江苏省盐城市五校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中学情调研检测数学试题(pdf版,含答案)

2024/2025学年度第二学期
联盟校期中学情调研检测高二年级数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题
卡上。用 2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用
橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知Am14= 14× 13× 12× × 5，那么m= ( )
A. 5 B. 9 C. 10 D. 11

2. 已知向量 a= -3,2,3 ，b= 1,x,-1 a 且 ∥ b，则 x的值为 ( )
A. 0 B. - 2 3 13 C. - 2 D. 3
3. 已知事件A,B，若P B A = 3 14 ，P A = 3 ，则P AB = ( )
A. 1 B. 14 2 C.
2
3 D.
3
4
4. 某射手射击所得环数 ξ的分布列如下：
ξ 7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知 ξ的均值E(ξ) = 8.9，则 y的值为 ( )
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.2
5. 为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量． 3月 5日学雷锋纪念日来临之际，盐城某中学举办了主题为
“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共 4个题目，三位参赛学生从中随机选取一个题
目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为 ( )
A. 3 B. 4 C. 35 5 8 D.
3
64
6. 设n∈N *， a+b 2 n展开式中二项式系数的最大值为 x， a+b 2 n+1展开式中二项式系数的最大值为 y，
若 11x= 6y，则n= ( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
7. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为 2，底面ABC是边长为 2的正三角形，∠A1AB=∠A 1
AC= 60°，
若B1C和BC1相交于点M .则 AM = ( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
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8. 二进制数是用 0和 1表示的数，它的基数为 2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制
数 a0a1a2 ak 2(k∈N *)对应的十进制数记为mk，即mk= a k0× 2 + a1× 2k-1+ ...+a × 2+ a × 20k-1 k ，其
中 a0= 1，ai∈ 0，1 (i= 1，2，3， ，k)，则在 a0，a1，a2， a8中恰好有 2个 0的所有二进制数 (a0a1...a8)
2对应的十进制数的总和为 ( )
A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 若随机变量X~B 8, 13 下列说法中正确的有 ( )
3 5
A. P(X= 3) =C3 18 3
2
3 B. E(X) =
8
3
C. E 16 2X-1 = 3 D. D 2X-1 = 4
10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别是面A1B1C1D1和面CDD1C1的中心，则下列结论正确的是
( )

A. A1B1与AD,AC共面
B. BC π1与CD1夹角为 6
C. 110平面AEF与平面ABCD夹角的正弦值为 11
D. 30若正方体棱长为 2，则点A到直线BF的距离 3
11. 甲箱中有 2红球，3个白球和 2个黑球，乙箱中有 3个红球和 3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入
乙箱中，再从乙箱中摸出 2个球，分别用A1，A2，A3表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，
用B表示从乙箱中摸出的 2个球颜色不同的事件，则 ( )
A. P A1 = 27 B. P B A
5 3 31
2 = 7 C. P B A3 = 7 D. P B = 49
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 2 3甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是 3 ，5 ，那么两人都解错的概率是 .
13. 2-x+x2 6 展开式中 x2的系数为 .
14. 某校甲、乙等 6位同学五一计划到新四军纪念馆、海盐博物馆、中华麋鹿园研学，每个地方至少去 1人．
(用数字表示)
(1)有 种不同的安排方法；
(2)由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去海盐博物馆，有 种不同 安排方法．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. (本小题满分 13分)
n
已知二项式 x2+ 1 (n∈N *)展开式中，前三项的二项式系数和是 56，求：2 x
(1)n的值；
(2)展开式中的常数项．
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16. (本小题满分 15分)
2025年 3月 12日是我国第 47个植树节，为建设美丽新盐城，盐城市伍佑中学高二年级 7名志愿者参加
了植树节活动，3名男生和 4名女生站成一排． (最后答案用数字作答)
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)全体站成一排，男生彼此不相邻的站法有多少种
(3)甲、乙两人至少间隔 2人的站法有多少种
17. (本小题满分 15分)
甲，乙两小朋友参加“欢乐六一”游戏比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得 1分；
如果甲输乙赢，则甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得 0分，设一轮比赛中甲赢的概率为
60%，乙赢的概率为 50%，求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分X的概率分布列 (列表表示)；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的均值与方差．
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18. (本小题满分 17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥平面BB1C π1C，已知∠BCC1= 3 ,BC= 1,
AB=CC1= 2,点E是棱CC1的中点.
(1)求平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值.
(2)在棱CA上是否存在一点M EM 2 11 CM，使得 与平面A1B1E所成角 正弦值为 11 ？若存在，求出 CA
的值；若不存在，请说明理由.
19. (本小题 17分)
已知函数 fn x = 1+λx n = a 20+ a1x+ a2x + +a xnn ，其中 λ∈R，n∈N．
(1)若n= 8，a7= 1024，求 ai i=0,1,2,3 ,8 的最大值；
n
(2)若 λ= 2，求 rar；(用n表示)
r=0
n
(3) k若 λ=-1，求证： Ck kn n x fn-k x =x．k=0
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参考答案
1- 8 C B A B C A D D
9、AB 10、ACD 11、ABD
2
12、15 13、432 14、(1)540 (2)100
15、(1)C0n+C1 2n+Cn= 56 2分
+ + n(n-1)1 n 22 = 56 n +n- 110= 0 5分
n= 10,n=-11(舍去)． 6分
1 10 r r 5r(2) x2+ 展开式的第 r+ 1项是Cr ( 20-10 x2)10-r 1 =Cr 1 x 2 ，8分2 x 2 x 10 2
20- 5r2 = 0 r= 8， 10分
8
故展开式中的常数项是C8 110 2 =
45
256 ． 13分
16、(1)甲不在中间也不在两端，故甲可选 4个位置，其余六人可排除A66种，
故共有 4A66= 2880种； 4分
(2)先排女生共A44种排法，男生在五个空中安插，有A35种排法，故共有A4 34A5= 1440种排法；
9分
(3)A25A2A4+A3A2 3 4 22 4 5 2A3+A5A2A22+A5 25A2= 2400 15分
17、(1)一轮比赛中，甲得分X的可能取值为-1,0,1， 1分
P X=-1 = 1-60% 50%= 15 ， 2分
P X=0 = 60% 50%+ 1-60% 1-50% = 12 3分
P X=1 = 1-50% 3 60%= 10 4分
则X的概率分布列为：
X -1 0 1
1 1 3
P
5 2 10
6分
(2)甲在二轮比赛中的得分Y可能取值为-2, -1,0,1,2，
P Y=2 =P X=1 P X=1 = 9100 ，
P Y=1 =C12 P X=1 P X=0 3 = 10 ，
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P Y=0 =C12 P 37 X=-1 P X=1 +P X=0 P X=0 = 100 ，
P Y=-1 =C12 P X=-1 P X=0 = 15 ，
P Y=-2 =P X=-1 P X=-1 = 125 10分
所以甲的得分Y的均值为E Y = 2× 9 3100 + 1× 10 + 0×
37
100 +
1 1
-1 × 5 + -2 × 25 =
1
5 ， 12分
甲的得分Y的方差为D Y = 2-E Y 2 P Y=2 + 1-E Y 2 P Y=1 + 0-E Y 2
2 2
P Y=0 + -1-E Y 2 P Y=-1 + -2-E Y 9 2 P Y=-2 = 5 ×
9
100 +
4
5 ×
3 2 2 2
10 +
1 37 6 1 11 1 49
5 × 100 + - 5 × 5 + - 5 × 25 = 50 ，
甲的得分Y 1 , 49的均值与方差分别为 5 50 . 15分
18、(1)在ΔBCC1中，
BC 21 =BC2+CC 21 - 2BC CC1cos∠BCC1= 1+ 4- 2× 1× 2cos60° = 3，即BC1= 3，所以BC2
+BC 21 =CC 21，BC⊥BC1， 1分
分别以BC,BC1,BA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，
则C(1,0,0)，C1(0, 3 ,0)，A(0,0,2)，B1(-1， 3，0) E 1 3， 2 , 2 ,0 ，
3 3 EB1= - 2 , 2 ,0 ，EA= -
1
2 ,-
3
2 ,2 ，B1A1=BA= (0,0,2)， 2分

