，故C正确；
对于D，设当时，概率最大，
则，
则，
则，
则，
解得，
所以最有可能命中7或8次，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二项分布的均值和方差的公式，即可判断选项A；根据方差的性质，即可判断选项B；根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，即可判断选项C；根据二项分布的概率公式结合最大概率求解方法，从而解不等式组得出最有可能命中的次数，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，定义域为，，
当时，时，是的极小值点，故A错误；
对于B，令，
在上递减，，有唯一零点，故B正确；
对于C，令，
令，
时，时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，则，
因为，在上单调递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，故C错误；
对于D，由选项A知，在上单调递减，在上单调递增，
由正实数，且，，得，
当时，令，
，即在上单调递减，
则，所以，
又因为 ，所以，即成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用导数求极值点的方法判断选项A；利用函数的单调性得出函数的零点个数，则判断选项B；先分离参数，再分析函数的最值情况，从而判断选项C；构造函数，再讨论其单调性，从而确定，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【解答】 从6件正品和4件次品中任取3件，共有（种）取法，
其中至少有2件次品的取法有（种），
所以至少有2件次品的概率为，
故答案为.
【分析】先算 任取三件的所有取法，再算符合要求的取法，最后求概率
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设点，则点到直线的距离为，
当时，取最小值，.
故答案为：.
【分析】设点，利用点到直线距离公式表示出点到直线距离，利用二次函数的性质求最值即可.
14．【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：由，得，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
设数列的前项的和为，
则
.
故答案为：.
【分析】由，利用待定系数法求出数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法得出数列的前100项的和.
15．【答案】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则解得，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
则，则，，
过作于，于是，，
所以.
（2）解：方法1：在与中，
由余弦定理得，
整理得，而，则，
又因为，解得，
而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，
又因为，于是，
即，解得，
又因为，解得，
而，于是，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.方法一：利用中点的性质和三角形的面积公式，再结合已知条件得出a的值，再根据余弦定理得出c的值，进而得出角B的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得出角B的正切值；方法二：利用中点的性质和三角形的面积公式得出a的值，再结合余弦定理得出b的值，再根据勾股定理和三角函数的定义，从而得出角B的正切值.
（2）利用两种方法求解.方法一：利用已知条件结合余弦定理和勾股定理得出a的值，再结合三角形的面积公式和三角形中角的取值范围，从而得出的值，再利用勾股定理得出b，c的值；方法二：利用中点的性质和三角形法则以及平行四边形法则，再由数量积的运算法则得出a的值，再根据三角形的面积公式和三角形中角的取值范围，从而得出的值，再利用勾股定理得出b，c的值.
16．【答案】（1）解：设表示“甲球员担当边锋”，
表示“甲球员担当前卫”，
表示“甲球员担当中场”，
表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
球队某场比赛赢球的概率为0.64.
（2）解：由（1）知，
，
球员甲担当前卫的概率.
（3）解：由（2）可得，
，
因为，
应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率.
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由条件概率公式分别计算出甲出任三个位置赢球的概率，再相加可得球队赢球的概率.
（2）由已知条件和条件概率公式，从而得出球员甲担当前卫的概率.
（3）先比较三个位置上的赢球概率，从而作出判断得出应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率.
（1）设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
球队某场比赛赢球的概率为0.64.
（2）由（1）知，
，
球员甲担当前卫的概率.
（3）同（2），
，
由于，
应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率.
17．【答案】（1）解：由题意得：，所以，
所以双曲线的标准方程为，
则直线的方程为，
设，，
联立方程组，
消去整理得，
则，
所以，
所以的面积为.
（2）解：因为，
所以，
所以或，
所以，
对称轴为，
由题意，得：，，
所以实数的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到的值，从而求出双曲线方程，进而写出直线的方程，再联立直线和双曲线方程，则由韦达定理得到两根之和、两根之积，再利用弦长公式求出的面积.
（2）由得到或，从而表达出，再根据图形的对称轴为，从而得到关于t的不等式，进而求出实数的取值范围.
（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为，
直线的方程为，设，，
联立方程组，消去整理得，
则，
所以，
所以的面积为
（2）因为，所以，所以或，
所以，
对称轴为，
由题意，，，
所以实数的取值范围为
18．【答案】（1）证明：作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，
所以且，
且，
所以四边形为平行四边形，
，
又因为平面，平面，
平面.
