广东省2025年中考模拟数学押题卷 含详解

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广东省2025年中考模拟数学押题卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．﹣3的绝对值等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0
2．被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（　　）
A．55×104 B．5.5×104 C．5.5×105 D．0.55×106
3．如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
5．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送12件，还剩6件；若每个快递员派送15件，则差9件，设该分派站有m名快递员，则可列方程为（　　）
A．12（m+6）＝15（m﹣9） B．12m+6＝15m﹣9
C．12（m﹣6）＝15（m+9） D．12m﹣6＝15m+9
6．光线由空气射入清澈的水面时会在水面发生镜面反射，在射入水中后会发生折射现象．如图入射光线AP在射入水面P点的反射光线为PQ，折射光线为PB，若反射光线与折射光线夹角为80°，入射光线与折射光线夹角为160°，则入射光线与水平面的夹角为多少度？（　　）
A．40° B．20° C．30° D．35°
7．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△OAB中，AO＝AB，AC⊥OB于点C，点A在反比例函数y（k≠0）的图象上，若OB＝4，AC＝3，则k的值为（　　）
A．12 B．8 C．6 D．3
8．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（　　）
A．25° B．36° C．35° D．40°
9．已知实数a，b满足a﹣b+2＝0，﹣5＜a+b﹣1＜1，则下列判断正确的是（　　）
A．﹣2＜a＜﹣3 B．2＜b＜3 C．﹣7＜2a+b＜2 D．﹣1＜a+2b＜4
10．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．因式分解：8a3﹣2ab2＝　 　 ．
12．正多边形一个外角的度数是60°，则该正多边形的边数是　 　 ．
13．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个解，则2a2+4a﹣1的值为　 　 ．
14．如图是一个游戏装置，四边形ABOD是正方形，点光源E为OB的中点．点P、点Q为AD的三等分点，PQ是一个感光元件．若从点E发出的光线照向平面镜OD，其反射光线照射到PQ上（含端点），该感光元件就会发光．已知点E（﹣3，0），反射光线所在直线为y＝kx+b，当感光元件发光时，b的取值范围为 　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O1AB1，再将△O1AB1绕点O1旋转180°得到△O1A1B2，再将△O1A1B2绕点A1旋转180°得到△O2A1B3，按此规律进行下去，若点B的坐标为（﹣2，0），则点B2024的坐标为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（7分）已知x2﹣3x+2＝0，
（1）求x的值；
（2）求（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2的值．
17．（7分）（1）解不等式组：
（2）先化简，再求值：，其中x＝5，y＝﹣10．
18．（7分）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　 　 名学生，圆心角β＝ 　 　 度；
（2）已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（3）李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
19．（9分）如图，一次函数y1＝﹣2x+2的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，与x轴、y轴分别相交于点C、D，作AE⊥y轴，垂足为点E，连接CE，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当x＜0时，直接比较y1，y2的大小．
20．（9分）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元/台） m m﹣3
月处理污水量（吨/台） 200 180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，点P为y轴上一点，⊙P交y轴于点A，点B，交x轴的正半轴于点C，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交y轴于点F．
（1）求证：EF为⊙P的切线；
（2）若A（0，﹣1），，求图中阴影部分的面积．
22．（13分）数学兴趣小组的同学们以“图形的折叠“为主题开展探究活动．
【操作推断】
（1）如图①，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点M处，延长BM交CD于点F，连接PF，则∠BPF＝　 　 °；
【迁移探究】
