广东省深圳市深圳实验学校高中部2024-2025学年高二下学期第一阶段考试数学试题（PDF版，含答案）

深圳实验学校高中部 2024- 2025学年度第二学期第一阶段考试
高二数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 设 f(x) = ln(2x- 1)，若 f(x)在 x 处的导数 f 0 (x0) = 1，则 x0的值为
A. e+12 B.
3
2 C. 1 D.
3
4
2. A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B两人必须相邻，那么不同的排法种数有 ( )
A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 96种
3. 3如果数列 an 的前n项和为Sn= 2 an- 3，则这个数列的通项公式是 ( )
A. a 2n= 2 n +n+1 B. an= 2 3n C. an= 3 2n D. an= 3n+ 1
4. 已知函数 f x = 2x2- xf 1 ，则曲线 y= f x 在点 1,f 1 处的切线方程为 ( )
A. 2x- y- 2= 0 B. 2x+ y- 2= 0 C. 2x- y+ 2= 0 D. 2x+ y+ 2= 0
5. 在数列 an 中，a = 1 a = n-11 ， n n an-1，n≥ 2,n∈N，则数列 an 的通项公式为 ( )
A 1 2 1 22n-1 B. C . D.n n+1 n n+1
6. 函数 f(x) = (x2- 2x)ex的图象大致是 ( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 f x = x- lnx．若 f x ≥ 1-m x+m对任意 x∈ 0,+∞ 恒成立，则实数m的值为
( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. e
8. R上的函数 f x 满足：f x + f x > 1，f 2 = 0，则不等式 ex f(x)< ex- e2的解集为 ( )
A. -∞,0 ∪ 0,2 B. -∞,0 ∪ 2,+∞ C. 0，+∞ D. -∞,2
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．
9. 以下四个命题表述正确的是 ( )
A. 若直线倾斜角 α∈ π 2π 4 , 3 ，则斜率 k的取值范围是 -∞,- 3 ∪ 1,+∞
B. 直线 3+m x+ 4y- 3+ 3m= 0 m∈R 恒过定点 -3,-3
C. 若直线 l1:ax+ 1-a y= 3与 l2: a-1 x+ 2a+3 y= 2互相垂直，则 a=-3
: - + = : + - = 4sqrt5D. 若直线 l1 x 2y 3 0与 l2 2x ay 2 0平行，则 l1与 l2的距离为 5
10. 下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出 l⊥平
面MNP的是 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知 a为常数，函数 f x = x lnx-ax 有两个极值点 x1，x2 x1A. 0< a< 12 B. f x
1
2 >- 2 C. f x1 < 0 D. x1+ x2< 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 用数字 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ．
2 y2
13. 已知F1，F
x
2为椭圆C: 16 + 6 = 1的两个焦点，P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 PQ = F1F2 ，
则四边形PF1QF2的面积为 ．
14. 若直线 y= kx+ b是曲线 y= ln e2x 的切线，也是曲线 y= ln x+1 的切线，则 k= ．
四、解答题：本题共 6小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 1 1 1数列 an 是等比数列，公比大于 0，前n项和为Sn n∈N * ，已知 a1= 2 ，a =3 a
+ 4．
2
(1)求数列 an 的通项公式 an；
(2)求Sn．
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16. 如图，在四面体ABCD中，AB=AD= 2 ,BC=CD=BD= 2，二面角A-BD-C是直二面角，O为
BD的中点，点P为线段BC上一点，且OP⊥BC .
(1)求证：BC⊥平面AOP；
(2)求平面AOP与平面ACD所成锐二面角的平面角的余弦值.
17. 设函数 f x = 2x3- 3ax2+ 1 a∈R ．
(1)讨论函数 f x 的单调性；
(2)若函数 f x 有三个零点，求 a的取值范围；
(3)如果过 0,-2 可以作曲线 y=-2x3+ 6ax2的三条切线，求 a的取值范围．
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x
18. 已知函数 f(x) = x- lnx- ex .
(1)求 f(x)的最大值；
(2) f(x) + x+ 1若 x ex- bx≥ 1恒成立，求实数 b的取值范围.
19. 已知点A(-2,0)，B(2,0) 1，动点M (x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- 2 .记M的轨迹为曲线C .
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥ x轴，垂足为E，连结QE并延长交C
于点G.
(i)证明：△PQG是直角三角形；
(ii)求△PQG面积的最大值.
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参考答案
1. B
【分析】
直接求出原函数的导函数，由 f '(x0) = 1列式求解 x0的值．
由 f(x) = ln(2x- 1)，得 f (x) = 22x-1．
由 f (x0) = 2 32x -1 = 1，解得：x0= 2 ．0
故选：B．
【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．
2. B
【分析】根据捆绑法求解即可.
由题意，先将A，B捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有A22A44= 48种.
故选：B.
3. B
3 3
【分析】根据 Sn= 2 an- 3，当 n≥ 2时，an= Sn- Sn-1，再结合 n= 1时，S1= a1= 2 a1- 3，可知 an 是
以 6为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列 an 的通项公式.
由Sn= 32 an- 3，
当n≥ 2 3时，an=Sn-Sn-1= 2 an-3 -
3
2 an-1-3 =
3
2 an-
3
2 an-1，
a
所以 na = 3，n-1
当n= 1 3时，S1= a1= 2 a1- 3，此时 a1= 6，
所以，数列 an 是以 6为首项，3为公比的等比数列，即 an= 6 3n-1= 2 3n.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.
4. A
【分析】先求导，即可求 f 1 和 f 1 ，即可求得切线方程.
由 f x = 2x2- xf 1 ，得 f x = 4x- f 1 ，
则 f 1 = 4× 1- f 1 f 1 = 2，
则 f 1 = 2× 12- 1× f 1 = 2- 2= 0，
所以切线方程为 y- 0= 2 x-1 2x- y- 2= 0.
故选：A.
5. C
【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法 (迭代法)即可求得数列通项.
因 an= n-1n an-1，n≥ 2,n∈N，则
= aa n an-1 a3 a2n an-1 a