（2）解：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，
设，
则，，，
平面，可设，，
即，
则，即，
则，
平面，
又因为，，
，
即，解得，
所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
得，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）作，交于点，作，交于点，再利用平行四边形的定义证出四边形为平行四边形，则得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出直线平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据平面，可设，，即可表示出点的坐标，再由平面和，从而求出的值，进而确定点的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，所以且，
且，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
设，则，，，
平面，可设，，
即，
则，即，则，
平面，又，，
，即，解得，
所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，得，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．【答案】（1）解：因为，
则，，
所以.
（2）解：因为（），
则，，
所以，
则，
令，则，，
设，
则，
显然当时，，单调递减，
所以，
所以为1.
（3）解：∵，，
∴，
∴，，
因为在两个不同的点处曲率为0，
所以有两个大于0的不同实数解，
即有两个不同的零点，
令，
∵，
∴在上单调递增，且值域为R，
所以有两个大于0的实数解，
等价于，有两个不同的实数解.
令，，则，
令得，
时，，即单调递增；
时，，即单调递减，
所以，
又因为当时，；
当时，，
则的图象如下所示：
又因为有两个实数解，
所以，
所以m的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【分析】（1）根据曲率定义和已知条件，从而得出曲线在的曲率.
（2）根据曲率定义得出，令，则，，设，再结合导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出曲率的平方的最大值.
（3）根据函数在两个不同点曲率为0，通过同构结合函数的零点和方程的根的等价关系，则将原问题转换为有两个实数解，令，，再结合导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，再根据函数求极限的方法得出的图象，则由有两个实数解得出实数m的取值范围.
（1）因为，则，，
所以.
（2）因为（），则，，
所以，
则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
所以，所以最大值为1.
（3）∵，，
∴，
∴，，
因为在两个不同的点处曲率为0，
所以有两个大于0的不同实数解，
即有两个不同的零点.
令，
∵，
∴在上单调递增，且值域为R，
所以有两个大于0的实数解，
等价于，有两个不同的实数解.
令，，则，
令得，
时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
所以，
又因为当时，；
当时，；
的图象如下所示：
又因为有两个实数解，
所以.
所以m的取值范围为.
1 / 1广东省广州市执信中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷
1．（2024高二下·广州月考）的展开式中，的系数为（ ）
A． B．10 C． D．40
【答案】C
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：因为展开式的通项为，，
所以的系数为．
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项，再结合二项展开式的通项求出的系数.
2．（2024高二下·广州月考）已知随机变量的分布列如下：
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】先根据随机变量X的分布列求数学期望公式，从而求出的值，再根据数学期望的性质得出随机变量的数学期望.
3．（2024高二下·广州月考）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，
则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为：
.
故答案为：D.
【分析】 利用n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解即可.
4．（2024高二下·广州月考）函数的大致图像是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可知的定义域为，
∵，
∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴排除C；
∵，∴排除A，
又因为，所以排除D，
故答案为：B．
【分析】先根据奇偶性定义判断出函数是奇函数，再结合奇函数的图象关于原点对称，则排除选项C，再根据函数值排除选项A和选项D，从而找出函数的大致图象.
5．（2024高二下·广州月考）已知数列是各项为正的等比数列，前项和为，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的公比为，又的各项为正，所以，；
则由可得，
两式相除整理可得，解得或（舍）；
代入可得.
故选：C
【分析】利用，构造方程组可解得公比，代入计算得.
6．（2024高二下·广州月考）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所有可能的情况有：.
7．（2024高二下·广州月考）已知双曲线为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意设直线方程为，直线方程为，
设
则，
同理，
所以，，
即.
故答案为：D
【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系.设直线方程为，直线方程为，且设，将直线分别与双曲线联立，求出，再利用两点间的距离公式可求出，，通过化简可求出答案.
8．（2024高二下·广州月考）在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为)，第个直角三角形（阴影部分）的面积为(其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，)则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．数列的前项和取值范围是
D．数列是公比为的等比数列
【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；等比数列的通项公式；两角和与差的正弦公式；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：对于A：由题意可知，
则，
因为，
则，
所以，即，故A正确；
对于B：由选项A可知，
所以，故B正确；
对于D：易知，此后对应三角形均相似，
且相似比为，
则是首项为3，公比为的等比数列，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，故D错误；
对于C：由选项D可得，
则，
则，
显然单调递减，即，
所以的取值范围为，故C正确.
故答案为：D.
【分析】利用正方形的结构特征结合的三角函数值，则可判断选项A、和选项B；利用相似三角形对应边成比例，再结合等比数列的定义，则判断出选项D；结合等比数列的前n项和公式和函数单调性求值域的方法，则判断出选项C，从而找出结论错误的选项.