（2）如图②，延长PM交CD于点E，连接BE．
①∠PBE＝　 　 °；
②小明用大小不同的正方形纸片重复几次以上操作，总发现CF＝3FD．请判断该发现是否正确？并说明理由；
【拓展应用】
（3）将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，如图③，点P是AD上一动点，沿BP折叠，使点A落在点M处，射线BM交射线CD于点F．当时，直接写AP的长．
23．（14分）将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：|﹣3|＝3．
故选：B．
2．【解答】解：55000＝5.5×104，
故选：B．
3．【解答】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：C．
4．【解答】解：Rt△ABC中，sinα，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
5．【解答】解：由题意得：12m+6＝15m﹣9．
故选：B．
6．【解答】解：由题意得：∠APM＝∠QPM，
∠QPB＝80°，
∠APB＝160°，
∵∠APM+∠QPM+∠QPB+∠APB＝360，
∴∠APQ＝∠APM+∠QPM＝360°﹣80°﹣160°＝120°，
∴∠APM＝60°，
∴∠APG＝90°﹣60°＝30°，
即入射光线与水平面的夹角为30°．
故选：C．
7．【解答】解：∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝2，
∵AC＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y，可得k＝6，
故选：C．
8．【解答】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN∠MON＝36°，
故选：B．
9．【解答】解：∵a﹣b+2＝0，
∴b＝a+2，
∵﹣5＜a+b﹣1＜1，
∴﹣5＜a+a+2﹣1＜1，即﹣5＜2a+1＜1，
∴﹣3＜a＜0，故选项A不合题意；
∵b＝a+2，﹣3＜a＜0，
∴﹣1＜b＜2，故选项B不合题意；
由﹣3＜a＜0得，﹣6＜2a＜0，
由﹣1＜b＜2得，﹣2＜2b＜4，
∴﹣7＜2a+b＜2，﹣5＜a+2b＜4，故选项C符合题意，选项D不合题意．
故选：C．
10．【解答】解：结合图象，得到当x＝0时，PO＝AO＝4，
∴当点P运动到点B时，PO＝BO＝2，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴，
当点P运动到BC中点时，PO的长为，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．【解答】解：8a3﹣2ab2＝2a（4a2﹣b2）
＝2a（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．
12．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷60°＝6．
故答案为：六．
13．【解答】解：将x＝a代入x2+2x﹣3＝0得a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×3﹣1＝5．
故答案为：5．
14．【解答】解：如图，取点E关于y轴的对称点E'，
∵点E（﹣3，0）为OB的中点，
∴BE＝OE＝3，
∵四边形ABOD是正方形，
∴OB＝OD＝AD＝6，
∵点P、点Q为AD的三等分点，
∴P（﹣4，6），Q（﹣2，6），
∵点E（﹣3，0）关于y轴的对称点E'，
∴E'（3，0），根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点E'，
设反射光线所在的直线的解析式为y＝ax+b（a为常数，且a≠0），
将E'（3，0）代入y＝ax+b，
得3a+b＝0，
∴，
∴，
当反射光线经过P（﹣4，6）时，得，
解得，
当反射光线经过Q （﹣2，6）时，得，解得，
∴，
故答案为：．
15．【解答】解：由题意可得：O1B1＝O1A＝OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝60°＝∠AO1B1＝∠AB1O1，
∴∠AOB1＝∠AB1O＝30°，
∴∠OB1O1＝90°，
故，
即，，
则，
同理可得，，
，，
故点B2024的坐标为，
即．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2；
（2）∵x2﹣3x+2＝0，
∴x2﹣3x＝﹣2，
∴（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2
＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7
＝2（x2﹣3x）﹣7
＝2×（﹣2）﹣7
＝﹣11．
17．【解答】解：（1），
解不等式①得，x≤4，
解不等式②得，x＞2，
∴原不等式组的解集是2＜x≤4，
（2）
，
当x＝5，y＝﹣10时，
原式．
18．【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取了10÷20%＝50（名）学生．
圆心角β＝360°144°．
故答案为：50；144．
（2）1200480（人）．
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数约为480人．
