2024-2025学年北师大版七年级下册月考数学试卷（考试范围：第1~4章）（5月份）（含解析）

2024-2025学年七年级下册月考数学试卷（考试范围：第1~4章）（5月份）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，下面说法错误的是（ ）
A．和是对顶角 B．和是同位角
C．和是同旁内角 D．和是内错角
3．有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则等于（　　）
A．9 B．4 C．5 D．6
5．已知，则的值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
7．小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（ ）

A．掷一枚骰子，出现4点的概率
B．任意写一个整数，它能被3整除的概率
C．抛一枚硬币，出现反面的概率
D．从一副扑克牌中任取一张，取到“大王”的概率
8．如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
9．综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若，则 ．
12．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ．
13．一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是 ．
14．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是 ．
15．如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在长方形中，，，延长到点E，使．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿方向向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
18．（6分）先化简，再求值：，其中，．
19．（8分）如图，已知点O为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点O处，在内部作射线平分．
(1)若，则的度数为_________；
(2)若，求的度数；
(3)若，求的度数．
20．（8分）小颖有20张大小相同的卡片，上面分别标有数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒中抽出1张卡片，记录卡片上数字是否为3的倍数，得到如下统计表：
抽取次数n 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
出现3的倍数的频数m 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
出现3的倍数的频率（精确到0.01）
(1)填表．
(2)随着抽取次数的增加，出现3的倍数的频率会在哪个常数附近摆动？
(3)根据上表数据，从盒中任抽1张卡片，所标数字是3的倍数的概率估计值是多少？
21．（10分）若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为，
(1)求的值；
(2)求该等腰三角形的周长．
22．（10分）如图．且且的延长线交于．求证：．
23．（12分）课题学行线的“等角转化”功能．
【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
∴____， ____．
又∵，
∴．
【解题反思】从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】
（2）如图2，已知，试说明，，之间的关系，并证明．
【解决问题】
（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
24．（12分）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．
请解决下列问题：
(1)已知，，则_________；
(2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______；
(3)已知，，求的值．
(4)若x满足，求的值；
(5)如图，在长方形中，，，点E，F分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和．若长方形的面积为32，求图中阴影部分的面积和．
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
利用同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可．
【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念．
【详解】解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意；
B、和不是同位角，故选项符合题意；
C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意；
D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键；
本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解；
【详解】解：A、摸出红球的概率为；
B、摸出红球的概率为；
C、摸出红球的概率为；
D、摸出红球的概率为；
∵，
∴A选项摸出红球可能性最大，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握，利用全等三角形的性质“全等三角形对应边相等”即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查完全平方公式及换元法的应用，解题关键是通过巧妙换元，将复杂方程转化为简单形式求解．
通过设进行换元，将转化为关于y的方程，展开化简求出的值，再还原得到的值．
【详解】解：设，
∴，，
∴原方程变形为
，
即．
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可．
【详解】解：A、 ，
（内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意；
B、 ，
（内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意；
C、 ，
（同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意；
D、 ，
（内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意；
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率以及运用概率公式求概率，掌握利用频率估计概率的方法成为解答本题的关键．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，
A．一枚骰子有1点到6点，出现4点的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意；
B．整数中每三个数就有一个能被 3 整除，所以概率是，符合统计图．符合统计图，故该选项符合题意；
C．一枚硬币共有两面，出现反面的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意；
D． 一副扑克牌共有54张，任取一张，取到“大王”的概率为，不符合统计图，故该选项不符合题意；
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用证明，则 ，那么，再由即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，过点作，过点作，可得，设，，根据平行线的性质及角平分线的定义可得，，，进而可得，即可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点作，过点作，
设，，
∵，
∴，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，为的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10．C
【分析】根据可对①进行判断；根据“”证明，可对②③④进行判断．
【详解】解：∵，为三角形的角平分线，
∴，，
∴，故①正确；
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，
∴，，
∴，，故③④正确，符合题意；
∵点G不一定是的中点，
∴不能得出，
∴不能得出，故②错误，不合题意；
综上，正确的结论是①③④．
故选：C．
二．填空题
11．2025
【分析】本题考查了求代数式的值及多项式乘以多项式运算，由多项式乘以多项式得 ，可得，，即可求解；能熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，
解得，，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了长方形的性质和平行线的性质，主要考查学生的推理能力和计算能力；过作，交于，得出，推出，，把，代入求出即可．
【详解】解： 过作 ，交于，
四边形是长方形，
，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：从袋子中随机摸出1个小球，共有种等可能的情况，其中是红球的有种情况，
故．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了概率公式，三角形构成条件，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行求解即可．
【详解】解：所有情况有：
共种，
其中能构成三角形的有：共种；
故．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键．
【详解】解：由题知，
∵是边的中线，
，
，
又∵，
，
，
故答案为：．
16．1或7
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
分和两种情况分别根据全等三角形的判定定理以及行程问题解答即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，，
∴，，
若，则当时，
根据可得，
∴，解得；
若，则当时，
根据可得，
∴，解得：．
综上，当和全等时，t的值为1或7．
故答案为：1或7．
三．解答题
17．（1）
（2）
（3）
（4）
18．解：
，
∵，，
∴原式．
19．（1）解： ，
，
射线平分，
；
故答案为：；
（2）解： ，
，
射线平分，
，
，
，
的度数为；
（3）解：设，
，
，
，
，
射线平分，
，
，
解得：，
，
．
20．（1）解：填表如下：
抽取次数n 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
出现3的倍数的频数m 5 13 17 26 32 36 39 49 55 61
出现3的倍数的频率（精确到0.01） 0.25 0.33 0.28 0.33 0.32 0.30 0.28 0.31 0.31 0.31
（2）解：根据表格数据可知随着抽取次数的增加，出现3的倍数的频率会在常数0.31附近摆动．
（3）解：∵根据表格数据可知随着抽取次数的增加，出现3的倍数的频率会在常数0.31附近摆动．
∴从盒中任抽1张卡片，所标数字是3的倍数的概率估计值是0.31．
21．（1）解：
，
∵代数式的值与无关，
∴，
解得：．
（2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，6，此时，构不成三角形，不符合题意；
当6是等腰三角形的腰时，三边为6，6，3，周长．
∴该等腰三角形的周长为15．
22．证明：如图，过点作交的延长线于，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点是的中点；
，，
点是的中点，
，
．
23．
解：（1）过点A作，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，平分，，，
∴，，
∴．
24．（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：6；
（2）解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或；
故答案为：5或；
（3）解：∵，，
∴
；
（4）解：∵，，
∴，
∴；
（5）解：由题意可得，，
∵长方形的面积为32，
∴，
∵
∴
．