第十八章平行四边形单元测试（一）（含答案）

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第十八章平行四边形单元测试（一）人教版2024—2025学年八年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直的矩形是正方形
2．下列说法正确的是（　　）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
3．直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则斜边上的中线长是（　　）
A．10 B．5 C．3.5 D．2.5
4．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
5．平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
6．已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（　　）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB＝AD，CB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB＝AD＝BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC＝BD，AD＝AB时，四边形ABCD是正方形
7．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝10，BC＝14，则EF的长是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E、B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．若AB＝2时，则△ADP周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　 　cm．
10．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC，则GH的最小值为 　 　．
11.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，
则∠BFC为_____________度．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，点P是AB边上的一点（异于A，B两点），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M，N，连接MN，则MN的最小值是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，在 ABCD中，E，F两点分别在边AB，CD上，连接DE，BF，AF，DE⊥AB，且∠ADE＝∠CBF．
（1）求证：四边形DEBF为矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AD＝6，AF＝10，求AE的长．
14．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求出DF的长；
（2）在AB上找一点P，连接FP使FP⊥AC，连接PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由．
16．如图，在正方形ABCD中，点P是AD边上的一个动点，连接PB，过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE＝∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．
（1）求证：△PBQ是等腰直角三角形；
（2）若PQ2＝PB2+PD2+1，求△PAB的面积．
17．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长．
18．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
参考答案
一、选择题
1—8：DCDBBCDA
二、填空题
9．【解答】解：答案为：．
10．【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GHAF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AFAB2，
∴GH，
即GH的最小值为，
故答案为：．
11．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故答案为：60．
12．【解答】解：如图，连接PC．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，
∴AB2，
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠PMC＝∠PNC＝∠C＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴MN＝PC，
当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时PC的最小值，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
13．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠DAE＝∠C，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵DF＝BE，
∴BE＝6，
∵DE⊥AB，BF∥DE，
∴BF⊥AB，
∴∠AHD＝∠ABF＝90°，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴DE＝BF，
∵AD2﹣AE2＝DE2，AF2﹣AB2＝BF2，
∴AD2﹣AE2＝AF2﹣AB2，
∴62﹣AE2＝102﹣（AE+6）2，
∴．
14．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝ODBD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBCBC OGOB OC，
∴OG4.8，
即OG的长为4.8．
15．【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴CD＝AB＝8，CD∥AB，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝∠BAC，
由折叠的性质可知，∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DCA，
∴AF＝CF，
设DF＝x，则AF＝CF＝8﹣x，
由勾股定理得，AF2﹣DF2＝AD2，即（8﹣x）2﹣x2＝62，
解得，，
∴DF的长为；
（2）四边形APCF是菱形，理由如下；
如图，连接BD交AC于O，
∴O为AC的中点，
连接FO并延长，交AB于P，
∵AF＝CF，OA＝OC，
∴FP⊥AC，即点P即为所作；
∵∠FCO＝∠PAO，OC＝OA，∠FOC＝∠POA，
∴△FCO≌△PAO（ASA），
∴OF＝OP，
又∵OC＝OA，FP⊥AC，
∴四边形APCF是菱形．
16．【解答】（1）证明：∵∠QBE＝∠PBC，∠QBE+∠QBC＝90°，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝90°，
∵∠PBC+∠PBA＝90°，
∴∠PBA＝∠QBC，
在Rt△PAB和Rt△QCB中，
，
∴△PAB≌△QCB（ASA），
∴PB＝QB，
∴△PBQ是等腰直角三角形；
（2）解：设正方形的边长AB＝a，PA＝x，
∵△PAB≌△QCB，
∴QC＝PA＝x，
∴DQ＝DC+QC＝a+x，PD＝AD﹣PA＝a﹣x，
在Rt△PAB中，PB2＝PA2+AB2＝x2+a2，
∵PQ2＝PB2+PD2+1，
∴（a﹣x）2+（a+x）2＝x2+a2+（a﹣x）2+1，
解得：2ax＝1，
∴ax，
∵△PAB的面积SPA PBax．
17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9．
∵CG＝3，
∴CE＝6，
连接EG，
∴EG3，
∴DEEG＝3．
∴正方形DEFG的边长为3．
18．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF1．
∴OF1．
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