（3）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中A，B两人的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴恰好抽中A，B两人的概率为．
19．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣2x+2的图象与x轴、y轴分别相交于点C、D，
∴C（1，0），D（0，2），
∴OD＝2，
∵DE，
∴OE＝2，
∵AE⊥y轴，
∴E（0，2），
∴点A的纵坐标为2，
∵点A在y1＝﹣2x+2图象上，
∴当y＝2时，22x+2，
解得：x，
∴点A坐标为（，2），
∵反比例函数的图象过点A，
∴k（2），
∴反比例函数的表达式为：y；
（2）由图象可知：当x＜0时，y1＜y2，
当x时，y1＝y2，
当x时，y1＞y2．
20．【解答】解：（1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：，
解得m＝18，
经检验m＝18是原方程的解，即m＝18；
（2）∵A型污水处理设备的单价为18万元，B型污水处理设备的单价为15万元，
设买A型污水处理设备x台，则B型（10﹣x）台，
根据题意得：18x+15（10﹣x）≤165，
解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，
当x＝0时，10﹣x＝10，月处理污水量为1800吨，
当x＝1时，10﹣x＝9，月处理污水量为200+180×9＝1820吨，
当x＝2时，10﹣x＝8，月处理污水量为200×2+180×8＝1840吨，
当x＝3时，10﹣x＝7，月处理污水量为200×3+180×7＝1860吨，
当x＝4时，10﹣x＝6，月处理污水量为200×4+180×6＝1880吨，
当x＝5时，10﹣x＝5，月处理污水量为200×5+180×5＝1900吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为1900吨．
21．【解答】（1）证明：连接PD，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°，
∵PA＝PD，
∴∠PAD＝∠PDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAD＝∠DAC，
∴∠PDA＝∠DAC，
∴PD∥AC，
∴∠PDF＝∠E＝90°，
∵PD是⊙P的半径，
∴EF为⊙P的切线；
（2）连接PC，
∵A（0，﹣1），，
∴OA＝1，OC，
在Rt△AOC中，AC2，
tan∠OAC，
∴∠OAC＝60°，
∵PA＝PC，
∴△PAC是等边三角形，
∴PA＝AC＝2，
∵PD∥AE，
∴∠FPD＝∠PAC＝60°，
在Rt△PFD中，PD＝2，
∴DF＝DP tan60°＝2，
∴阴影部分的面积＝△DPF的面积﹣扇形BPD的面积
DP DF
2×2π
＝2π，
∴阴影部分的面积为2π．
22．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AP＝PM，∠A＝∠PMB＝90°，∠APB＝∠BPM，
∴PD＝PM，∠D＝∠PMF＝90°，
∵PF＝PF，
∴Rt△PFD≌Rt△PFM（HL），
∴∠DPF＝∠MPF，
∴，
∴∠BPM＝90°，
故答案为：90；
（2）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，
∴AP＝PD，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴AB＝BM，∠A＝∠PMB＝90°∠ABP＝∠MBP，
∴BM＝BC，∠C＝∠PMF＝90°，
∵BE＝BE，
∴Rt△BEM≌Rt△BEC（HL），
∴∠MBE＝∠CBE，
∴，
故答案为：45；
②判断正确，理由如下：
∵∠DPF+∠APB＝∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠DPF＝∠ABP，∠A＝∠D＝90°，
∴△ABP∽△DPF，
∴，
∴，
∴，即CF＝3FD；
（3）∵将边长为1的两个相同正方形拼成矩形ABCD，
∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝1，
∴，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴PM＝AP，
①当点F在CD的延长线上时，
∴，
设BF与AD交于E，
∵DF∥AB，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵∠PEM＝∠BEA，∠PME＝∠A＝90°，
∴△PEM∽△MEA，
∴，即，
解得：，
∴；
②当点F在CD上时，
∵DF∥AB，
∴△ABH∽△DFH，
∴，
∴，
解得：，
∴AH＝AD+DH＝4，
∴，
∵∠PHM＝∠DHF，∠PMH＝∠A＝90°，
∴△PHM∽△BHA，
∴，
∵沿BP折叠，使点A落在点M处，
∴PM＝AP＝4﹣PH，
∴，
解得：，
∴；
综上所述：AP或．
23．【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m）2，
∵﹣1＜0，
∴当m时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EFPE，
∴S△PEFPF EFPE2，
∴当m时，S△PEF最大值（）2；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．