n-2 a
a a12 1
= 1× 1 × 2 × × n-2 n-1 12 3 n-1 × n = n ，
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当n= 1 1时，符合题意，故数列 an 的通项公式为 an= n .
故选：C.
6. A
【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解.
函数 f(x) = (x2- 2x)ex定义域为R，由 f(x) = 0，得 x= 0或 x= 2，即函数 f(x)有两个零点 0,2，BC错误；
f (x) = (x2- 2)ex，当 x<- 2时，f (x)> 0，当- 2< x< 2时，f (x)< 0，
函数 f(x)在 (-∞,- 2 )上单调递增，在 (- 2 , 2 )上单调递减，
2+2 2
因此函数 f(x)在 x=- 2处取得极大值 f(- 2 ) = - ，D错误，A符合题意.e 2
故选：A
7. B
【分析】根据已知函数恒成立，构造函数令 t x = lnx-m x-1 ，结合导数计算函数单调性及最值得出
参数.
函数 f x = x- lnx，所以 f x ≥ 1-m x+m对任意 x∈ 0,+∞ 恒成立，
所以-lnx+m x-1 ≥ 0恒成立，所以 lnx-m x-1 ≤ 0恒成立，
令 t x = lnx-m x-1 ，所以 t x = 1x -m，
当m≤ 0时，x∈ 0,+∞ ,t x > 0,t x 单调递增，且 t 1 = 0，所以 x∈ 1,+∞ ，t x > t 1 = 0不成
立；
当m> 0时，x∈ 0, 1m ,t x > 0,t x 单调递增，x∈
1 ,+∞ ,t m x < 0,t x 单调递减，且
1
所以当 x= m 时，t x max= t
1 1
m = lnm -m
1
m -1 =-lnm+m- 1≤ 0成立，
令 h m =-lnm+m- 1 1 m-1，h m =-m + 1= m ，
当m∈ 0,1 ,h m < 0,h m 单调递减，当m∈ 1,+∞ ,h m > 0,h m 单调递增，且 h 1 =-ln1+ 1
- 1= 0
所以当m= 1时，满足 h m = t x max≤ 0成立，
则实数m的值为 1.
故选：B.
8. D
【分析】构造函数F x = ex f x - ex，则由题意可证得F x 在R上单调递增，又 f 2 = 0，
F 2 = e2 f 2 - e2=-e2，故 ex f(x)< ex- e2可转化为F x 令F x = ex f x - ex，则F x = ex f x + ex f x - ex= ex f x + f x -1 ，
因为 f x + f x > 1，所以F x = ex f x + f x > 0，
所以函数F x 在R上单调递增，
又 f 2 = 0，所以F 2 = e2 f 2 - e2=-e2
故当 ex f(x)< ex- e2时，有 ex f(x) - ex<-e2，即F x 由F x 的单调性可知 x< 2.
故选：D.
【点睛】本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般.
9. AD
【分析】对于A由 k= tanα即可求解，对于B将直线整理为 x+3 m+ 3x+ 4y- 3= 0即可求解，对于C
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由 l1⊥ l2得 a a-1 + 1-a 2a+3 = 0即可求解，对于D先求 a，再利用两平行线间的距离公式即可
求解.
对于A：由斜率 k= tanα α∈ π，当 4 ,
2π
3 时，k∈ -∞,- 3 ∪ 1,+∞ ，故A正确；
对于B：由直线 3+m x+ 4y- 3+ 3m= 0得 x+3 m+ 3x+ 4y- 3= 0，
令 x+ 3= 0有 3x+ 4y- 3= x=-30解得 = ，即定点为 -3,3y 3 ，故B错误；
对于C：直线 l1:ax+ 1-a y= 3与 l2: a-1 x+ 2a+3 y= 2互相垂直，
则 a a-1 + 1-a 2a+3 = 0 a-1 -a-3 = 0解得 a=-3或 1，故C错误；
6- =- =
-2
D l l a 4 l l d = 4 5对于 ：由 1 2有 ，所以 1与 2 距离为 ，故D正确；
22+42 5
故选：AD.
10. ACD
【分析】分别建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理依次判断即可.

