人教新课标A版必修3数学2.2.2用样本的数字特征估计总体

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2.2.2用样本的数字特征估计总体同步检测
一、选择题
1、如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则（ ）
A、＞，sA＞sB B、＜，sA＞sB
C、＞，sA＜sB D、＜，sA＜sB
答案：B
解析：解答：∵样本A的数据均不大于10，
而样本B的数据均不小于10，
显然＜，
由图可知A中数据波动程度较大，
B中数据较稳定，
∴sA＞sB
故选B．
分析：从图形中可以看出样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，得到结论．
2. 一个罐子里装满了黄豆，为了估计这罐黄豆有多少粒，从中数出200粒，将它们染红，再放回罐中，并将罐中黄豆搅拌均匀，然后从中任意取出60粒，发现其中5粒是红的．则这罐黄豆的粒数大约是（ ）
A、3600粒 B、2700粒
C、2400粒 D、1800粒
答案：C
解析：解答：设这罐黄豆的粒数大约是x粒，
则每粒黄豆被抽到的概率为，
∴可得=．
∴x=2400．
故选C．
分析：设这罐黄豆的粒数大约是x粒，由古典概型公式，可得每粒黄豆被抽到的概率为，根据题意，可得与应较接近，化简可得答案．
3. 新华书店新近了一批书籍，下表是2009年8月份其中连续6天的销售情况记录
日期 6日 7日 8日 9日 10日 11日
当日销售（本数） 30 40 28 44 38 42
根据上表估计新华书店8月份的销售总数是（ ）
A、1147本 B、1110本
C、1340本 D、1278
答案：A
解析：解答：从表中6天的销售情况可得一天的平均销售为本，
又8月份共31天，故8月份的销售总数为37×31=1147本．
故选A
分析：从表格中的数据可以看出，每天的销售数值为在一个数值附近波动，故可用平均值估计总体．
4. 为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：
33、25、28、26、25、31．如果该班有45名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋（ ）
A、900个 B、1080个
C、1260个 D、1800个
答案：C
解析：解答：由已知抽样数据可得平均数为=28个，
据此可以估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋的数量约为28×45=l260个．
故选C
分析：先计算出抽样数据的平均数，再与全班家庭数相乘，即可作为估计值．
5. 一批产品抽50件测试，其净重介于13克与19克之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，净重大于等于13克且小于14克；第二组，净重大于等于14克且小于15克；…第六组，净重大于等于18克且小于19克．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设净重小于17克的产品数占抽取数的百分比为x，净重大于等于15克且小于17克的产品数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为（ ）
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A、0.9，35 B、0.9，45
C、0.1，35 D、0.1，45
答案：A
解析：解答：结合频率分布直方图，知
x=1﹣（0.06+0.04）
=0.9．
y=50×（0.34+0.36）
=50×0.7
=35．
故选A．
分析：结合频率分布直方图，知用1减去第五组和第六组的频率之和就得到净重小于17克的产品数占抽取数的百分比；第三组和第四组的频率之和乘以50，就得到净重大于等于15克且小于17克的产品数
6. 右图实线是函数y=f（x）（0≤x≤2a）的图象，它关于点A（a，a）对称．如果它是一条总体密度曲线，则正数a的值为（ ）
A、 B、1
C、2 D、
答案：A
解析：解答：因为总体密度曲线关于点A（a，a）对称
所以曲线与x=2a，x轴围成的区域的面积为2a2所以2a2=1所以
故选A
分析：因为总体密度曲线关于点A（a，a）对称所以曲线与x=2a，x轴围成的区域的面积为等于三角形的面积2a2，令其等于1，求出a的值．
7. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.4 8.7 8.7 8.3
方差s2 3.6 3.6 2.2 5.4
从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、丁
答案：C
解析：解答：∵甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，
说明丙的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定，
∴丙是最佳人选，
故选C．
分析：甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选．
8. 下列说法中正确的有（ ）
①样本中位数不受少数几个极端数据的影响；
②抛掷两枚均匀硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；
③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确；
