2024-2025学年上海七宝中学高三下学期数学周练（含答案）

七宝中学2024学年第二学期高三年级数学练习
一、填空题
1．已知集合，则_________.
2．已知幂函数的图像过点，则_________
3．在的展开式中，的系数为__________
4．已知数列的前项和满足（其中常数满足）。若数列是等比数列，则实数的值为_____________
5．若复数纯虚数，则实数________．
6．一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球．已知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为______．
7．已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，求直线的斜率的取值范围_____．
8．已知，则的最大值为_____．
9．若函数的图象关于直线对称，则的值是_____
10．有三个观测站，其中在正东方向米，在正北方向米。某处传来了爆炸声。若站听到的时间比站早1秒，站听到的时间比站早1秒，则的最小整数值是______．（假定声波在空气中的传播速度为340米／秒，本题所有点均在同一平面上）
11．在平面中，非零向量满足，则的最大值为____．
12．对于函数，定义．
（1）且，则实数的取值范围是______；
（2），且且，则实数的取值范围是_____．
二、选择题
13．已知直线平面，则＂直线＂是＂＂的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
14．设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确
的是（ ）
A． B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
15．均为正整数，袋子中有个白球，个黑球（大小质地均相同），从中依次有放回的摸出个球，记摸出球中白球的数目为袋子中有张数字卡牌，张字母卡牌（大小质地均相同），从中一次性摸出张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为．下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为＂函数＂．已知函数
中恰有一个为＂函数＂，则满足条件的的整数值的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题
17．在如图所示的圆锥中底面半径为是顶点，是底面的圆心，是圆周上两点，且．
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）设圆锥的高为是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的大小．
18．已知函数
（1）若关于的不等式的解集为，求实数和的值；
（2）若函数在上的最大值为2，求实数的值．
19．环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的的平均浓度（单位：）．调研人员采集了50天的数据，制作了关于，的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I，II，III，IV，落入对应区域的样本点的个数依次为.
（1）完成下面的列联表，并判断至少有多大把握认为＂平均浓度不小于与＂汽车日流量不小于1500辆＂有关；
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度
的平均浓度
合计
（2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差的平均浓度的标准差。
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的日均浓度的平均数。（精确到0．1）
参考公式：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
回归方程，其中。
相关系数．若，则认为与有较强的线性相关性。
20．已知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的上，下顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线．交于点，直线交的上支于点.
（1）求的方程；
（2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
（3）设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．
21．已知对任意正整数，都存在次多项式函数，使得对一切恒成立．例如＂＂
（1）求；
（2）求证：当为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立；
（3）求证：当为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数。
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.60； 4.-1 ； 5.2； 6.； 7.； 8.1； 9.； 10.481； 11.2； 12.（1）．（2）．；
11.在平面中，非零向量满足，则的最大值为____
【答案】2
【解析】设，如图：
因为，
则的终点构成的三角形为正三角形，
分别过点作的垂线，垂足为为的中点，显然，则点在的边上或其外部时才可能取最大值，即当重合时，等号成立；
此时结合，可知，
设，则，则，
故当，即时，取最大值2，故答案为：2。
12.对于函数，定义．
（1）且，则实数的取值范围是；
（2），且且，则实数的取值范围是
【答案】（1）．（2）．
【解析】预备结论1：．证明：若，则；
若，设，则，则，即，
故；综上所述，，得证．
预备结论2：若，则．
证明：若，则方程无解，若，则；
若，则；综上所述，方程无解，
即，得证。
预备结论3：若是增函数，则．
证明：一方面，由预备结论1可知，；
另一方面，若，则由，得；若，设，
则，假设，由是增函数，