对于A选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则 l = (2,2, -2)，
M (1,0,2),N (0,0,1),P(0,1,2),

则MN = (-1,0, -1),MP= (-1,1,0),

因为 l MN = 0，所以 l ⊥MN，

因为 l MP= 0,所以 l ⊥MP，
所以 l⊥MN ,l⊥MP,且MN ,MP是平面MNP内的两条相交直线，所以 l⊥面MNP，故A正确；

对于B选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则 l = (2,2, -2)，
M (1,0,0),N (2,2,1),P(0,1,0),

则MN = (1,2,1),MP= (-1,1,0),

因 l MN ≠ 0，l MP= 0,所以 l ⊥MP，
所以 l⊥MP,但是 l与MN都不垂直，所以 l与面MNP不垂直，故B错误；
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对于C选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则 l = (2,2, -2)，
M (2,0,1),N (0,2,1),P(1,0,0),

则MN = (-2,2,0),MP= (-1,0, -1),

因为 l MN = 0，所以 l ⊥MN，

因为 l MP= 0,所以 l ⊥MP，
所以 l⊥MN ,l⊥MP,且MN ,MP是平面MNP内的两条相交直线，所以 l⊥面MNP，故C正确；

对于D选项：建立如图所示坐标系，设正方体的棱长为 2，则 l = (2,2, -2)，
M (1,0,0),N (0,2,1),P(2,1,2),

则MN = (-1,2,1),MP= (1,1,2),

因为 l MN = 0，所以 l ⊥MN，

因为 l MP= 0,所以 l ⊥MP，
所以 l⊥MN ,l⊥MP,且MN ,MP是平面MNP内的两条相交直线，所以 l⊥面MNP，故D正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了空间几何体的线面垂直判定与证明：(1)对于异面直线的判定要熟记异面直线的概
念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；(2)对于线面位置关系的判定中，熟记线面垂直的判
定定理是关键.
11. ABC
【分析】由 f x = 0有 2a= 1+lnx 1+lnxx ，令 g x = x ，利用导数研究单调性作出函数图像，逐一验证即
可.
由题意有函数 f x 的定义域为 0,+∞ ，
所以 f x = lnx- ax+ x 1 -a = lnx- 2ax+ 1 f x = 0 2ax= 1+ lnx 2a= 1+lnxx ，令 有 ，即 x ，令
1
g x = 1+lnx
x - 1+lnx
x ，所以 g
x = x = -lnx 2 2 ，令 g
x = 0有 x= 1，当 0< x< 1时，g x >
x x
0 1+ln1，当 x> 1时，g x < 0，所以函数 g x 在 0,1 单调递增，在 1,+∞ 单调递减，g 1 = 1 = 1，当
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x→+∞时，g x → 0，当 x→ 0时，g x →-∞，令 g x = 0有 x= 1e ，
所以 0< 2a< 1，即 0< a< 1 12 ，且 e < x1< 1< x2，故A正确；
1
当 e < x< x
1+lnx
1时，2a> x 1+ lnx- 2ax< 0，即 f
x < 0，当 x1< x< x 2a< 1+lnx2时， x 1
+ lnx- 2ax> 0 f x > 0 x> x 2a> 1+lnx，即 ，当 2时， x 1+ lnx- 2ax< 0，即 f
x < 0，所以 f x
1在 e ,x1 单调递减，在 x1,x2 上单调递增，在 x2,+∞ 上单调递减；
f x2 > f 1 =-a>- 12 ，故B正确；
