(共19张PPT)
A
C
A
B
D
6.如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔30 n mile的A处,它沿北偏东30°方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处,此时与灯塔P的距离约为 n mile.(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8, tan 37°≈0.75)
50
7.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长
为 .
8.(2024·浙江)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
0.9
11.(2024·眉山)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10 m,则大树AB的高为 m.
12.(2024·河北)我国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,小淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星,此时小淇距窗户的水平距离
BQ=4 m,仰角为α;小淇向前走了3 m后到达点D,透过点P恰好看到月亮,仰角为β,如图所示.已知,小淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=
1.6 m,点P到BQ的距离PQ=2.6 m,AC的延长线交PQ于点E.(注:图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值;
(2)过点C作CH⊥AP于点H,补全图形,求CP的长及sin∠APC的值.
(共20张PPT)
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中,是“勾股数”的是( )
A.2,3,4
B.4,5,6
C.7,8,9
D.3,4,5
D
2.(2023·株洲)如图,一技术人员用刻度尺(单位: cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB=90°,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则CD的长为( )
A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
B
3.(2024·陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是DC的中点,连接AE,则图中的直角三角形有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,CD是高,则AD的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
B
5.如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S3+S2-S1=18.则图中阴影部分的面积为( )
A.6
B.4.5
C.5
D.3.5
B
6.如图,在直角坐标系中,点A(3,1),B(4,4),C(5,2),则∠BAC= .
45°
7.(2024·吉林)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB′,AB⊥B′C于点C,BC=0.5尺,B′C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 .
x2+22=(x+0.5)2
8.如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.
(1)求证:BM=DM;
(2)求证:MN⊥BD.
(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵DE∥AB,
∴∠EDB=∠ABD,
∴∠EDB=∠CBD,∴BE=DE.
B
【解析】作CE⊥AD于点E,由勾股定理求解.
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .
【解析】分①点D在线段AB上;②点D在线段AB的延长线上两种情况讨论求解.
6或12
12.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=5,AC=12,BD平分∠ABC交边AC于点D,点E,F分别是边BD,AB上的动点,则AE+EF的最小值为 .
【解析】在BC边上截取BG=BF,连接EG,过点A作AH⊥BC交于点H,当且仅当点A,E,G共线,且与BC垂直时,AE+EF的值最小.
13.阅读下面材料,并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图,任意∠ABC可被看作是矩形ACBD的对角线BA与边BC的夹角,以点B为端点的射线BF交AC于点E,交DA的延长线于点F.若EF=2AB,则∠CBF是∠ABC的一个三等分角.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(共19张PPT)
1.(2024·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
2.(2023·南京)若一个等腰三角形的腰长为3,则它的周长可能是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
C
B
3.(2024·内蒙古)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为( )
A.32°
B.58°
C.74°
D.75°
C
C
5.(2024·泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是( )
A.45°
B.39°
C.29°
D.21°
B
6.在△ABC中,∠A=60°,∠B= 时,△ABC是等边三角形.
60°
7.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,AD⊥BC于点D,点E,F分别是AD,AC的中点,则EF的长为 .
2.5
8. (2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长为 .
2
9.(2023·荆州)如图,BD是等边三角形ABC的中线,以D为圆心,DB的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE.求证:CD=CE.
证明:∵BD为等边三角形ABC的中线,
∴BD⊥AC,∠ACB=60°,
∠DBC=30°,
∵BD=DE,∴∠E=∠DBC=30°,
∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°,
∴∠E=∠CDE=30°,∴CD=CE.
10.(2023·青铜峡模拟)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线PQ交AB于点D,交AC于点E.
(1)求证:△ABE是等腰三角形;
(2)若AD=8,△CBE的周长为26,求△ABC的周长.
(1)证明:PQ垂直平分AB,
∴EB=EA,∴△ABE是等腰三角形.
(2)解:∵PQ垂直平分AB,AD=8,
∴AB=2AD=16,∵△CBE的周长为26,
∴BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=26,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=42.
D
12.(2023·河北)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
B
13.(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm.
2
14.如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则
∠C= .
52°
15.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,且S△ABC=60,现将其沿MN折叠后,点A恰好与点C 重合,若D是折痕MN上的一点,O是BC的中点,连接
OD,CD.则△COD周长的最小值是 .
【解析】由题意得,点A与点C关于MN对称,
则△COD周长最小值为AO+OC.
17
16.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是边AB上一点(不与点A,B重合),E是线段CD延长线上一点,∠BEC=∠BAC.
(1)求证:∠EBA=∠DCA;
(2)小华在研究这个问题时,提出了一个新的猜想:
点D在运动的过程中(不与点A,B重合),∠AEC与
∠ABC是否会相等?小丽思考片刻后,提出了自己
的想法:可以在线段CE上取一点H,使得CH=BE,
连接AH,然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等.请根据小丽同学的想法,求证:∠AEC=∠ABC.
证明:(1)∵∠BEC=∠BAC,
∠BDE=∠ADC,
∴∠EBA=∠DCA.
(共18张PPT)
1.(2023·长春)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA′,BB′的中点,只要量出A′B′的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
A
2.(2023·凉山州)如图,在△ABF和△DCE中,点E,F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加下列条件仍无法证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠AFB=∠DEC
B.AB=DC
C.∠A=∠D
D.AF=DE
D
3.(2024·牡丹江)如图,在△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件: ,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
DE=EF或AD=CF(答案不唯一)
4.(2023·成都)如图,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF= .
