(共19张PPT)
A
C
A
B
D
6.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30 n mile的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 n mile.(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8， tan 37°≈0.75)
50
7．如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长
为 .
8.(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值.
0.9
11．(2024·眉山)如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10 m，则大树AB的高为 m.
12．(2024·河北)我国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，小淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星，此时小淇距窗户的水平距离
BQ＝4 m，仰角为α；小淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图所示．已知，小淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝
1.6 m，点P到BQ的距离PQ＝2.6 m，AC的延长线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值；
(2)过点C作CH⊥AP于点H，补全图形，求CP的长及sin∠APC的值．
(共20张PPT)
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A.2，3，4
B.4，5，6
C.7，8，9
D.3，4，5
D
2.(2023·株洲)如图，一技术人员用刻度尺(单位： cm)测量某三角形部件的尺寸.已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD的长为( )
A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
B
3.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
B
5.如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3＋S2－S1＝18.则图中阴影部分的面积为( )
A.6
B.4.5
C.5
D.3.5
B
6.如图，在直角坐标系中，点A(3，1)，B(4，4)，C(5，2)，则∠BAC＝ .
45°
7.(2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为 .
x2＋22＝(x＋0.5)2
8.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点.
(1)求证：BM＝DM；
(2)求证：MN⊥BD.
(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠CBD，∴BE＝DE.
B
【解析】作CE⊥AD于点E，由勾股定理求解．
11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为 .
【解析】分①点D在线段AB上；②点D在线段AB的延长线上两种情况讨论求解.
6或12
12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，BD平分∠ABC交边AC于点D，点E，F分别是边BD，AB上的动点，则AE＋EF的最小值为 .
【解析】在BC边上截取BG＝BF，连接EG，过点A作AH⊥BC交于点H，当且仅当点A，E，G共线，且与BC垂直时，AE＋EF的值最小.
13.阅读下面材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图，任意∠ABC可被看作是矩形ACBD的对角线BA与边BC的夹角，以点B为端点的射线BF交AC于点E，交DA的延长线于点F.若EF＝2AB，则∠CBF是∠ABC的一个三等分角.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(共19张PPT)
1.(2024·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A.70° B.45° C.35° D.50°
2.(2023·南京)若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
C
B
3.(2024·内蒙古)如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB.若∠1＝32°，则∠2的度数为( )
A.32°
B.58°
C.74°
D.75°
C
C
5.(2024·泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A.45°
B.39°
C.29°
D.21°
B
6.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝ 时，△ABC是等边三角形.
60°
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AD，AC的中点，则EF的长为 .
2.5
8. (2024·重庆B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长为 .
2
9.(2023·荆州)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD＝CE.
证明：∵BD为等边三角形ABC的中线，
∴BD⊥AC，∠ACB＝60°，
∠DBC＝30°，
∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，
∵∠CDE＋∠E＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，∴CD＝CE.
10．(2023·青铜峡模拟)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线PQ交AB于点D，交AC于点E.
(1)求证：△ABE是等腰三角形；
(2)若AD＝8，△CBE的周长为26，求△ABC的周长．
(1)证明：PQ垂直平分AB，
∴EB＝EA，∴△ABE是等腰三角形．
(2)解：∵PQ垂直平分AB，AD＝8，
∴AB＝2AD＝16，∵△CBE的周长为26，
∴BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝26，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝42.
D
12.(2023·河北)四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
B
13.(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为 cm.
2
14.如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则
∠C＝ .
52°
15.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，且S△ABC＝60，现将其沿MN折叠后，点A恰好与点C 重合，若D是折痕MN上的一点，O是BC的中点，连接
OD，CD.则△COD周长的最小值是 .
【解析】由题意得，点A与点C关于MN对称，
则△COD周长最小值为AO＋OC.
17
16.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是边AB上一点(不与点A，B重合)，E是线段CD延长线上一点，∠BEC＝∠BAC.
(1)求证：∠EBA＝∠DCA；
(2)小华在研究这个问题时，提出了一个新的猜想：
点D在运动的过程中(不与点A，B重合)，∠AEC与
∠ABC是否会相等？小丽思考片刻后，提出了自己
的想法：可以在线段CE上取一点H，使得CH＝BE，
连接AH，然后通过学过的知识就能得到∠AEC与∠ABC相等.请根据小丽同学的想法，求证：∠AEC＝∠ABC.
证明：(1)∵∠BEC＝∠BAC，
∠BDE＝∠ADC，
∴∠EBA＝∠DCA.