④互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件．
A、①③ B、①②③
C、①②④ D、③④
答案：D
解析：解答：∵果样本中有少数几个极端数据，会影响样本中位数的，∴①错误
∵抛掷两枚均匀硬币，出现“两枚都是正面朝上”的概率为、“两枚都是反面朝上”的概率为、“恰好一枚硬币正面朝上”的 概率为，∴②错误
∵样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确∴③正确
∵互斥事件是必有一个发生的对立事件，∴互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件，④正确
故选D
分析：可以逐一考虑是否正确，①用到了样本中位数的估计，②考查了等可能事件的概率求法，③用样本的频率分布估计总体分布，④考查了对立事件与互斥事件的概念．
二、填空题
9. 用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s= ．
答案：
解析：解答：∵该组样本数据的平均数为10，
∴（8+x+10+11+9）÷5=10，
∴x=12，
∴=2，
∴s=，
故答案为：．
分析：由题意知本题是包含五个数字的求平均数问题，其中一个数字未知，首先根据平均数做出未知数据，再根据方差公式，代入数据求出结果，注意本题求的是标准差，最后要把方差开方．
10. 为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答．如果被调查的600人（学号从1到600）中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 ．
答案：60
解析：解答：设闯红灯的概率为P，
由已知中被调查者回答的两个问题，（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？再由调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题
可得回答是有两种情况：
①正面朝上且学号为奇数，其概率为=；
②反面朝上且闯了红灯，其概率为．
则回答是的概率为+=
解得P=0.1．
所以闯灯人数为600×0.1=60．
故答案为：60
分析：设闯红灯的概率为P，根据已知中的调查规则，我们分析出回答“是”的两种情况，进而计算出回答是的概率，又由被调查的600人（学号从1到600）中有180人回答了“是”，我们易构造关于P的方程，解方程求出P值，进而得到这600人中闯过红灯的人数．
11. 为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有 ．
①2000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的100名运动员是一个样本；
④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的概率相等
答案：④⑤
解析：解答：要了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；
在这个抽样过程中，2000名运动员的年龄是总体，
每个运动员的年龄是个体，
所抽的100名运动员的年龄是一个样本，
样本容量是100，
在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，
综上可知④⑤正确，
故答案为：④⑤
分析：在这个抽样过程中，2000名运动员的年龄是总体，每个运动员的年龄是个体，所抽的100名运动员的年龄是一个样本，样本容量是100，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．
12. 一个高中研究性学习小组对本地区2002年至2004年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图，根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒．
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答案：85
解析：解答：（30×1+45×1.5+90×2）=85
即这三年中该地区每年平均销售盒饭85万盒．
故答案为：85．
分析：本题是求加权平均数，依据加权平均数的计算公式即可求解．
13. 根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 米．
答案：50
解析：解答：由频率分布直方图知
∴水位为50米的=1%，
即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米．
故答案为：50
分析：要求水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位，就是由直方图求出频率为1%的水位数据即可，观察图形可以看出结果．
三、解答题
14. 某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如左表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．
第一批次 第二批次 第三批次
女教职工 196 x y
男教职工 204 156 z
（1）求x的值；
答案：解：∵在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．
有，
解得x=144．
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
