2025年九年级中考数学三轮冲刺训练：一次函数的应用之利润最大及费用最小问题（含解析）

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2025年九年级中考数学三轮冲刺训练：一次函数的应用之利润最大及费用最小问题
1．DeepseeK公司提供两种数据分析服务包：标准版（A型）和专业版（B型）．销售一个标准版利润为100元，专业版利润为150元．公司计划一次推出两种服务包共100个，由于某些条件限制，其中专业版的推出量不能超过标准版的3倍．设推出标准版服务包x个，总利润为y元．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如何分配服务包数量才能使总利润最大？总利润最大是多少？
2．茶为国饮，湖南是中国茶文化的发源地，茶文化的发展也带动了茶艺、茶具、茶服等相关产业的发展．在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进A，B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，则需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，则需要600元．
（1）A，B两种茶具每套进价分别为多少元？
（2）由于茶具畅销，老板决定再次购进A，B两种茶具共80套，茶具工厂对两种茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．已知销售一套A种茶具可获利30元，销售一套B种茶具可获利20元，若茶具店老板此次用于购进A，B两种茶具的总费用不超过6240元，则如何进货可使再次购进的茶具获得利润最大？最大利润是多少？
3．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知购进“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购进“滨滨”的数量是用4800元购进“妮妮”数量的2倍．
（1）求购进一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
（2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购进“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购进的总费用不超过11000元，出售时，“滨滨”单价为90元，“妮妮”单价为140元，当购进“妮妮”多少个时，商场获得的利润最大？最大利润为多少元？
4．保护环境，人人有责，为创造一个和谐的生态环境，某村计划采购甲、乙两种树苗进行种植．已知购买15筐甲种树苗和8筐乙种树苗共需1160元，购买9筐甲种树苗和4筐乙种树苗共需640元．
（1）购买的甲、乙两种树苗每筐的价格分别是多少？
（2）该村负责人结合本村实际，商定购买甲、乙两种树苗共80筐，要求购买的乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，那么购买多少筐甲种树苗才能使得购买树苗的总费用最低？最低费用为多少元？
5．A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见表：
成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个）
A型号 35 a
B型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求a、b的值；
（2）若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：个）不少于B种型号吉祥物数量的．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元，求y的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
6．综合与实践
【问题背景】某校为在操场举办“辞旧迎新”活动，采购了一批彩色的塑料凳子，如图，该塑料凳子高为45cm，若将其叠放在一起，每增加一张，高度就会增加5cm，老师给数学兴趣小组布置了以下任务．
【问题解决】任务1：若该校购买了n张凳子，将其全部叠放在一起，求叠放高度h（单位：cm）与凳子张数n的表第达式；
任务2：现有甲、乙两种包装纸箱，其长宽与凳子的长宽正好相等，其中甲纸箱的高度为150cm，乙纸箱的高度为100cm，每个纸箱的上下底都要装上5cm厚的泡沫，求甲、乙每个纸箱最多能装下多少张凳子；
任务3：已知甲、乙纸箱的单价分别为5元/个和3元/个，该校要采购1200张凳子，计划用甲、乙两种纸箱共90个来包装，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？
7．2024年1月7日9时5分，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，造成重大人员伤亡．时间就是生命，某地教育局对口支援定日县A，B两所学校，现从本地运送152箱救援物资到两所学校，该教育局调用15辆大小货车，其中大货车能装载救援物资12箱，小货车能装载救援物资8箱，且恰好将这批物资运送完，运费如表：
