浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高一（AP班）下学期期中考试数学试卷(pdf版,含答案)

绝密★考试结束前
浙东北县域名校发展联盟（ZDB）
2024/2025学年第二学期期中考试高一数学试卷（AP班）
考生须知：
1．本卷共 4页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．

1．△ ABC中，点D BC 是 上靠近点 B的五等分点，设 AB a， AC b ，则 AD
1 a 3

b 1 a 4

b 4 a 1 b 3 a 1

A． B． C． D． b
4 4 5 5 5 5 4 4
2．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式．如图所示的亭子模型带有攒尖，
4 5
其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为 4π，体积为 π，则将
3
此圆锥展开，所得扇形的圆心角为
2π 5π 4π 7π
A． B． C． D．
3 6 3 6
3 C : x
2 y2
．已知椭圆 1的左、右焦点分别为F1，F2，P是 C上在第二象限内的一点，且16 12
PF2 PF1 2，则直线PF2的斜率为
4 3 3 4
A． B． C． D．
3 4 4 3
4．已知向量 a (2,2 3) 1， b (t，1)，若 b 在 a 上的投影向量为 a ，则 t
4
A． 3 2 B． 3 2 C． 3 2 D． 3 2
5．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 ABCD的直观图为梯形
A B C D ，其中 A B / /C D ， A B B C ， A B 2，D C 1．以原四边形
ABCD的边 AD为轴旋转一周得到的几何体体积为
14 2 7 2 4 7 2 10 （第 5题图）A． π B． C． π D．
3 4 3 3
6．已知点 A 1,0 ， B 4,0 ，点 P满足 BP 2 AP ，记 P的轨迹为C，下列说法正确的是
A．曲线C的方程为 x2 y2 1 B．曲线C的方程为 x2 y2 4
C．点 P的轨迹所围成的面积为 2 D．点 P的轨迹所围成的面积为8
高一数学（AP班） 试题 第 1页(共 4页)
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7．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，M ,N 分别是棱 AA1和CC1上的中点，点 P是正方体表
1
面上一点且满足 PM PN ，则点 P的轨迹长度为
8
A 14 3 14． B． 14 C． D． 3 14
2 2
x28 y
2 x2 y2
．已知椭圆C1： 2 1（ a b 0）和双曲线C ： 1（m 0， n 0）有相同的焦a b2 2 m2 n2
点 F1,F2，P为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率．若 PF1F2 F2PO，
e 2则 2 的最小值为e1
A． 2 2 B． 3 2 C． 4 2 D． 6 2
二、选择题：本题共 3小题，每题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．

9．对于任意两个非零向量 a和 b，下列命题中正确的是
2 2 A 2． a | a |2 B． | a b | | a b | | a b |

| a

b | a b a b
C． a在b方向上的投影向量的模为 D．向量 与向量 垂直
| b | | a | | b | | a | | b |
10．在平面直角坐标系 xOy中，点 A,B分别在直线 l1： y kx（ k 0）， l2： y kx上（均异于点
O）， AOB ，OP OA OB．过点 A,B分别作 AOB的角平分线的垂线，垂足分别为M ,N ，
△OAM ，△OBN 的面积分别为 S1， S2．若 S1 S2 为定值，则
A (0, ) P B ( ． 时，点 的轨迹是椭圆 ． , )时，点 P的轨迹是双曲线
2 2
C．存在 ，使得点 P的轨迹是圆 D．存在 ，使得点 P的轨迹是抛物线
11．若正方体 ABCD A1B1C1D1边长为 1，点 P满足 DP DA DC，其中 [0,1]， [0,1]，则
A．当 0时，存在点 P，使得 AP //平面 A1BC1
B．当 ， 满足 2 时，不存在点 P，使得 A1P C1P
C．当 ， 满足 1时，存在点 P，使得 BP与平面 A1BC1所成角为 3
D．当 2 3， 满足 2 2 4 2 1时，三棱锥 P ACD1的体积的最小值为 12
非选择题部分
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．抛物线 x 8y2上一点到其焦点 F的距离的最小值为 ．
13．已知O为坐标原点，圆C： (x 1)2 y2 2， P在直线 l： x y 2 0上运动，则 PC PO 的
最小值为 ．
高一数学（AP班） 试题 第 2页(共 4页)
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14．已知等边△ ABC的边长为 2，△ ABC所在平面存在O，P两点，满足OP 1OA 2OB 3OC，
其中 1 2 3 1且 1， 2 ， 3 0．若 OP 1，则点 O 运动所形成的轨迹的区域面积
为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
15．（本题满分 13分）如图所示，在△ ABC中，D,F分别是边 BC ,AC 的中点，AE AD，
3 AB a
，