答案：解：第三批次的人数为y+z=900﹣（196+204+144+156）=200，
设应在第三批次中抽取m名，则，
解得m=12．
∴应在第三批次中抽取12名．
（3）已知y≥96，z≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．
答案：解：设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A，
第三批次女教职工和男教职工数记为数对（y，z），
由（2）知y+z=200，（y，z∈N，y≥96，z≥96），
则基本事件总数有：（96，104），（97，103），（98，102），（99，101），
（100，100），（101，99），（102，98），（103，97），（104，96），共9个，
而事件A包含的基本事件有：（101，99），（102，98），（103，97），（104，96）共4个，
∴．
解析： 分析：（1）在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16．用x除以总体数等于0.16，做出x的值．（2）根据总体数和第一批次和第二批次的总人数和总体数，得到第三批次的人数，根据每个个体被抽到的概率，列出等式，解方程即可．（3）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数可以通过列举得到结果数，满足条件的事件也可以通过列举得到事件数，根据等可能事件的概率公式得到结果．
15. 某房地产公司对参加本次房交会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，制成表1，表2及频数分布直方图．
表1 被调查的消费者年收入情况
年收入（万元） 1.2 1.8 3.0 5.0 10.0
被调查的消费者数（人） 150 500 250 75 25
表2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况（注：住房面积取整数）
分组（平方米） 40.5～60.5 60.5～80.5 80.5～100.5 100.5～120.5 120.5～140.5 140.5～160.5 合计
百分比 4% 12% 36% 20% 4% 1.00
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请根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据表1可得，年收入 万元的人数最多，最多的有 人；
答案：1.8|500
（2）根据表2可得，打算购买100.5～120.5平方米房子的人数是 人；
打算购买面积不超过100平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是 ；
答案：240|52%
（3）在图中补全这个频数分布直方图；
答案：解：如图
（4）计算被调查的消费者年收入的平均数．
答案：解：被调查的消费者年收入的平均数=（1.2×150+1.8×500+3.0×250+5.0×75+10.0×25）÷1000=2.445
体的数字特征
解析：分析：（1）由表1直接看出年收入 1.8万元的人数最多，最多的有 500人；（2）据表2，打算购买100.5～120.5平方米房子的百分比是1﹣（4%+12%+36%+20%+4% ）=24%，人数为1000×24%=240．打算购买面积不超过100平方米的消费者的人数占被调查人数的百分数是 4%+12%+36%=52%．（3）在100.5～120.5 的频数是420，作图即可．（4）被调查的消费者年收入的平均数=（1.2×150+1.8×500+3.0×250+5.0×75+10.0×25）÷1000=2.445
16. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分
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（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图．
答案：解：由题设知，第四小组的频率=1﹣0.05﹣0.1﹣0.15×2﹣0.25=0.3．
（2）观察频率分布直方图所给信息，估计这次考试的及格率和平均分（大于等于60及格）．
答案：解：及格率=（0.15+0.25+0.3）×100%=70%
平均分=0.05×95+0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85=71．
解析：分析：（1）由题设知，第四小组的频率=1﹣0.05﹣0.1﹣0.15×2﹣0.25=0.3．（2）及格率=（0.15+0.25+0.3）×100%=70%．
平均分=0.05×95+0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85=71．
17. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）…第五组[17，18]如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
答案：解：根据直方图可知成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38=28人；
（2）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m﹣n|＞2”的概率．
答案：解：成绩在[13，14）的人数有：50×0.04=2人，设为a，b．