A校（元/辆） B校（元/辆）
大货车 800 900
小货车 400 600
（1）求本次运送动用大小货车各多少辆？
（2）若安排10辆货车前往A校，设其中大货车为x辆，运费总额为y元；
①求y与x的函数表达式；
②若运往A校的救援物资不少于100箱，要想运费最少，请你设计出最佳运送方案，并求出最少运费．
8．为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知A奖品的单价是10元；B奖品的单价是25元．学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的4倍．
（1）该学校有几种购买方案？
（2）设购买A、B两种奖品的总费用为W元，请写出W（元）与A种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用W最少，并求出W的最小值．
9．火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元．
（1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？
（2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”a箱，销售这两种火龙果的利润为w元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润w最大，最大利润是多少？
10．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元．
（1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？
（2）设购进甲种剪纸装饰x套（x＞35），购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润．
11．露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入了新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲，乙两种型号的营地房车．已知购买甲型房车3辆和乙型房车2辆，共需79万元；购买甲型房车1辆和乙型房车5辆，共需113万元．
（1）求每辆甲型房车和乙型房车的单价各是多少万元？
（2）若该景区需要购买甲，乙两种型号的营地房车共30辆（两种型号的房车均需购买），其中乙型房车购买的数量不少于12辆，为使购买营地房车的总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？购买营地房车的总费用最低为多少万元？
12．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，预期进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式：
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
13．近年来，中国传统服饰唐装备受大家的青睐．某服装店直接从工厂购进一批唐装进行销售，其中A、B两款的进货价和销售价如表：
价格/类别 A款 B款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次购进A款唐装30件，B款唐装40件，求服装店销售完这些唐装获得的利润．
（2）第一次购进的两款唐装售完后，该服装店计划再次购进A、B两款唐装共100件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总费用不高于8600元．服装店这次应如何设计进货方案，才能在销售完这些唐装后获得的利润最大，最大利润是多少？
14．“明湖市集”作为首个“非遗版”春节的重要组成部分，通过非遗展演、民俗体验等特色活动，在大明湖畔绘就了传统与现代交融的节日画卷．某文创商店花费925元购进“泥塑兔子王”和“清照团扇”共80件．其中两种产品的成本价和销售价如下表：
成本价（元/件） 销售价（元/件）
泥塑兔子王 15 25
清照团扇 10 17.5
（1）该文创产品店第一次购进泥塑兔子王和清照团扇各多少件？
（2）因市集火爆，全部售完后该文创店第二次购进两种产品共100件．若此次购进泥塑兔子王的数量不超过清照团扇数量的1.5倍，且全部售完．设第二次购进泥塑兔子王a件，获利W元．则第二次如何进货，才能使获利最大？最大利润是多少？
15．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为400元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求a的值．
参考答案
1．【解答】解：（1）设标准版服务包数量为x个，则专业版数量为（100﹣x）个．总利润由标准版和专业版的利润组成，
即：y＝100x+150（100﹣x），
化简得：y＝﹣50x+15000，
根据条件，专业版数量不超过标准版的3倍，即100﹣x≤3x，
解得x≥25．
同时x需满足0≤x≤100，
结合限制条件，x的取值范围为 25≤x≤100．
（2）利润函数y＝﹣50x+15000的斜率为负，