3
5.如图,桌面上放置一个等腰Rt△ABC,直角顶点C顶着桌面,若另外两个顶点与桌面的距离分别为5 cm和 3 cm,过另外两个顶点向桌面作垂线,则两个垂足之间的距离DE的长为 cm.
8
6.(2024·宜宾)如图,D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°,
又∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.
7.(2024·南充)如图,在△ABC中,D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
(2)∵△BDE≌△CDA,
∴ED=AD,
∵AD⊥BC,
∴BD垂直平分AE,
∴BA=BE.
C
9.(2023·辽宁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,则CD的长为 .
1.5
10.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图,OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从
OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得OB=17 cm,BD=8 cm.
(1)求证:OE=BD;
证明:∵OB⊥OC,∴∠BOD+∠COE=90°,
又∵CE⊥OA,BD⊥OA,
∴∠CEO=∠ODB=90°,
∴∠BOD+∠B=90°,∴∠COE=∠B,
又∵OB=OC,∴△COE≌△OBD(AAS),
∴OE=BD.
11.如图,在△ABC中,BC=5,以AC为边向外作等边三角形ACD.
(1)如图①,△ABE是等边三角形,求证:EC=BD;
(2)如图②,若∠ABC=60°,AB=3,求BD的长.
(共10张PPT)
1.(2024·河南)如图,乙地在甲地的北偏东50°方向上,则∠1的度数为( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
B
A
3.(2024·甘肃)若∠A=55°,则∠A的补角为( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
4.(2024·达州)当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就是光的折射现象(如图所示).图中∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
D
B
5.(2024·呼和浩特)如图,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=130°,∠3=75°,则∠4的度数为( )
A.75°
B.105°
C.115°
D.130°
B
6.(2024·吉林)如图,从长春站去往胜利公园,与其他道路相比,走人民大街路程最近,其蕴含的数学道理是 .
两点之间,线段最短
7.(2023·乐山)如图,点O在直线AB上,OD是∠BOC的平分线,若∠AOC=140°,则∠BOD的度数为 .
20°
9.如图,一条河流从E地流往A地.由于山的阻挡,河流到D处后直线拐到C处,再直线拐到B处,最后拐到A处,已知河流AB∥DE,如果∠D=100°,∠C=140°,则∠B的度数为 .
140°
10.已知A,B,C是同一直线上的三点,若AB=8 cm,BC=4 cm,M是线段AC的中点,则线段AM的长为 .
2 cm或6 cm(共12张PPT)
1.(2024·长沙)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
2.(2023·衡阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cm
B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm
D.4 cm,5 cm,6 cm
D
3.如图,用三角板作△ABC的边AB上的高线,下列三角板的摆放位置正确的是( )
B
4.(2024·淮安)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
C
5.(2024·青海)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为( )
A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定
B
6.(2023·云南)如图,A,B两点被池塘隔开,A,B,C三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N,若MN=3 m,则AB的长为( )
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
B
7.(2024·吉林)如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,
其数学道理是 .
三角形具有稳定性
8.(2024·常州)如图,在△ABC中,E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1,则△ABD的面积是 .
2
9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点O,连接BO并延长,交AC于点F,若AB=5,BC=4,AC=6,则CE∶AD∶BF的值为 .
12∶15∶10
10.如图,在△ABC中,点D在BA的延长线上,点E在BC边上,连接DE交AC于点F,已知∠DFC=3∠B=123°,∠C=∠D,则∠BED的度数为 .
98°
11.如图,在△ABC中,∠A=84°,O是∠ABC,∠ACB平分线的交点,P是 ∠BOC,∠OCB平分线的交点.若∠P=100°,则∠ACB的度数是 .
56°(共20张PPT)
1.(2024·内江)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1∶3,则△ABC与
△A1B1C1的周长比为( )
A.1∶1
B.1∶3
C.1∶6
D.1∶9
B
2.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
D
D
A
B
6.如图,∠ACB=∠D=90°,如果AB=10,BC=8,当DB= 时,
△ABC∽△BCD.
4.8
7.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′,设AB=36 cm,A′B′=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A′B′的距离为 cm.
20
8.(2024·广州)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,
EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
9.如图,在锐角三角形ABC中,BC=6,S△ABC=12,矩形MPQN的两个顶点M,N分别在AB,AC上,另两个顶点P,Q均在BC上,高AD交MN于点E,设MN的长为x,矩形MPQN的面积为y.
(1)求AD的长,并用含x的式子表示线段AE的长;
(2)请写出y关于x的函数解析式;
(3)试求y的最大值.
A
11.(2023·雅安)如图,在 ABCD中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
C
12.(2024·重庆A卷)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= .
3
13.如图,P为Rt△ABC直角边BC上一动点,连接AP,作线段AP的垂直平分线交AC边于点Q,连接PQ,已知AB=3,BC=4,当△PCQ为直角三角形时,AQ的长为 .
【解析】分两种讨论,当∠QPC=90°和∠PQC=90°时,利用相似三角形的判定和性质,列式计算即可求解.
14.(2024·盐城)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,过点C作⊙O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径.
(1)证明:连接OC,
∵l是⊙O的切线,
∴OC⊥l,
∵AD⊥l,∴OC∥AD,
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB,
∵∠D=∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACD.