人教新课标A版必修3数学3.3.1几何概型同步检测

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3.3.1几何概型同步检测
一、选择题
1、若在区间[1，4]内任取实数a，在区间[0，3]内任取实数b，则方程ax2+2x+b=0有实根的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：方程ax2+2x+b=0有实根，等价于△=4﹣4ab≥0 ab≤1 b≤．
画出对应图象如下：
因为∫14dx=2ln2．
故所求概率p==．
故选D．
分析：先把方程ax2+2x+b=0有实根，转化为△=4﹣4ab≥0，进而得b≤．，再画出图象，利用面积比来计算概率即可．
2. 在坐标平面上，从满足1≤x≤4，1≤y≤4，且x，y是整数的点（x，y）中任意取出三个不同的点，则此三点构成三角形的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：由题意可得：在1≤x≤4，1≤y≤4中存在的整数点（x，y）共有16个，
所以从这些整数点中任意取出三个不同的点的取法有C163=560种．
若从中任意取出三个不同的点能够构成三角形，则此三点不共线，
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所以由图所示：从中任意取出三个不同的点则此三点共线的取法有：44种，
所以此三点不共线的取法有：560﹣44=516种，
所以此三点构成三角形的概率是：．
故选A．
分析：由题意可得：在1≤x≤4，1≤y≤4中存在的整数点（x，y）共有16个，可得从这些整数点中任意取出三个不同的点的取法有C163=560种．由题意可得：从中任意取出三个不同的点则此三点共线的取法有：44种，此三点不共线的取法有：560﹣44=516种，进而计算出此三点构成三角形的概率．
3. 在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，
即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于0到之间，
需使或
∴或，区间长度为，
由几何概型知的值介于0到之间的概率为．
故选A．
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出的值介于0到之间对应线段的长度，交将其代入几何概型计算公式进行求解．
4. 在区间[﹣，]上随机取一个数x，cos x的值介于0到之之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：所有的基本事件构成的区间长度为
∵解得或
∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为
由几何概型概率公式得
cos x的值介于0到之间的概率为P=
故选A．
分析：求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．
5. ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：已知如图所示：
长方形面积为2，
以O为圆心，1为半径作圆，
在矩形内部的部分（半圆）面积为
因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣
故选B．
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．
6. 如图，阴影是集合P={（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2=4，0≤θ≤π}在平面直角坐标系上表示的点集，则阴影中间形如“水滴”部分的面积等于（ ）
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A、 B、
C、 D、π+2
答案：C
解析：解答：如图，
“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形和构成，
∴“水滴”部分的面积
=S半圆+S△ABC+2S弓形AmB
=++2（﹣）
=．
故选C．
分析：先根据题意得出“水滴”部分的详细构成情况，如图，“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形ABC加两个弓形构成，从而利用和的面积即可求得“水滴”部分的面积=S半圆+S△ABC+2S弓形即可．
7. 如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：是几何概型
所有的基本事件Ω=
设能输出数对（x，y）为事件A，则A=
S（Ω）=1
S（A）=∫01x2dx==
故选A
分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．
8. 在区间上随机取一个x，sinx的值介于与之间的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：∵＜sinx，
当x∈[﹣，]时，
x∈（﹣，）
∴在区间上随机取一个数x，
sinx的值介于到之间的概率P==，
故选A．
分析：解出关于三角函数的不等式，使得sinx的值介于到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率．
9. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为：
以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．
这个小正方体的体积为1，
大正方体的体积为27，
故安全飞行的概率为p=．
故选D．
分析：小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且边长为1的正方体内．这个小正方体的体积为大正方体的体积的，故安全飞行的概率为．
10. 如图所示，点A（1，0），B是曲线y=3x2+1上一点，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形中任一点是等可能的），则所投点落在图中阴影内的概率为（ ）
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A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：将x=1代入y=3x2+1得y=4，故B点坐标为（1，4）
S矩形OABC=4
而阴影部分面积为：∫01（3x2+1）dx=2
故投点落在图中阴影内的概率P==
故选A
分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形OABC的面积，并将他们代入几何概型计算公式进行解答．
11. 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点D，则AD的长不小于AC的长的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：在等腰直角三角形ABC中，设AC长为1，则AB长为，
在AB上取点M，使AM=1，则若D点在线段MB上，满足条件．
∵|MB|=﹣1，|AB|=
∴AD的长不小于AC的长的概率为=1﹣
故选C
分析：欲求AD的长不小于AC的长的概率，先求出D点可能在的位置的长度，AC的长度，再让两者相除即可．
12. 在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：满足条件的正方形ABCD，如下图示：
其中满足动点P到正方形四边的距离均不小于1的平面区域如图中阴影所示：
则正方形的面积S正方形=9
阴影部分的面积 S阴影=1
故P到正方形四边的距离均不小于1的概率P==
故选A．
分析：本题考查的知识点是几何概型，我们要根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及P到正方形四边的距离均不小于1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
13. 已知区域，若向区域Ω内随机投入一点P，则点P落入区域A的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：如右图，曲线y=和y=x的交点为A（1，1），
