2024-2025学年上海高桥中学高二下学期期中数学试题（2025.04）（含详解）

高桥中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题满分36分）
1．已知，，则________．
2．平面经过点，且的法向量，则点到平面的距离
为________．
3．棱长为2的正方体外接球的表面积是________．
4．已知事件，互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件，至少有一个发生的概率为________．
5．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的概率是________．
6．设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答）
7．已知随机变量的分布为，，2，3，则________．
8．7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有________种．
9．已知，则正整数________．
10．若，则
________．
11．某车队有7辆车，现要调出4辆车按一定顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，有________种不同的调度方法（填数字）．
12．已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的所成角的大小为________．
二、选择题（本大题满分12分）
13．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
14．若，，则是事件与事件相互独立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．盒中有a个红球、b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次取出的是红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
16．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分52分，8+8+10+12+14）
17．（本题满分8分，第（1）小题满分4分，第（2）小满分4分）
已知在的展开式中，
（1）求常数项；
（2）求二项式系数最大的项．
18．（本题满分8分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分）
班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单。
（1）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
（2）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）
如图所示，在三棱柱中，平面，，，点是的中点．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）若为的中点，求二面角的正切值．
20．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上．
（1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
（2）规定陀螺圆锥的顶点到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大．此时陀螺的高是多少呢？
21．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）
为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：个红球1个白球，个红球，个白球，至少一个黄球．若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
（2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为，求的分布和期望．
高桥2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题满分36分）
1．已知，，则________．
【答案】
【解析】
2．平面经过点，且的法向量，则点到平面的距离
为________．
【答案】
【解析】
3．棱长为2的正方体外接球的表面积是________．
【答案】
【解析】，∴
4．已知事件，互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件，至少有一个发生的概率为________．
【答案】
【解析】
5．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的概率是________．
【答案】
【解析】
6．设袋中有大小质地相同的8个红球，2个白球，现从袋中任取4个球，若表示摸出的红球个数，则________．（用小数作答）
【答案】3.2
【解析】，
7．已知随机变量的分布为，，2，3，则________．
【答案】
【解析】，，
8．7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有________种．
【答案】3600
【解析】
9．已知，则正整数________．
【答案】3
【解析】
10．若，则
________．
【答案】
【解析】令，
11．某车队有7辆车，现要调出4辆车按一定顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，有________种不同的调度方法（填数字）．
【答案】
12．已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的所成角的大小为________．
【答案】
【解析】
二、选择题（本大题满分12分）
13．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【解析】
14．若，，则是事件与事件相互独立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
15．盒中有a个红球、b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次取出的是红球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】开始①抽红红：，②抽黑红：；
黑：； 黑：
事件：抽1个抽到红；：抽1个抽到黑；事件：抽到红
，
16．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，
三、解答题（本大题满分52分，8+8+10+12+14）
17．（本题满分8分，第（1）小题满分4分，第（2）小满分4分）
已知在的展开式中，
（1）求常数项；
（2）求二项式系数最大的项．
【答案】（1）-84 （2）和
【解析】（1）
令，∴常数项
（2）,
∴二项式系数最大的项和
18．（本题满分8分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分）
班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单。
（1）3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
（2）魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
【答案】（1）144 （2）600
【解析】（1）（神）
（2）（种）
19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）
如图所示，在三棱柱中，平面，，，点是的中点．
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）若为的中点，求二面角的正切值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）以为坐标原点，以射线为轴正方向，建立空间直角坐标系
设，，，
，，设异面直线与所成角为
∴异面直线与所成的角的大小为
（2）,∵轴平面，∴平面的法向量
设平面的法向量
令,．
由图可知，二面角为锐二面角∴二面角的余弦值
20．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）
陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上．
（1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积；
（2）规定陀螺圆锥的顶点到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大．此时陀螺的高是多少呢？
【答案】（1） （2）高为时，
【解析】（1）设球半径,
∴
∴
（2）设圆柱的高为，底面半径
，
∴若，即高为时，
21．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）
为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：个红球1个白球，个红球，个白球，至少一个黄球．若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
（2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为，求的分布和期望．
【答案】（1） （2）获一、二、三号奖的概率为，，
（3）的分布：，
【解析】（1）事件：第1次摸到红球，：第1次摸到白球，：第1次摸到黄球
事件：第2次摸到红球，由题意，，
∴顾客第2个摸到红球的概率为
（2）一等奖：，二等奖：，三等奖：
不中奖：，∴顾客分别获一、二、三号奖的概率为，，
（3）由（2）引知，顾客中奖的概率为，
，，1，2，3，
的分布：，