AC b．

（1）用 a,b表示 AD，CD；
（2）求证： B,E,F 三点共线．
（第 15题图）
16．（本题满分 15分）已知直线 l：mx (2m 1)y 2 0，圆C ： x2 y21 6x 6y 9 0，圆C2：
(x 2)2 (y 3)2 16．
（I）判断直线 l与圆C1的位置关系，并说明理由；
6 3
（II）圆C1与圆C2交于 A、B两点，求过 A、B与 ( ， )这三点的圆的方程．5 5
17．（本题满分 15分）已知直三棱柱 ABC A1B1C1的棱长均为 2， BC 中点为 D， B1C与C1D交于
点 E， AF 2FC． A C1 1
（I）证明： EF //平面 ABB1A1；
（II）求平面 DEF 与平面 ABC所成角的余弦值．
B1
E
A F C
D
B
（第 17题图）
高一数学（AP班） 试题 第 3页(共 4页)
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2 2
18 x y 1 3．（本题满分 17分）已知椭圆C： 2 2 1（ a b 0）的离心率 e ，且过点 (1, )．a b 2 2
（I）求曲线C的标准方程；
（II）若曲线C的左右顶点分别为 A，B，过点M (3,0)且斜率为负数的直线 l与C交于 P,Q两点（ P
点在Q点上方），直线 AQ与 BP的交点为 N ．
（i）求证：点 N在定直线m上；
S
（ii）若直线m与 x轴交于点 H ，求 △PAH 的取值范围．
S△QBH
19．（本题满分 17分）如图，曲线C是一条“双纽线”．已知C过 ( 2,0)，C上任意一点 P
到点 F1( a,0)， F2 (a,0)的距离之积为定值 a2（ a 0）．
（I）求 a的值；
（II）求 OP 的最大值；
（III）除原点外，直线 l1： y k1x，l2： y k2x分别与C相交于 P,Q，M ,N 四点．记四边形 PMQN
2
的面积为 S ，求证： S
2(1 k1k ) 2
(1 k 2 )(1 k 2
．
1 2 )
（第 19题图）
高一数学（AP班） 试题 第 4页(共 4页)
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2024/2025学年第二学期期中考试高一数学试卷（AP班）参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1-4．CCBA 5-8．ABDC
二、选择题：本题共 3小题，每题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错得 0分．
9．ACD 10．AC 11．ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12 1． 13． 13 14． 3 6
32
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）如图，延长 AD到G，使 AG 2AD ，连接 BG,CG，得到平行四边形 ABGC，
1 1
则 AG a b， AD AG a b ，2 2
1 CD CB 1

(a b)．
2 2
2 1 （2）由（1）知， AE AD a b3 3 ，
1 BE AE 1

AB a b a b 2a3 3 ，
1 1 AF AC b，BF AF AB
1 1
b a b 2a 2，所以 BE BF，2 2 2 2 3

所以 BE,BF共线，又因为 BE,BF有公共点 B，所以 B,E,F 三点共线．
（其他方法，酌情给分．）
16．（1）由于m(x 2y) 2 y 0，则直线过定点 4，2 ，
C1： (x 3)2 (y 3)2 9， ( 4 3)2 (2 3)2 2 9，故定点在圆内，直线与圆相交．
（若联立方程用判别式法等其他方法判断，酌情给分．）
(x 3)2 (y 3)2 9 6 27 6 3
（2）法一：联立两圆方程 ，解得 A( ， )， B( ， )，
(x 2)
2 (y 3)2 16 5 5 5 5
高一数学（AP班）参考答案 试题 第 1页(共 4页)
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令所求圆方程为 (x a)2
36
(y b)2 r 2，代入三点，得所求圆方程为 x2 (y 3)2 ．
5
（若利用圆的一般方程形式等其他方法求解，酌情给分．）
法二：令所求圆方程为 (x 3)2 (y 3)2 9 (x 2)2 (y 3)2 16 0，
(6 3代入 ， ) 3，解得 ，故所求圆方程为 x2
36
(y 3)2 ．
5 5 2 5
DC CE 1 CE CF 1
17．（1）△ DEC 与△C1EB1相似，则 B1C1 B E 2
，
1 CB1 CA 3
，
故在△ ACB1中， EF // AB1．又 EF 平面 ABB1A1， AB1 平面 ABB1A1，
则 EF //平面 ABB1A1．
（2）如图，以为D坐标原点，DA方向为 x轴，DC 方向为 y轴，平行于 BB1方向为 z轴建
3 2
立空间直角坐标系，则 A( 3,0,0)，C(0, 1,0)，F ( , ,0)， z
3 3 A C1 1
1 2
DF 3 2 ( , ,0)，DE (0, , )．
3 3 3 3
平面 ABC的法向量为 n (0,0,1)． B1
m DF 0
设面 DEF 的法向量为m (x, y, z)， ，取 E
m DE 0 x A F C
m (4 3,6,3)．
D
设平面 DEF