f x1 < f 1 =-a< 0，故C正确；
当 a→ 0时，x1+ x2→+∞，故D错误；
故选：ABC
12. 72
【分析】利用分步计数原理，优先排末位法来进行计算即可.
第一步：排末位，可以选 1，3，5，共有 3种；
第二步：排前四位，共有A44= 24种；
所以组成无重复数字的五位数奇数有 24× 3= 72种；
故答案为：72．
13. 12
【分析】根据条件判断四边形PF1QF2为矩形.，利用勾股定理和椭圆的定义列出方程组，计算即得四边形
PF1QF2的面积.
如图，因P,Q关于原点对称，则 |OQ| = |OP|，又 |OF1| = |OF2|，
则四边形PF1QF2为平行四边形，因 PQ = F1F2 ，故四边形PF1QF2为矩形.
2
| m +n
2=4c2=4(a2-b2)=40
设 PF1| =m,|PF2| =n，则 m+n=2a= ，8
于是 2mn= (m+n)2- (m2+n2) = 64- 40= 24，解得mn= 12.
故四边形PF1QF2的面积为mn= 12.
故答案为：12.
14. 2
【分析】设直线 y= kx+ b与曲线 y= ln e2x = 2+ lnx的切点为 x0,y0 ，与曲线 y= ln x+1 的切点为
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k=
1 = 1
x0 x1+1
y0=2+lnx0
x1,y1 ，由题意即可得
y0=kx0+b
解出即可.
y1=ln x1+1
y1=kx1+b
设直线 y= kx+ b与曲线 y= ln e2x = 2+ lnx的切点为 x0,y0 ，与曲线 y= ln x+1 的切点为 x1,y1 ，
k= 1 1 =
x0 x1+1
y =2+lnx x0=x1+1 11 0 0
则由 y = x ，y
= 1x+1 ，即 y =kx +b , ∴ y0-2=
x0=x1+1=lnx0=ln x1+1 0=y1, ∴ 2 ，
0 0
y =ln x +1 y0-y=k x -x
k=2
0 1
1 1
y1=kx1+b
故答案为：2.
15. (1)a = 1n 2n
(2)Sn= 1- 12n
【分析】(1)根据等比数列通项公式计算求出通项公式；
(2)应用等比数列求和公式计算求解.
【小问 1详解】
设数列 an 是等比数列的公比为 q，且 q> 0
1 1
又因为 a = a + 4 ，所以 q+ 4a3- 1= 0，所以 2q
2+ q- 1= 0，
3 2
q=-1( ) q= 1所以 舍去 或 2 ，
a = 1
n-1
所以 n 2 ×
1
2 =
1
n .2
【小问 2详解】
1
2 × 1- 1n
Sn= 2 11 = 1- 2n
.
1- 2
16. (1) 21证明见解析；(2) 7 .
【分析】(1)由等腰三角形的性质知，OA⊥BD，由直二面角A-BD-C，推出OA⊥平面BCD，从而有
OA⊥BC，再由线面垂直的判定定理，得证；

(2)连接OC，以O为原点建立空间直角坐标系，由 (1)可知，BC为平面AOP的一个法向量，求得平面
BC n
ACD 的一个法向量n，由 cos= ，即可得解．
|BC| |n |
(1)证明：∵AB=AD，O为BD的中点∴AO⊥BD.
又因为直二面角A-BD-C即平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD
∴AO⊥平面BCD.
∵BC 平面BCD∴AO⊥BC.
又因OP⊥BC，OP∩AO=O，OP 平面AOP，AO 平面AOP，
∴BC⊥平面AOP
(2) 连接OC∵AB=AD= 2 , BC=CD=BD= 2，O为BD的中点，
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∴CO⊥BD,AO⊥BD 由 (1)AO⊥平面BCD∴AO⊥CO
可以分别以OA,OD,OC为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
又∵AB=AD= 2 ,BC=CD=BD= 2
∴AO=OB=OD= 1,OC= 3，
∴O(0,0,0),A(1,0,0),B(0, -1,0),D(0,1,0),C(0,0, 3 ).