因此当x取最小值时，总利润最大．
由x≥25，当x＝25时，专业版数量为100﹣25＝75．
此时最大利润为：y＝﹣50×25+15000＝13750．
2．【解答】解：（1）设A种茶具每套进价为x元，B种茶具每套进价为y元，
依题意得：，
解得：，
∴A种茶具每套进价为100元，B种茶具每套进价为75元；
（2）设再次购进A种茶具a套，则购进B种茶具（80﹣a）套，
依题意得：100（1+8%）a+75×80%（80﹣a）≤6240，
解得：a≤30，
设总利润为w元，
依题意得：w＝30a+20（80﹣a）＝10a+1600．
∵10＞0，w随a的增大而增大，
又∵a≤30，
∴当a＝30时w最大＝30×10+1600＝1900（元），
∴当购进A种茶具30套时，B种茶具的数量：80﹣30＝50（套），
∴再次购进A种茶具30套，B种茶具50套可使利润最大，最大利润为1900元．
3．【解答】解：（1）设购进一个“滨滨”需要x元，则购进一个“妮妮”需要（x+40）元，
根据题意，得2，
解得x＝80，
经检验，x＝80是所列分式方程的解，
80+40＝120（元）．
答：购进一个“滨滨”需要80元，则购进一个“妮妮”需要120元．
（2）设购进“妮妮”m个，则购进“滨滨”（100﹣m）个，
根据题意，得120m+80（100﹣m）≤11000，
解得m≤75，
设商场获得的利润为W元，
则W＝（140﹣120）m+（90﹣80）（100﹣m）＝10m+1000，
∵10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤75，
∴当m＝75时W值最大，W最大＝10×75+1000＝1750．
答：当购进“妮妮”75个时，商场获得的利润最大，最大利润为1750元．
4．【解答】解：（1）设甲种树苗每筐的价格是x元，乙种树苗每筐的价格是y元．
根据题意，得，
解得，
∴甲种树苗每筐的价格是40元，乙种树苗每筐的价格是70元．
（2）设购买甲种树苗a筐，则购买乙种树苗（80﹣a）筐．
根据题意，得80﹣aa，
解得a≤64．
设购买树苗的总费用是W元，则W＝40a+70（80﹣a）＝﹣30a+5600，
∵﹣30＜0，
∴W随a的增大而减小，
∵a≤64，
∴当a＝64时，W值最小，W最小＝﹣30×64+5600＝3680，
∴购买64筐甲种树苗才能使得购买树苗的总费用最低，最低费用为3680元．
5．【解答】解：（1）由题知，，
解得；
（2）∵购买A种型号吉祥物的数量x个，则购买B种型号吉祥物的数量（90﹣x）个，
由题意可得：，
解得，
由题知，y＝（40﹣35）x+（50﹣42）（90﹣x），
整理得y＝﹣3x+720，
∵﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值52时，y取最大值，且y最大值＝﹣3×52+720＝564，
答：该超市销售这90个吉祥物获得的总利润y的最大值为564元．
6．【解答】解：任务1：根据题意得：h＝45+5（n﹣1）＝5n+40，
∴叠放高度h（单位：cm）与凳子张数n的表达式为h＝5n+40；
任务2：甲：5n+40≤150﹣2×5，
解得n≤20，
乙：5n+40≤100﹣2×5，
解得n≤10，
∴甲纸箱最多能装下20张凳子，乙纸箱最多能装下10张凳子；
任务3：设甲纸箱选用x个，则乙纸箱选用（90﹣x）个，
由题意得：20x+10（90﹣x）≥1200，
解得x≥30，
设支出的总包装费用为y，则y＝5x+3（90﹣x）＝2x+270，
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大，
当x＝30时，y有最小值为2×30+270＝330（元）．
∴选用甲纸箱30个，乙纸箱90﹣30＝60（个），使得支出的包装费用最少，最少为330元．
7．【解答】解：（1）设大货车用a辆，小货车用b辆，
，
，
∴大货车用8辆，小货车用7辆；
（2）①设前往A校的大货车为x辆，则前往B校的大货车为（8﹣x）辆，前往A校的小货车为（10﹣x）辆，前往B校的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据总费用等于大货车和小货车的费用之和可得：
y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400，
∵，
∴3≤x≤8，
∴y＝100x+9400，（3≤x≤8，且x为整数）；
②若运往A校的救援物资不少于100箱，
12x+8（10﹣x）≥100，
∴x≥5，
又∵3≤x≤8，
∴5≤x≤8且为整数，
∵y＝100x+9400，k＝100＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5+9400＝9900，
答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A校；3辆大货车、2辆小货车前往B校．最少运费为9900元．
8．【解答】解：（1）设A种奖品的数量是x件，
，
∴，
∵x是正整数，
∴A种数量范围75≤x≤80且x是正整数；
∴共有6种购买方案；
（2）W＝10x+25（100﹣x）＝﹣15x+2500，
∵﹣15＜0，
∴W随x的增大而减小，
∵75≤x≤80，
∴当x＝80时，W最小，为W＝﹣15×80+2500＝1300（元）．