设平面AB1E的一个法向量为m= (x1,y1,z1)，
m

EA=-
1 3
2 x1- 2 y1+2z1=0 则 ，取 y1= 3，则x1= 1，z1= 1，即m= (1, 3 ,1)， m EB1=- 32 x1+ 32 y1=0
4分
设平面A1B1E

的一个法向量为n= (x2,y2,z2)，

n B1A1=2z2=0则 3 3 ，取 y = 3 x = 1 z

2 ，则 2 ， 2= 0，即n= (1, 3 ,0)， 6
n EB1=- 2 x2+ 2 y2=0
分
m n
cos= 1+3 2 5
m
= = ，
n 1+3+1× 1+3+0 5
所以平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值为
2 5
5 ． 8分
(2)假设存在满足题意的点M，且 CM = k，即CM = kCA= k(-1,0,2) = (-k,0,2k)，
CA
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EM =EC +CM = 1 32 ,- 2 ,0 + (-k,0,2k) =
1
2 -k,-
3
2 ,2k ， 10分
设EM与平面A1B1E所成角为θ，
1 3
= < , > = EM n
-k-
sinθ cos EM n = 2 2 = 2 11则 ， 12分
EM n 1 2 11 2 -k + 34 +4k2×2
1 5
解得k= 3 或k= 23 ， 16分
M CM = 1 5所以存在满足题意的点 ，且 或
CA 3 23
． 17分
19、(1)f x = 1+λx 88 = a 20+ a1x+ a2x + +a 88x ，
a7=C7 78λ = 1024 λ= 2， 1分
不妨设ai中at t=0,1,2,3, ,8 ，则
a ≥a
t t
t t-1 C82 ≥C
t-12t-18 t≤6
≥ t t≥ t+1 t+1 ≥ t= 5或 6， 3分at at+1 C82 C8 2 t 5
ai中的最大值为a5= a6=C5 582 =C6826= 1792； 5分
n n
(2)若 λ= 2， 1+2x n = arxr，两边求导得 2n 1+2x n -1= ra xr-1r ， 8分
r=0 r=0
n
令x= 1得， rar=2n 3n-1. 10分
r=0
(3)若 λ=-1，fn x = 1-x n ， 12分
n
Ck kn n x
k fn-k x
k=0
=C0 0 0 n 1 1 1 2 nn n x 1-x +Cn n x 1-x
n -1+C2 x2 1-x n -2+ +Cn nn n n n x 1-x
0 ，
k k = n!
n-1
k =
! n-1 !
因为Cn n = =C
k-1，
k! n-k ! n k-1 ! n-k ! k-1 ! n-1 - k-1 ! n-1
n
所以 Ck k kn n x fn-k x = 0+C
0 1
n-1x 1-x n -1+C1 2n-1x 1-x n -2+ +Cn-1 nn-1x 1-x 0
k=0
= x C0 0 n-1 1 1 n-2n-1x 1-x +Cn-1x 1-x + +Cn-1n-1xn-1 1-x 0
= x x+ 1-x n-1= x． 17分
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