2024-2025学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西南宁二中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对变量，有观测数据，得散点图；对变量，，有观测数据，得散点图，由这两个散点图可以判断( )
A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关
C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关
2.已知等差数列的前项和为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.袋中有个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率( )
A. B. C. D.
4.运动会期间，将甲、乙等名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为( )
A. B. C. D.
5.在中，是上靠近点的四等分点，若的面积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知点，为圆上两点，且，点在直线上，点为线段中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知直线与曲线相交于，两点，与曲线相交于，点，，，的横坐标分别为，，，则下列等式中：；；；正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C. 当时，除以的余数是
D. 展开式中二项式系数最大项为第项
10.下列说法正确的是( )
A. 若样本数据，，，的样本方差为，则数据，，，的方差为
B. 若随机变量服从两点分布，且，则
C. 已知随机变量，若，则
D. 运动员每次射击击中目标的概率为，则在次射击中，最有可能击中的次数是次
11.在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的底面半径为，母线长为，点为的中点，圆锥底面上点在以为直径的圆上不含、两点，点在上，且，当点运动时，则( )
A. 三棱锥的外接球体积为定值
B. 直线与直线不可能垂直
C. 直线与平面所成的角可能为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某停车场有一整排个空车位甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两侧都有空车位且甲车在乙、丙两车之间，则共有______种不同的停放方式．
13.已知数列满足，且其前项的和为，则 ______．
14.设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
求数列，的通项公式；
记，求数列的前项和．
16.本小题分
高中的数学试卷满分是分，记成绩在分属于优秀，杜老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了名学生的数学成绩均在区间内作为样本，并整理成如下频率分布直方图．
根据频率分布直方图计算样本的中位数并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；结果保留两位小数
从样本中数学成绩在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人，记这人中来自组的人数为，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
如图所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点现沿着将折起，使点到达点，如图所示，连接，，其中为线段的中点．
求证：；
若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
在的条件下，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，且离心率为．
求的方程．
过点作斜率不为的直线与椭圆交于，不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于，不同的两点．
证明：为定值．
求面积的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．
Ⅱ若函数有两个零点，求实数的取值范围．
Ⅲ若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
，，又，
，解得，即．
由知，
令，
式两边同乘得：，
错位相减得
则．
16.
17.
18.解：设的半焦距为，则
，
故C的方程为．
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去整理得，
由，得．
设，
则．
联立方程组消去整理得，
设，，
则．
证明：，是定值．
的面积．
且，
．
设，则．
函数在上单调递增，
，故．
19.
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