即购买A种奖品80件，B两种奖品20件使得总费用W最少，W的最小值为1300元．
9．【解答】解：（1）设“白心火龙果”每箱的售价为x元，“红心火龙果”每箱的售价为y元，
由题意可得：，
解得，
答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元；
（2）由题意可得，
w＝（80﹣65）a+（90﹣70）（38﹣a）＝﹣5a+760，
∴w随a的增大而减小，
∵计划所花资金不高于2600元，
∴65a+70（38﹣a）≤2600，
解得a≥12，
∴当a＝12时，w取得最大值，此时w＝700，38﹣a＝26，
答：当购进“白心火龙果”12箱，“红心火龙果”26箱时，利润w最大，最大利润是700元．
10．【解答】解：（1）设购进甲种剪纸的单价是a元，购进乙种剪纸的单价b元．
根据题意，得，
解得．
答：购进甲种剪纸的单价是50元，购进乙种剪纸的单价40元．
（2）根据题意，得y＝50x+40（60﹣x）＝10x+2400．
答：y与x之间的函数关系式为y＝10x+2400．
（3）根据题意，得10x+2400≤2800，
解得x≤40，
∵x＞35，
∴35＜x≤40，
设商家获得的利润是W元，则W＝（65﹣50）x+（50﹣40）（60﹣x）＝5x+600，
∵5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵35＜x≤40，
∴当x＝40时，y值最大，y最大＝5×40+600＝800，
60﹣40＝20（套）．
答：购进甲种剪纸40套、乙种剪纸20套可使商家获得最大利润，最大利润是800元．
11.【解答】解：（1）设每辆甲型房车单价各是x万元，每辆乙型房车的单价各是y万元，
根据题意得：，
解得，
答：每辆甲型房车单价各是13万元，每辆乙型房车的单价各是20万元；
（2）设应购买甲型房车m辆，则购买乙型房车（30﹣m）辆，购买营地房车的总费用为w万元，
根据题意得：w＝13m+20（30﹣m）＝﹣7m+600，
∵乙型房车购买的数量不少于12辆，
∴30﹣m≥12，
∴m≤18，
∵﹣7＜0，
∴当m＝18时，w取得最小值，最小值为474，
此时30﹣18＝12（辆），
答：应购买甲型房车18辆，则购买乙型房车12辆，购买营地房车的总费用最低为474万元．
12．【解答】解：（1）设每台A型利润为a元，每台B型利润为b元，
∴，
∴，
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元．
（2）设A型电脑x台，则购买B型电脑（100﹣x）台，
①y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000．
②100﹣x≤3x，100﹣x≥0，
故25≤x≤100，
∴y＝﹣50x+15000，
∵﹣50＜0，
故当x＝25时，100﹣x＝75，y有最大值，且最大值为13750，
答：购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，为13750元．
13．【解答】解：（1）根据题意可得出：30×（100﹣80）+40×（120﹣90）＝1800（元），
则销售完这些唐装获得的利润1800元；
（2）设该服装店计划再次购进A款唐装x件，B款唐装（100﹣x）件，
根据题意可得出：80x+90（100﹣x）≤8600，
解得：x≥40，
设销售完第二批唐装后获得的利润为W，
则W＝（100﹣80）x+（100﹣x）（120﹣90）＝﹣10x+3000，
∵﹣10＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴当x＝40时，即该服装店再次购进A款唐装40件，B款唐装60件时，才能在销售完这些唐装后获得的利润最大，最大利润是﹣10×40+3000＝2600元．
14．【解答】解：设文创产品店第一次购进泥塑兔子王x件，清照团扇各y件，
根据题意得：，
解得：，
∴文创产品店第一次购进泥塑兔子王25件，清照团扇各55件；
（2）设第二次购进泥塑兔子王a件，则购进清照团扇（100﹣a）件，
根据题意得：a≤1.5（100﹣a），
解得：a≤60，
W＝（25﹣15）a+（17.5﹣10）（100﹣a）＝10a+750﹣7.5a＝2.5a+750，
∵2.5＞0，
∴当a＝60时，W有最大值，最大值为900，
此时100﹣60＝40（件），
答：第二次购进泥塑兔子王60件，购进清照团扇40件才能使获利最大，最大利润900元．
15．【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x，
∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为整数，
∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；
（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，
当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．
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