∴曲线y=和y=x在[0，1]围成的区域的面积为：
S=∫01=
故所求概率为=．
故选A．
分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求区域
的面积，然后求比值即可．
14. 已知Ω={（x，y）|x+y≤10，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|x≤5，y≥0，x﹣y≥0}，若向区域f（x）上随机投1个点，则这个点落入区域A的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：依题意可在平面直角坐标系中作出集合Ω与A所表示的平面区域（如图），
由图可知SΩ=50，SA=，
则点P落入区域A的概率为．
故选C．
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分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出A={（x，y）|x≤5，y≥0，x﹣y≥0}，对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．在解题过程中，注意三角形面积的应用．
二、填空题
15. 已知集合A=，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是
答案：
解析：解答：B={x|2＜x＜4}，∴A∩B={x|2＜x＜4}，
∴事件“x∈A∩B”的概率是
故填；
分析：先化简集合B，求出A∩B，再利用几何概型的意义求解．
16. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，现从中任抽一名同学，该同学的百米测试成绩为m，m∈[13，14）∪[17，18]，则事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的概率为 ．
答案：0.14
解析：解答：由频率的意义可知，[13，14）和[17，18]的频率之和是0.06×1+0.08×1，
∵每小组矩形的面积即为频率，
∴事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的频率是0.06×1+0.08×1=0.14．
故填：0.14．
分析：根据直方图中两组的频率之和，及频率的计算公式（即小矩形面积），结合题意可得事件“m∈[13，14）∪[17，18]”的频率，进而可得答案．
17. 如图，四边形ABCD为矩形，，BC=1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率是
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答案：
解析：解答：由题意知本题是一个几何概型，
试验包含的所有事件是∠BAD，
如图，连接AC交弧DE于P，
则，
∴∠CAB=30°，
满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点
∴概率P=，
故答案为：
分析：由题意知本题是一个几何概型，解决几何概型问题时，看清概率等于什么之比，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．
18. 为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是 ．
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答案：9
解析：解答：本题中向正方形内随机投掷800个点，相当于800个点均匀分布在正方形内，
而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面=．
故答案为：9．
分析：根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率P（A）=，根据公式=可求．
19. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为 ．
答案：
解析：解答：圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，
此点到圆心的距离小于的面积为，
由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=
故答案为：
分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．
三、解答题
20. 已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
答案：解： a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2}中任一元素
∴a、b的取值情况有（0，0），（0，1）（0，2）
（1，0）（1，1）（1，2）（2，0），
（2，1），（2，2），（3，0）（3，1）（3，2）
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，基本事件总数为12．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b
当a＞b时，a的取值有（1，0）（2，0）（2，1）（3，0）（3，1）（3，2）
即A包含的基本事件数为6．
∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）==
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．
答案：解：∵a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}即图中阴影部分的梯形，其面积SM=6﹣×2×2=4
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）===．
解析： 分析：（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有12种情况，又因为方程有两个不相等的根，所以根的判别式大于零得到a＞b，而a＞b占6种情况，所以方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P=0.5；（2）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．
21. 某斑主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示（如图）
（1）求该班学生每天在家学习时间的平均值；
答案：解：平均学习时间为小时；
（2）该班主任用分层抽样方法（按学习时间分五层）选出10人谈话，求在学习时间是1个小时的学生中选出的人数；
答案：解：根据题意，从50名学生中抽取10名学生调查，则抽取比例为，
再由频率分布直方图可得学习时间是1个小时的学生为20人，
则这部分应抽取的人数为；
（3）假设学生每天在家学习时间为18时至23时，已知甲每天连续学习2小时，乙每天连续学习3小时，求22时甲、乙都在学习的概率．
答案：解：设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，
试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|18≤x≤21，18≤y≤20}，
面积SΩ=2×3=6．事件A表示“22时甲、乙正在学习”，
所构成的区域为A={（x，y）|20≤x≤21，19≤y≤20}，面积为SA=1×1=1，
这是一个几何概型，所以．
解析： 分析：（1）根据频率分布直方图，读出其数据，计算可得答案，（2）根据题意，易得抽取的比例，再由频率分布直方图可得学习时间是1个小时的学生数，按比例计算可得答案，（3）设甲开始学习的时刻为x，乙开始学习的时刻为y，可得试验的全部结果所构成的区域，计算可得其面积，由几何概型的意义，计算可得答案．
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