与平面 ABC所成角大小为α（ 0 ），
2 B
y
m n
cos 93则 ，从而平面DEF 与平面 ABC所成角的
m n 31
93
余弦值为 ．
31
（若利用几何法等其他方法求解，酌情给分．）
18 c 1 1 9．解答 （1）由题意知 e ， 2 1，解得 a 2， b 3， c 1，a 2 a 4b2
x2 y2
双曲线C的标准方程为 1．
4 3
x my 3
（2）（i ）设直线 PQ的方程为 x my 3，联立 ，则 (3m2 4)y2 2 2 18my 15 0，
3x 4y 12
182m2 60(3m2 4) 0 15，解得m ．
3
高一数学（AP班）参考答案 试题 第 2页(共 4页)
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y y 18m 1 2 2
设 P(x1, y1)，Q(x , y ) y
6m
2 2 ，其中 1 y 0

， 3m 42 ， y1 y15 2
y1y2．
y 5
1
y2
3m2 4
y
直线 BP的方程为 y 1 (x 2)，直线 AQ y y的方程为 2 (x 2)．
x1 2 x2 2
y y 1 (x 2) 10
x1 2 x 4my1y2 10y 2y
(y1 y2 ) 10y1 2y2 4
联立 ，解得 1 2 ，从而 x 3 ，
y y2 (x 2) 5y1 y2 5y y 1 2 3
x2 2
即点 N 4在定直线 l1： x 上．3
1
4 4 S AH y1
（ii）定直线 l1： x 与 x轴交于点 H ( ,0)，从而
△PAH 2
5y
1 ．
3 3 S 1△QBH BH y y2
2 2
18m 2
y1 t 1 y y (y y )
2 ( 2 ) 108m2
记 ，其中 t 1，则 t 1 2 1 2 2 3m 4 2 2 2y2 t y2 y1 y1y2 15 5(3m 4)
3m2 4
108 2 26 2 t 1 26
S
，即 ，解得 t (1,5)，从而 △PAH (5,25)．
5(3 4 5 t 5 S
m2
) △QBH
19．解答 （1）由题意知 ( 2 a)2 ( 2 a)2 a2 ，则 2 a2 a2，解得 a2 1，即 a 1．
（2）设 P(x, y)，则 (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 1， (x2 y2 1 2x)(x2 y2 1 2x) 1，
即 (x2 y2）2 2(x2 y2 )，即曲线C的方程为 (x2 y2 )2 2(x2 y2 )．
要求 OP 的最大值，由对称性，不妨设点 P在 y轴右侧．
若 y 0，则 x2 2， OP 2 ．
若 y 0，由于 (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 0，则 x2 y2 ．
x2 2 2
令 2 t（ t
2(x y ) 2(t 1) 4
1 2），则 OP x2 y2 2 2 2 2， OP 2 ．y x y t 1 t 1
综上， OP 的最大值为 2 ．
（3）在曲线C的方程 (x2 y2 )2 2(x2 y2 )中，用 x, y分别替代 x, y，方程不变，则曲线C的
图像关于原点对称．
高一数学（AP班）参考答案 试题 第 3页(共 4页)
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设直线 l1, l2与曲线C在 y轴右侧的交点分别为 P,M ．由于直线 l1, l2也关于原点对称，则四边形
PMQN 为平行四边形，其面积为△OPM 面积的 4倍．
(x2 y2 )2 2(x2 y2 )
联立 ，则 (k 2 1)2 x2 2(1 k 2 2
y k x 1 1
)，则1 k1 0，即 1 k1 1，
1
2(1 k 2 ) 2
x 1 ， OP 1 k 2P x
2(1 k )
1 ．
1 k 2 1 P 1 k 21 1
2(1 k 2 )
同理， 1 k 2 22 1， OM 1 k2 xM 1 k 2
．
2
2 2
记 POM 1 ，则 S OPM OP OM sin
(1 k1 )(1 k 2 ) sin ．
2 (1 k 21 )(1 k
2
2 )
k k k k (1 k 2 )(1 k 2 )(k k )2
又 tan 1 2 ，则 sin 1 2 ，从而 S 1 2 1 2
1 k OPM 2 21k2 (1 k 2 )(1 k 2 ) (1 k )(1 k )1 2 1 2
(1 k 21 k
2
2 k
2 2 2
1 k2 )(k1 k
2
2 2k 2 2 2 21k2 ) (1 k1 k2 k1 k2 ) (k
2 k 21 2 2k k ) (1 k k
2
1 2 1 2
)
(1 k 2 2
2 ，
1 )(1 k2 ) 2(1 k1 )(1 k
2
2 ) 2(1 k
2
1 )(1 k
2
1 )
2
S 4S 2(1 k1k2 ) OPM ，即证．(1 k 21 )(1 k
2
2 )
高一数学（AP班）参考答案 试题 第 4页(共 4页)
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