(共18张PPT)
1.(2023·长春)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
A
2.(2023·凉山州)如图，在△ABF和△DCE中，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加下列条件仍无法证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠AFB＝∠DEC
B.AB＝DC
C.∠A＝∠D
D.AF＝DE
D
3.(2024·牡丹江)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件： ，使得AE＝CE.(只添一种情况即可)
DE＝EF或AD＝CF(答案不唯一)
4.(2023·成都)如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF＝ .
3
5.如图，桌面上放置一个等腰Rt△ABC，直角顶点C顶着桌面，若另外两个顶点与桌面的距离分别为5 cm和 3 cm，过另外两个顶点向桌面作垂线，则两个垂足之间的距离DE的长为 cm.
8
6.(2024·宜宾)如图，D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE.
7.(2024·南充)如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求证：BA＝BE.
(2)∵△BDE≌△CDA，
∴ED＝AD，
∵AD⊥BC，
∴BD垂直平分AE，
∴BA＝BE.
C
9.(2023·辽宁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 .
1.5
10.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从
OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图中的A，B，O，C在同一平面上)，过点C作CE⊥OA于点E，测得OB＝17 cm，BD＝8 cm.
(1)求证：OE＝BD；
证明：∵OB⊥OC，∴∠BOD＋∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD＋∠B＝90°，∴∠COE＝∠B，
又∵OB＝OC，∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴OE＝BD.
11.如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边三角形ACD.
(1)如图①，△ABE是等边三角形，求证：EC＝BD；
(2)如图②，若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长.
(共10张PPT)
1.(2024·河南)如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ ）
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
B
A
3.(2024·甘肃)若∠A＝55°，则∠A的补角为( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
4.(2024·达州)当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示).图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
D
B
5.(2024·呼和浩特)如图，直线l1和l2被直线l3和l4所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则∠4的度数为( )
A.75°
B.105°
C.115°
D.130°
B
6.(2024·吉林)如图，从长春站去往胜利公园，与其他道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 .
两点之间，线段最短
7.(2023·乐山)如图,点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 .
20°
9.如图，一条河流从E地流往A地.由于山的阻挡，河流到D处后直线拐到C处，再直线拐到B处，最后拐到A处，已知河流AB∥DE，如果∠D＝100°，∠C＝140°，则∠B的度数为 .
140°
10.已知A，B，C是同一直线上的三点，若AB＝8 cm,BC＝4 cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为 .
2 cm或6 cm(共12张PPT)
1.(2024·长沙)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
2.(2023·衡阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( )
A.1 cm，2 cm，3 cm
B.3 cm，8 cm，5 cm
C.4 cm，5 cm，10 cm
D.4 cm，5 cm，6 cm
D
3.如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( )
B
4.(2024·淮安)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
C
5.(2024·青海)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A.8
B.7.5
C.15
D.无法确定
B
6.(2023·云南)如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，BC的中点分别为M，N，若MN＝3 m，则AB的长为( )
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
B
7.(2024·吉林)如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，
其数学道理是 .
三角形具有稳定性
8.(2024·常州)如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 .
2
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点O，连接BO并延长，交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE∶AD∶BF的值为 .
12∶15∶10
10.如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，已知∠DFC＝3∠B＝123°，∠C＝∠D，则∠BED的度数为 .
98°
11.如图，在△ABC中，∠A＝84°，O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，P是 ∠BOC，∠OCB平分线的交点.若∠P＝100°，则∠ACB的度数是 .
56°(共20张PPT)
1.(2024·内江)已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与
△A1B1C1的周长比为（ ）
A.1∶1
B.1∶3
C.1∶6
D.1∶9
B
2.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
D
D
A
B
6.如图，∠ACB＝∠D＝90°，如果AB＝10，BC＝8，当DB＝ 时，
△ABC∽△BCD.
4.8
7.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为 cm.
20
8.(2024·广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，
EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
9.如图，在锐角三角形ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，矩形MPQN的两个顶点M，N分别在AB，AC上，另两个顶点P，Q均在BC上，高AD交MN于点E，设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y.
(1)求AD的长，并用含x的式子表示线段AE的长；
(2)请写出y关于x的函数解析式；
(3)试求y的最大值.
A
11.(2023·雅安)如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
C
12.(2024·重庆A卷)如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F.若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ .
3
13.如图，P为Rt△ABC直角边BC上一动点，连接AP，作线段AP的垂直平分线交AC边于点Q，连接PQ，已知AB＝3，BC＝4，当△PCQ为直角三角形时，AQ的长为 .
【解析】分两种讨论，当∠QPC＝90°和∠PQC＝90°时，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解.
14.(2024·盐城)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC.
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径.
(1)证明：连接OC，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO＝∠CAB，
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABC∽△ACD.