9．（2024高二下·广州月考）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为．若前两局中乙队以2：0领先，则（ ）
A．甲队获胜的概率为 B．乙队以3：0获胜的概率为
C．乙队以3：1获胜的概率为 D．乙队以3：2获胜的概率为
【答案】A,B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对于A，在乙队以2：0领先的前提下，
若甲队获胜则第三、四、五局均为甲队获胜，
所以甲队获胜的概率为，故A正确；
对于B，因为乙队以3：0获胜，即第三局乙获胜，概率为，故B正确；
对于C，因为乙队以3：1获胜，即第三局甲获胜，第四局乙获胜，概率为，故C错误；
对于D，若乙队以3：2获胜，则第五局为乙队获胜，第三、四局乙队输，
所以乙队以3：2获胜的概率为，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】由已知条件和概率的乘法公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二下·广州月考）下列命题中说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在9次射击中，击中目标的次数为X，且X~B，则他最有可能命中7或8次
【答案】B,C,D
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为随机变量，，
所以，解得，故A错误；
对于B，由方差的性质可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，故B正确；
对于C，因为随机变量服从正态分布，，
所以，故C正确；
对于D，设当时，概率最大，
则，
则，
则，
则，
解得，
所以最有可能命中7或8次，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二项分布的均值和方差的公式，即可判断选项A；根据方差的性质，即可判断选项B；根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，即可判断选项C；根据二项分布的概率公式结合最大概率求解方法，从而解不等式组得出最有可能命中的次数，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高二下·广州月考）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
【答案】B,D
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，定义域为，，
当时，时，是的极小值点，故A错误；
对于B，令，
在上递减，，有唯一零点，故B正确；
对于C，令，
令，
时，时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，则，
因为，在上单调递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，故C错误；
对于D，由选项A知，在上单调递减，在上单调递增，
由正实数，且，，得，
当时，令，
，即在上单调递减，
则，所以，
又因为 ，所以，即成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用导数求极值点的方法判断选项A；利用函数的单调性得出函数的零点个数，则判断选项B；先分离参数，再分析函数的最值情况，从而判断选项C；构造函数，再讨论其单调性，从而确定，即可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高二下·广州月考） 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；超几何分布
【解析】【解答】 从6件正品和4件次品中任取3件，共有（种）取法，
其中至少有2件次品的取法有（种），
所以至少有2件次品的概率为，
故答案为.
【分析】先算 任取三件的所有取法，再算符合要求的取法，最后求概率
13．（2024高二下·广州月考）设点是曲线上一点，则点到直线最小的距离为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设点，则点到直线的距离为，
当时，取最小值，.
故答案为：.
【分析】设点，利用点到直线距离公式表示出点到直线距离，利用二次函数的性质求最值即可.
14．（2024高二下·广州月考）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ．
【答案】
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】解：由，得，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
设数列的前项的和为，
则
.
故答案为：.
【分析】由，利用待定系数法求出数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法得出数列的前100项的和.
15．（2024高二下·广州月考）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
【答案】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则解得，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
则，则，，
过作于，于是，，
所以.
（2）解：方法1：在与中，
由余弦定理得，
整理得，而，则，
又因为，解得，
而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，
又因为，于是，
即，解得，
又因为，解得，
而，于是，
所以.
【知识点】平面向量的数量积运算；同角三角函数间的基本关系；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.方法一：利用中点的性质和三角形的面积公式，再结合已知条件得出a的值，再根据余弦定理得出c的值，进而得出角B的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得出角B的正切值；方法二：利用中点的性质和三角形的面积公式得出a的值，再结合余弦定理得出b的值，再根据勾股定理和三角函数的定义，从而得出角B的正切值.
（2）利用两种方法求解.方法一：利用已知条件结合余弦定理和勾股定理得出a的值，再结合三角形的面积公式和三角形中角的取值范围，从而得出的值，再利用勾股定理得出b，c的值；方法二：利用中点的性质和三角形法则以及平行四边形法则，再由数量积的运算法则得出a的值，再根据三角形的面积公式和三角形中角的取值范围，从而得出的值，再利用勾股定理得出b，c的值.
16．（2024高二下·广州月考）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.2 0.5 0.3
球队胜率 0.5 0.6 0.8
（1）当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；
（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
（3）如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置 请说明安排理由.
【答案】（1）解：设表示“甲球员担当边锋”，
表示“甲球员担当前卫”，
表示“甲球员担当中场”，
表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
球队某场比赛赢球的概率为0.64.
