2024-2025学年上海顾村中学高二下学期期中数学试题（2025.04）（含详解）

顾村中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 直线的倾斜角的大小为 .
2. 直线 和直线间的距离是 .
3. 若圆的方程为，则该圆的半径为 .
4. 椭圆的焦距为 .
5. 抛物线的准线方程为________．
6. 双曲线的渐近线方程是__________.
7. 已知数列的前项和为，则 .
8. 已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值为 .
9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 .
10. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 .
11. 已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为 .
12. 已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是 .
二、选择题(本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分).
13. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ）.
A. B. C. D.
14. 下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A. B. C. D.
15. 已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D.
16. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分).
17. 已知等差数列{an}的前三项依次为a，4，3a，前k项和Sk=2550，求a及k.
18. 已知点，直线.
（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；
（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.
19. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点 、 关于直线对称？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
20. 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限．
（1）若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离；
（3）若，求与的面积之比．
21. 已知双曲线的离心率为．
（1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
（2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
（3）设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．
顾村中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 直线的倾斜角的大小为 .
【答案】
【解析】根据其斜率为，设其倾斜角大小为，则，因为，则.
故答案为：.
2. 直线 和直线间的距离是 .
【答案】
【解析】易知直线 和直线平行，
这两条直线间的距离为.故答案为：.
3. 若圆的方程为，则该圆的半径为 .
【答案】
【解析】，化简得.则其半径为.
故答案为：.
4. 椭圆的焦距为 .
【答案】
【解析】，所以，所以椭圆的焦距为.
故答案为：.
5. 抛物线的准线方程为 .
【答案】
【解析】抛物线的准线方程为；故填.
6. 双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，即.故答案为：
7. 已知数列的前项和为，则 .
【答案】
【解析】因为数列的前项和为，则.故答案为：.
8. 已知数列 满足 ，则数列的前 项和为 取最小值时，的值为 .
【答案】4
【解析】因为，则数列为公差为2等差数列，
则，则当时，取得最小值.
故答案为：.
9. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 .
【答案】1
【解析】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上，所以，又，故解得．故答案为：1．
10. 设椭圆的焦距为，且，则该椭圆的离心率 .
【答案】
【解析】因为椭圆的焦距为，且，即，
等式同时除以可得，即，
因为，解得.故答案为：
11. 已知点A的坐标为（﹣1，0），点B是圆心为C的圆（x﹣1）2+y2=16上一动点，线段AB的垂直平分线交BC与点M，则动点M的轨迹方程为 .
【答案】=1．
【解析】由题意得，圆心C（1，0），半径等于4，连接MA，则|MA|=|MB|，
∴|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故点M的轨迹是：以A、C为焦点的椭圆，2a=4，即有a=2，c=1，∴b=，
∴椭圆的方程为=1．故答案为=1．
12. 已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是 .
【答案】
【解析】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，
而，即有，
于是，
即，
整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.故答案为：
二、选择题(本大题共4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分).
13. 下列抛物线中，焦点坐标为的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于抛物线，，可得，故，
所以，抛物线的焦点坐标为，
同理可知，抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，
抛物线的焦点坐标为.故选：C.
14. 下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．故选：A.
15. 已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（ ）.
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
作圆关于轴对称的圆，其圆心
因此，
当且仅当是线段与轴的交点时取等号，
所以的最小值为,故选：C
16.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线、 （如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设内层椭圆方程为，因为内、外层椭圆离心率相同，
所以外层椭圆方程可设成，
设切线方程为，与联立得，
，
由，化简得：，
设切线方程为，同理可求得，
所以，，
所以，因此.故选：B.
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分).
17. 已知等差数列{an}的前三项依次为a，4，3a，前k项和Sk=2550，求a及k.
【答案】a=2，k=50
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由题意得，解得，，所以，所以或（舍），综上所述：，.
18. 已知点，直线.
（1）求经过点P且与直线l平行的直线的方程；
（2）求经过点P且与直线l垂直的直线的方程.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设经过点P且与直线l平行的直线方程为，
将代入得，解得，
故经过点P且与直线l平行的直线方程为；
（2）设经过点P且与直线l垂直的直线方程为，
将代入得，解得，
故经过点P且与直线l垂直的直线方程为.
19. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在实数，使椭圆上存在不同两点 、 关于直线对称？ 若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）存在，
【解析】(1)联立，消去得
直线与椭圆有且只有一个公共点，
，解得，即椭圆的方程为.
(2)假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，
设直线的方程为，设点、，
联立，消去得，则，
解得，由韦达定理得，，
，，
存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，且的取值范围是.
20. 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限．
（1）若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标；
（2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离；
（3）若，求与的面积之比．
【答案】（1）（2） （3）
【解析】(1)抛物线的准线为，
因为点到抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为2，
所以点的横坐标为1，代入方程，解得，
因为点位于第一象限，故点的坐标为.
(2)设，则线段AC的中点坐标为
因为线段的中点在轴上，所以，故，
代入方程得，解得，所以，
所以直线的方程为：，整理得：
所以原点O到直线l的距离
(3)由题意，直线的斜率显然存在且，设直线的方程为，
设由，得，
由，得：，因为直线与抛物线交于点、，
所以，即，且，，
同理，，，所以，，
由①，②得：，代入③得，代入②得
设原点到直线的距离为，
所以.
21. 已知双曲线的离心率为．
（1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
（2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若=8，求的值；
（3）设圆，． 若动直线与圆相切，且与双曲线 交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．
【答案】（1）； （2）； （3）.
【解析】(1)由，得，又得，
因为双曲线经过点，有，所以，
所以双曲线方程为．
(2)由已知得，渐近线方程为，
焦点坐标为
因为焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以，所以，，由双曲线定义知，，
．
(3)因为直线与圆相切，圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，化简得，
又 设，则，即，
则，（*）
联立得，
则，
代入（*），
得,整理得，
将代入，化简得，则，
又，，
得，则，
所以，离心率的取值范围．