2024-2025学年上海实验高三下学期数学月考试卷（含答案）

上海市实验学校2024学年第一学期高三年级数学月考
一，填空题（本大题满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）
1．复数的虚部为_________
2．不等式的解集为________．
3．若单位向量满足，则向量与的夹角为________
4．展开式中的常数项为________（用数字作答）
5．已知随机变量，若，则________．
6．已知直线与直线的夹角为，则实数________．
7．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为________．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线的离心率为________．
9．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：
（1）等级为0dB的声音的强度为；
（2）函数在定义域上是增函数；
（3）等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；
（4）等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000。
其中所有正确结论的序号是________．
10．如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见。如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了＂坍塌＂。那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为________．
11．已知函数，若关于的方程只有一个实数根，则实数的取值范围是________．
12．已知为数列的前项和，数列满足，且是定义在上的奇函数，且满足，则________．
二，选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）
13．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．7
14．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知，若，则下列结论一定成立的
是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
三，解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图1，在平面四边形中，，将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585，
（1）差数列的前项和；
（2），数列的前项和记为，若恒成立，差的最小值．
19.向＂新＂而行，向＂新＂而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）。为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名相关从业人员进行调查，结果如下表所示．
DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计
减少 未减少
应用 54 72
没有应用 42
合计 90 150
（1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为DeepSeek的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司相关部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到＂优秀＂的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得＂优秀＂的员工才能应用DeepSeek。
（i）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率；
（ii）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元。根据公司发展需要，计划先将相关部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后相关部的年利润不低于员工调整前的年利润，则相关部最多可以调多少人到其他部门？
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于两点，直线分别与直线交于两点．
（1）求证：直线与直线的斜率之积为常数；
（2）求面积的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数．
（1）当时求的解析式；
（2）当时，判断函数的单调性并说明理由；
（3）若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个＂点＂，求函数的所有点．
参考答案
一，填空题（本大题满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）
1．复数的虚部为_________
【答案】
【解析】，
所以复数的虚部为．故答案为：．
2．不等式的解集为________．
【答案】
【解析】不等式，
所以不等式的解集为．故答案为：．
3．若单位向量满足，则向量与的夹角为________．
【答案】
【解析】由可得，故，故，由于，故，故答案为：．
4．展开式中的常数项为________（用数字作答）
【答案】84
【解析】二项式展开式的通项
为9且），令，解得，
所以展开式中的常数项为．故答案为：84
5．已知随机变量，若，则________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，根据正态分布的对称性得：，所以．
故答案为：0.1．
6．已知直线与直线的夹角为，则实数________．
【答案】或0
【解析】设直线与直线的夹角为，
则，可得，
设直线的倾斜角为，则，设直线的倾斜角为，
若，则直线即为，可知，
可得，符合题意；若，则，
因为，可得，
即，解得或（舍去）；综上所述：或．
故答案为：或0。
7．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为________．
【答案】2
【解析】依题意，设圆锥的母线长为，∵圆锥的底面半径为，高为1，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，
则过该圆锥的母线作截面，
截面上的两母线夹角设为，
故截面的面积为，当且仅当时，等号成立，
故截面的面积的最大值为2。故答案为：2。
8．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线的左右两支分别交于点，且，则曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】如图，设，则，由双曲线定义得，,
∴，故．
在中，,
在中，，
∵,
∴，故，即，
∴曲线的离心率．故答案为：．
9．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音，一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有，给出下列四个结论：
（1）等级为0dB的声音的强度为；
（2）函数在定义域上是增函数；
（3）等级为80dB的声音与70dB的声音强度之比是10；
（4）等级为60dB的声音与90dB的声音强度之比是1000。
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】对于（1），由即，可得，
因此等级为0dB的声音强度为，故（1）正确；
对于（2），令，则，
易知和在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在定义域上是增函数，故（2）正确；
对于（3），设，则，解得．
设，同理可得．
因此所求两种等级声音的强度之比为，故（3）正确；
对于（4），设，则，解得．
设，同理可得．
因此所求两种等级声音的强度之比为，故（4）错误．