（2）解：由（1）知，
，
球员甲担当前卫的概率.
（3）解：由（2）可得，
，
因为，
应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率.
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由条件概率公式分别计算出甲出任三个位置赢球的概率，再相加可得球队赢球的概率.
（2）由已知条件和条件概率公式，从而得出球员甲担当前卫的概率.
（3）先比较三个位置上的赢球概率，从而作出判断得出应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率.
（1）设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
球队某场比赛赢球的概率为0.64.
（2）由（1）知，
，
球员甲担当前卫的概率.
（3）同（2），
，
由于，
应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率.
17．（2024高二下·广州月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，点.
（1）若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积；
（2）若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得：，所以，
所以双曲线的标准方程为，
则直线的方程为，
设，，
联立方程组，
消去整理得，
则，
所以，
所以的面积为.
（2）解：因为，
所以，
所以或，
所以，
对称轴为，
由题意，得：，，
所以实数的取值范围为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到的值，从而求出双曲线方程，进而写出直线的方程，再联立直线和双曲线方程，则由韦达定理得到两根之和、两根之积，再利用弦长公式求出的面积.
（2）由得到或，从而表达出，再根据图形的对称轴为，从而得到关于t的不等式，进而求出实数的取值范围.
（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为，
直线的方程为，设，，
联立方程组，消去整理得，
则，
所以，
所以的面积为
（2）因为，所以，所以或，
所以，
对称轴为，
由题意，，，
所以实数的取值范围为
18．（2024高二下·广州月考）如图，在四面体ABCD中，两两垂直，是线段AD的中点，是线段BM的中点，点在线段AC上，且.
（1）求证：平面BCD；
（2）若点G在平面ABC内，且平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，
所以且，
且，
所以四边形为平行四边形，
，
又因为平面，平面，
平面.
（2）解：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，
设，
则，，，
平面，可设，，
即，
则，即，
则，
平面，
又因为，，
，
即，解得，
所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
得，
设直线与平面所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）作，交于点，作，交于点，再利用平行四边形的定义证出四边形为平行四边形，则得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出直线平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，根据平面，可设，，即可表示出点的坐标，再由平面和，从而求出的值，进而确定点的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值．
（1）作，交于点，作，交于点，
因为是线段的中点，是线段的中点，，
所以且，
，，所以且，
且，所以四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面；
（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
设，则，，，
平面，可设，，
即，
则，即，则，
平面，又，，
，即，解得，
所以点坐标为，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，得，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．（2024高二下·广州月考）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数， 是的导函数，则曲线在点处的曲率
（1）求曲线在的曲率；
（2）已知函数，求曲率的平方的最大值；
（3）函数，若在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
则，，
所以.
（2）解：因为（），
则，，
所以，
则，
令，则，，
设，
则，
显然当时，，单调递减，
所以，
所以为1.
（3）解：∵，，
∴，
∴，，
因为在两个不同的点处曲率为0，
所以有两个大于0的不同实数解，
即有两个不同的零点，
令，
∵，
∴在上单调递增，且值域为R，
所以有两个大于0的实数解，
等价于，有两个不同的实数解.
令，，则，
令得，
时，，即单调递增；
时，，即单调递减，
所以，
又因为当时，；
当时，，
则的图象如下所示：
又因为有两个实数解，
所以，
所以m的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【分析】（1）根据曲率定义和已知条件，从而得出曲线在的曲率.
（2）根据曲率定义得出，令，则，，设，再结合导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出曲率的平方的最大值.
（3）根据函数在两个不同点曲率为0，通过同构结合函数的零点和方程的根的等价关系，则将原问题转换为有两个实数解，令，，再结合导数判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，再根据函数求极限的方法得出的图象，则由有两个实数解得出实数m的取值范围.
（1）因为，则，，
所以.
（2）因为（），则，，
所以，
则，
令，则，，
设，则，
显然当时，，单调递减，
所以，所以最大值为1.
（3）∵，，
∴，
∴，，
因为在两个不同的点处曲率为0，
所以有两个大于0的不同实数解，
即有两个不同的零点.
令，
∵，
∴在上单调递增，且值域为R，
所以有两个大于0的实数解，
等价于，有两个不同的实数解.
令，，则，
令得，
时，，即单调递增；
时，，即单调递减；
所以，
又因为当时，；
当时，；
的图象如下所示：
又因为有两个实数解，
所以.
所以m的取值范围为.
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