由 (1)可知BC⊥平面AOP∴BC为平面AOP的一个法向量，BC = 0,1, 3 .

n ⊥AD n AD=0
设平面ACD n 的一个法向量为 = (x,y,z)，则 .AD= -1,1,0 ,AC = ( n ⊥AC n AC=0
- , , ), ∴ -x+y=01 0 3 - + = ，可取n= 3, 3,1 .x 3z 0
设平面AOP与平面ACD所成锐二面角的平面角为 θ，则

= BC n

cosθ cos BC,n = . BC n
0× 3+1× 3+ 3×1= = 21 .
02+12+ 3 2 × 3 2 + 3 2 +12 7
17. (1)答案见解析
(2)a> 1
(3)a> 1
【分析】(1)求出导函数 f (x) = 6x x-a ，讨论 a的取值范围，根据导数与函数单调性之间的关系即可求
解；
(2)求出 f (x)，求出极值点，根据函数有三个零点列出不等式即可求解；
(3)求出曲线在点 (t,f(t))处的切线方程，代入点 (0, -2)，根据为了三次方程有三个不同的实根，极大值
点和极小值点的函数值必须符号相反即可求解.
【小问 1详解】
f (x) = 6x x-a ，a> 0时，x< 0或 x> a时，f (x)> 0，
0< x< a时，f (x)< 0，
a= 0时，f (x)≥ 0，
a< 0时，x< a或 x> 0是，f (x)> 0，a< x< 0时，f (x)< 0，
综上：a> 0时，f(x)在 (-∞,0)和 a,+∞ 上为增函数，在 0,a 为减函数，
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a= 0时，f(x)在R上为增函数，
a< 0时，f(x)在 (-∞,a)和 (0, +∞)为增函数，在 a,0 为减函数；
【小问 2详解】
f (x) = 6x2- 6ax，
令 6x(x- a) = 0 x= 0或 x= a，
因此极值点为 x= 0和 x= a，
f(0) = 1，f(a) =-a3+ 1，即 x= a为函数极小值点，即 a> 0，
当 x→-∞时，f x →-∞；当 x→+∞时，f x →+∞；
为了函数有三个零点，必须满足 f(0) f(a)< 0，
即 1 -a3+1 < 0 -a3+ 1< 0 a3> 1 a> 1，
当 a= 1时，f(a) =-1+ 1= 0，
此时函数在 x= a处与 x负半轴相切，只有两个零点，
因此 a必须严格大于 1；
【小问 3详解】
设曲线方程为 y=-2t3+ 6at2，设切点为 t,g t ，
导数为 y =-6t2+ 12at，
切线方程为 y- -2t3+6at2 = -6t2+12at (x- t)，
代入点 (0, -2)得-2- -2t3+6at2 = -6t2+12at (-t)，
化简得到 4t3- 6at2+ 2= 0，即 2t3- 3at2+ 1= 0
三次方程 2t3- 3at2+ 1= 0需有三个不同实根，
由 (2)可知 a> 1.
18. (1)f(x)max= 1- e；(2)b≤ 2
【分析】(1)求出导函数，研究单调性，从而得到 f(x)的最大值；
x
(2) xe -lnx-1+x原问题等价于 x ≥ b,构造新函数求最小值即可min
x
(1)f(x) = x- lnx- ex ，定义域 (0, +∞)，
1 ex(x-1) (x-1)(x-ex)f (x) = 1- x - 2 = 2 ，x x
由 ex≥ x+ 1> x，f(x)在 (0,1]增，在 (1, +∞)减，f(x)max= f(1) = 1- e
x x
(2)f(x) + x+ 1 exx - bx≥ 1 -lnx+ x-
e
x + xe
x+ ex - bx≥ 1 -lnx+ x+ xe
x- bx- 1≥ 0
xex-lnx-1+x xex≥ b -lnx-1+xx x ≥ b,min
x
φ(x) = xe -lnx-1+x
2 x
φ (x) = x e +lnx令 x ， x
令 h(x) = x2ex+ lnx，h(x)在 (0, +∞)单调递增，x→ 0,h(x) →-∞，h(1) = e> 0
h(x)在 (0,1)存在零点 x 2 x00，即 h(x0) = x0e + lnx0= 0
1
x2ex + lnx
ln
0
0 lnx0= 0 x ex0=- 00 x = ln
1 e x00 x ，0
由于 y= xex在 (0, +∞) 1单调递增，故 x0= ln x =-lnx
x0
0,即 e = 1
0 x0
x0
φ(x)在 ( x e -lnx -1+x 1+x -1+x0,x0)减，在 (x0, +∞)增，φ(x)min= 0 0 0x =
0 0
0 x
= 2
0
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所以 b≤ 2.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒
成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．
19. (1)详见解析 (2)详见解析
【分析】(1) 1分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为- 2 ，可以得到等式，
化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；