10．如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见。如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了＂坍塌＂。那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为________．
【答案】
【解析】把题设中的14个小正方体编号如下：
1
2345
67891011121314
其中1代表最上方的一个小正方体，第二层，第三层相应的标号如下图所示．
与1号小正方体在同一个竖直方向小正方体从上至下记为2,6，标号为3的正方体下面的小正方体标号为7，标号为4的正方体下面的小正方体标号为8，标号为5的正方体下面的小正方体标号为9，若不发生坍塌，则则全部14次施法过程中，不发生坍塌的事件总数为设事件为：＂全部14次施法过程中，不发生坍塌＂，故答案为：．
11．已知函数，若关于的方程只有一个实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】分析题意，利用函数单调性定义显然得到函数在上单调递增，
在区间上的函数对参数分情况讨论：
当时，分段函数图像如上图所示，
12．易知在区间上函数一定与相交，
故此时与分段函数其他部分不相交；故对于部分，
必有，对于部分，联立
整理得无解，故符合题意；
当时，分段函数，则有实数根，和不成立；当时，易知，与分段函数在必有一个交点，且当时，,此时分段函数，故当时，无交点，故符合题意．
综上：实数的取值范围是故答案为：
12．已知为数列的前项和，数列满足，且是定义在上的奇函数，且满足，则________．
【答案】0
【解析】∵，
两式相减得，，即，
∴，即数列是以-3为首项，3为公比的等比数列，
∴．
∵是定义在R上的奇函数，且满足，
又
即是以4为周期的周期函数。
其中能被4整除，故答案为：0。
二，选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）
13．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．7
【答案】D
【解析】集合
所以集合的真子集的个数为．故选：D
14．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知．
设于点，则当三点共线，且在中间时，取得最小值．抛物线，得，
所以的最小值为．故选：B．
15．已知，若，则下列结论一定成立
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，得，若，
则所以在上单调递增，
当时，则，
所以，
又在上单调递增，所以,
当时，，
又在上单调递增，所以，不合题意；
当时，，
所以，
又在上单调递增，
所以，所以，综上可得，故选：A
16．已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是面积为的等边三角形，记边长为，
所以，解得，
记三角形内切圆的半径为，根据，可得：，解得，
因为正方形面积为2，所以正方形边长为，
记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知，
正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，因为正方形可在内任意旋转，
可知正方形各个顶点均在该三角形的内切圆上，
以三角形底边为轴，以的垂直平分线为轴建立直角坐标系如图所示：
故可知，圆的方程为，
故设，
因为，即，
化简可得，即，
解得或，
①当时，点坐标可化为，
此时
所以当，即，即，
即时，取得最大值；
②当时，点坐标可化为，
此时
因为，所以当，即，即，
即时，取得最大值，
综上可知：取得最大值．故选：D
三，解答题（本大题满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，在平面四边形中，，将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明略 （2）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知递增的等差数列的前三项之和为27，前三项之积为585，
（1）差数列的前项和；
（2），数列的前项和记为，若恒成立，差的最小值．
【答案】（1） （2）
19．（本题满项14项，第1小题满项6项，第2小题满项2项，第3小题满项6项）向＂新＂而行，向＂新＂而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的大语言模型DeepSeek（以下简称DeepSeek）。为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名相关从业人员进行调查，结果如下表所示．
（1）根据所给数据完成题中表格，并判断是否有的把握认为DeepSeek的应用与相关从业人员的减少有关？
（2）某公司相关部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到＂优秀＂的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得＂优秀＂的员工才能应用DeepSeek。
（i）求员工经过培训能应用DeepSeek的概率；
（ii）已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元。根据公司发展需要，计划先将相关部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后相关部的年利润不低于员工调整前的年利润，则相关部最多可以调多少人到其他部门？
DeepSeek的应用情况 相关从业人员 合计
减少 未减少
应用 54 72
没有应用 42
合计 90 150
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）表格见解析，有的把握认为DeepSeek的应用与相关从业人员的减少有关（2）（i）；（ii）14人
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于两点，直线分别与直线交于两点．
①求证：直线与直线的斜率之积为常数；
②求面积的取值范围．
【答案】 （2）①证明见解析；②
【解析】（1）设动圆的半径为，由题意
又，故的轨迹为椭圆．
∴故的轨迹方程为
（2）①由（1）知，
设直线，
联立消去，
整理得，
则根据题意可设，
则由，可得，由，可得，
所以直线与直线的斜率之积
所以直线与直线的斜率之积为定值-1．
②由①知，，所以．
所以
当且仅当或时等号成立，所以面积的取值范围是．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数，曲线在点处的切线方程记为．定义函数．
（1）当时求的解析式；
（2）当时，判断函数的单调性并说明理由；
（3）若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个＂点＂，求函数的所有点．
【答案】；（2）递减区间为，递增区间为；
（3）-1．
【解析】（1）函数，求导得，则，而，则函数的图象在处的切线方程为：，即，所以的解析式为．
（2）由（1）知，，而，
曲线在点处的切线方程为，则
求导得1），
令，
求导得,
令，
求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
故
当时，，则，
即恒成立，
函数在R上单调递增，而，
则当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
所以当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）当时，总有成立，即与同号，
则当时，，当时，，
而，由（2）知：，，若，即，则存在使得时，0，
函数在上单调递减，，在上单调递减，，不合题意；
若，即或，则存在使得时，，
函数在上单调递增，，在上单调递减，，不合题意；
因此，即或，当时，32），
，与当时，矛盾；
当时，，
又，令，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，当且仅当时取等号，于是，当且仅当时取等号，
因此当时，恒成立，即恒成立，
所以函数的所有点-1．