成绩在[17，18]的人数有：50×0.06=3人，
设为A，B，C．m，n∈[13，14）时有ab一种情况．
m，n∈[17，18]时有AB，AC，BC三种情况．
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m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况．
基本事件总数为10，事件“|m﹣n|＞2”由6个基本事件组成．
所以P（|m﹣n|＞2）=
解析：分析：（1）根据直方图矩形的面积表示频率，可知成绩在[14，16）内的人数；（2）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b．成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C；基本事件总数为10，事件“|m﹣n|＞2”由6个基本事件组成．根据古典概型公式可求出所求．
18. 高一年级共有学生1500人，为了了解某次考试数学成绩的分布情况，从50个考场的1500名考生中抽取了每个考场中的3号和23号考生的成绩组成样本，这100名考生的成绩都在区间内[60，160]，样本频率分布表如下：
成绩 频数 频率
[60，80） 10 x
[80，100） 20 y
[100，120） 25 z
[120，140） a 0.3
[140，160] b w
（1）指出本题中抽取样本的方法，并求出表中w的值；
答案：解：本题中抽取样本的方法是系统抽样，表中w的值是0.15
（2）作出样本频率分布直方图；
答案：解：样本频率分布直方图如图
（3）根据样本估计全年级数学成绩在130分以上的人数．
答案：解：根据样本估计全年级数学成绩在13（0分）以上的人数．
从频率分别表中可以得出成绩在区间[130，140）
的频率约为0.15，
所以成绩在区间[130，160]上的频率约为0.30，
所以成绩在[130，160]上的人数大约有450人．
解析：分析：（1）先根据抽样方法的定义得到其为系统抽样，再根据频率的求法，频率=，计算可得答案．（2）欲画频率分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，并把各 频率组数作为小矩形的高，作出频率分布直方图；（3）根据概率的求法，再结合频率=，计算可得答案．（注意是从130开始算，取其一半）．
19. 如图所示是某班学生一次数学考试成绩的频数分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答下列问题：
（1）全班有多少学生；
答案：解：由频率分布直方图可知，成绩在29～39的有1人，39～49的有2人，49～59的有3人，59～69的有8人，69～79的有10人，79～89的有14人，89～99的有6人，
∴总人数为1+2+3+8+10+14+6=44
（2）此次考试平均成绩大概是多少；
答案：解：
（3）不及格的人数有多少？占全班多大比例？
答案：解：不及格的人数有1+2+3=6人，
∵全班共有44人，
∴占全班比例是2
（4）如果80分以上的成绩为优良，那么这个班的优良率为多少？
答案：解：由图知，成绩大于80的有14+6=20人
∵全班共有44人，
∴优良率是
解析：分析：（1）全班总的学生数是各种成绩的人数之和，有频率分布直方图即可得到各种成绩的人数，再相加即可．（2）平均成绩是所有学生的成绩之和除以总人数，因为只知道成绩在每段上的人数，所以用每个成绩段上的平均成绩作为这一段上的成绩的估计值，再乘以这一段上的人数，就是成绩在这一段上的人的总成绩．（3）不及格的是指成绩小于60分的，也就是成绩在29～39，39～49，49～59这三段的人数之和，分别求出人数，相加即可．占全班的比例就是不及格人数除以总人数．（4）优良率就是成绩在80分以上的人数除以总人数．
20. 为了了解某校毕业班数学考试情况，抽取了若干名学生的数学成绩，将所得的数据经过整理后，画出频率分布直方图（如图所示）．已知从左到右第一组的频率是0.03，第二组的频率是0.06，第四组的频率是0.12，第五组的频率是0.10，第六组的频率是0.27，且第四组的频数是12，则
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（1）所抽取的学生人数是多少？
答案：解：因为第四组的频数为12，频率为0.12，则，
即抽取的学生共有100人
（2）哪些组出现的学生人数一样多？出现人数最多的组有多少人？
答案：解：从左到右看频率分布直方图，第一组与第九组出现的学生人数一样多，
第二组和第三组出现的学生人数一样多，
学生人数最多的是第六小组，有0.27×100=27
（3）若分数在85分以上（含85分）的为优秀，试估计数学成绩的优秀率是多少？
答案：解：第一组的人数是0.03×100=3，
第二、三组的人数都是0.06×100=6，
第四组的人数是0.12×100=12，
第五组的人数是0.10×100=10
所以在85分以下的人数约为3+6+6+12+10=37
则在85分以上人数约为100﹣37=63，优秀率约为%=63%
由此估计该学校的数学成绩的优秀率约为63%
解析：分析：（1）根据频率分布直方图中，第四组的频数为12，频率为0.12，根据频率等于频数除以总数进行计算可得答案；（2）从左到右看频率分布直方图，第一组与第九组出现的学生人数一样多，第二组和第三组出现的学生人数一样多，学生人数最多的是第六小组，最后求得人数即可；（3）首先分析直方图可得85分以上的优秀人数，再进一步计算百分比．
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