(2) (i)设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直线
QE的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G的坐标，再求出直线PG的斜率，计算 kPQkPG的
值，就可以证明出△PQG是直角三角形；
(ii)由 (i)可知P,Q,G三点坐标，△PQG是直角三角形，求出PQ,PG的长，利用面积公式求出△PQG
的面积，利用导数求出面积的最大值.
( ) y y y y1 直线AM的斜率为 x+2 (x≠-2)，直线BM的斜率为 x-2 (x≠ 2)，由题意可知：x+2 x-2 =
- 12 x
2+ 2y2= 4,(x≠±2)，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在 x轴上，不包括左右两顶点的椭
x2 y2
圆，其方程为 4 + 2 = 1, x≠±2 ；
(2) (i)
[方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为-1即可证得题中的结论】
依题意设P x1,y1 ,Q -x1,-y1 ,G x0,y0 ，
y -y -y -y y +y
直线PQ 1 0 1 0 1 0的斜率为 k(k> 0)，则 kPG= x -x ,kGQ=1 0 -x1-x
=
0 x1+x
，
0
y21-y20 1
所以 kPG kGQ= 2 2 =-x1-x0 2
．
-y y
又 k 1 1 k 1GQ= kEQ= -x =1-x1 2x
=
1 2
，所以 kPG=- ，k
进而有PG⊥PQ，即△PQG是直角三角形．
[方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为-1即可证得题中的结论】
由题意设P x0,y0 ,Q -x0,-y0 ,G x1,y1 ，则E x0,0 ．
y y y +y
因为Q，E 1 0 1 0，G三点共线，所以 x1-x
=
0 2x
=
0 x1+x
，
0
x2 y2 x2 y2
P G 0 1又因为点 ， 在椭圆上，所以 0 14 + 2 = 1, 4 + 2 = 1，
x +x
两式相减得 k 0 1PG=- ，2 y0+y1
y y +y x +x
所以 k 0 PQ kPG= x -
x0+x1 =- 1 0 0 1 =-1，所以PQ⊥PG．
0 2 y0+y1 x1+x0 y0+y1
(ii)
[方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】
y= 2kx, x1= ,2
设P x1,y1 ，则直线PQ 2k +1的方程为 y= kx(k> 0)，联立 x2 y2 解得 4 + 2 =1, 所以直线PGy1= 2k ,2k2+1
y=- 1
2
的方程为 x-x1 + y1=- 1 x+ 1 x 11+ kx1=- x+ k +1 x1．联立直线PG的方程和椭圆Ck k k k k
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2 2 2 2
2 2
2 4x1 k +1 2x1 k +1 4x1 k +1 的方程，可得 2 +1 x - 2 x+ 2 - 4= 0，则 x1+ x = ，所以Sk k k 0 k2+2 △PPG=
1 1 4x k21 +1 8 k2+1 k 8k k2+1
2 y1 2x0+ x1-x0 = 2 kx1 = = ．k2+2 k2+2 2k2+1 2k4+5k2+2
S 令 △PQG = 0，即
8 2(1-k) 1+k+k2+k3+k4+k5 +k2(1-k)(1+k) = 0．
2k4+5k2+2 2
注意到 k> 0，得 k= 1，所以S△PQG在区间 (0,1)内单调递增，在区间 (1, +∞)内单调递减，所以当 k= 1
16
时， S△PQG max= 9 ．
[方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】
设QG的中点为N，直线PQ的斜率为 k，则其方程为 y= kx(k> 0)．
y=kx,由 x2 y2 解得 x=±
2
．由 (Ⅰ)得 k k 1
+ =1, + QG
=
1 2k2 2
,kON=- ．直线QG的方程为 y=k
4 2
k x+ 2 ON y=- 1 x x =- 2k
2
2 ，直线 的方程为 ，联立得 M ， ON = 1+
1
k
x
1+2k2 k2+2 1+
M
2k2 k2
= 2k 1+k
2
．
k2+2 1+2k2
OQ = 1+k2 x = 2 1+k
2 1 2k 1+k2
又 Q ，从而S△OQM= 2 ON OQ =+ 2 k2 2
，进而S
+2 1+2k △PQG
=
1 2k
8k
=
1+k2
4S△OQM ．以下同解法一．
k2+2 1+2k2
【整体点评】(2) (i)方法一：斜率之积为-1是证明垂直的核心和关键；
方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单.
(ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解；
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