若，则，这与矛盾；
若，则，这与矛盾；
故假设错误，即，故，即，综上所述，得证。
（1）对于函数，令，
得方程，判别式．
当，即时，方程无实根，
即，由预备结论2可知，满足题意；
当，即或时，方程有两相等的实根，
即为单元素集合，设，则，
其中，所以，则，由，则，
所以，满足题意；
当，即，或时，方程有两不相等实根，
设为，不妨设。则，
则，即，
则
令，或，或；
令，则方程化为，
即，判别式，
当，即时，方程无实根，
即方程无实根，
所以，满足题意，
故当或时，；
当，即或时，方程有两相等实根；
当时，此时，则，
此时恰好也是方程的根，即的根；
当时，此时，则，
此时恰好也是方程的根，即的根；
故当，或时，，满足题意；
当，即或时，，
方程，即有两不等实根，
设，
则，
故都不是方程的根，
即不是的根，
故方程有4个不相等的实数根，，不满足题意；
综上所述，若，则，故实数的取值范围是．
（2）对于函数，令，
当时，是增函数，由预备结论3可知，，不满足题意；
当时，令，则，
在同一坐标系中分别作出函数与函数的图象，
结合图象可知，方程有且仅有一个根，集合为单元素集；
令，则，即，
当时，，故此时方程无解，故．
令，记，则，
则，
则，令，则，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；故．
①若，即时，，
则在是增函数，，
所以在内有唯一零点，故原方程有唯一解，故为单元素集，
由预备结论1可知，，则，不满足题意；
②若，即时，，
令，则，
当时，在上单调递增；
则，所以，
故在内有唯一零点，不妨设为；
且在内有唯一零点，不妨设，则有．
故当时，，即在单调递增；
当时，，即在单调递减；
当时，，即在单调递增；
又，由（由单调性可证），
所以，又因为在上单调递减，
所以，又，
所以在内有唯一零点。又因为，又，
且（由的单调性可证），
所以，所以，又，
故在和内各有一个零点，即在内有3个零点，
即原方程有3个解，故集合中有3个元素，又由预备结论，则．
故要使，则．故实数的取值范围是．
故答案为：．
二、选择题
13.B； 14.D； 15.C； 16.D
15.均为正整数，袋子中有个白球，个黑球（大小质地均相同），从中依次有放回的摸出个球，记摸出球中白球的数目为袋子中有张数字卡牌，张字母卡牌（大小质地均相同），从中一次性摸出张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为．下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若有放回的摸出个球，每次摸到白球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故，其中.
期望，方差．
若一次性摸出张卡牌，随机变量的可能取值有，
则，
由结论（苏教版2019第121页）：当时，，得，故，选项C正确；
特别地，取，其中．的分布为，
0 1 2
期望，方差随机变量的可能取值有，
则，
所以，，
显然．故ABD不正确．故选：C．
16．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为＂函数＂．已知函数
中恰有一个为＂函数＂，则满足条件的的整数值的个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由函数定义可知，在平面直角坐标系中，
任意与轴垂直的直线与函数的图象至多一个交点．
由题意函数的图象绕坐标原点逆时针旋转，仍为函数图象，
相对可知，任意与轴垂直的直线绕原点顺时针旋转后，与图象至多一个交点，
即，直线与的图象至多一个交点，
故，方程至多一个实数根．
对于函数：，要使方程至多一个实数根，
即，方程在至多一个实数根，
又不是方程的根，当时，至多一个实数根，满足题意；
当时，对任意，方程的判别式不恒成立，不满足题意；
故若函数为＂函数＂，则；
对于函数：方程至多一个实数根
至多一个实数根，故只需函数是单调函数，
由，设，
则，其中，
①当时，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；则，
即，且；
故必不单调；
②当时，同理可得，在上单调递增，在上单调递减；
故恒成立不可能，所以要使函数是单调函数，
则只需恒成立，则只需，解得．
即若中为＂函数＂，则。
综上所述，满足条件的的整数值为，共4个．故选：D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）列联表如下：
汽车日流量 汽车日流量 合计
的平均浓度 16 8 24
的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
（2）①0.84，有价值110.1
20.知双曲线的离心率为2，点在上，为双曲线的上，下顶点，为上支上的动点（点与不重合），直线和直线．交于点，直线交的上支于点.
（1）求的方程；
（2）探究直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由；
（3）设分别为和的外接圆面积，求的取值范围．
【答案】（1） （2）直线过定点 （3）
【解析】(1)∵,点在上，故，又，∴，
∴的方程为．
(2)∵斜率存在，设，与联立消去
得：
则
又
设，则，则，则，
即，化简得，
∴（舍去），因为当时，，故点与A重合，不合题意，
∴直线过定点；
(3)在中，根据正弦定理得：为外接圆的半径，
在中，根据正弦定理得：为外接圆的半径，
∵,∴，故，
由于分别为和的外接圆面积，故，
则，设，与联立消去得：，设，
则
又结合图像可知解得：
因为，所以，
21.已知对任意正整数，都存在次多项式函数，使得对一切恒成立．例如＂＂
（1）求；
（2）求证：当为偶数时，不存在函数使得对一切恒成立；
（3）求证：当为奇数时，存在多项式函数使得对一切恒成立，并求其最高次项系数。
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】(1)
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故．
(2)为偶数，假设存在函数使得对一切恒成立，
将带入，有，
注意到，所以，
故对一切恒成立，显然矛盾．
故当为偶数时，不存在定义在上的函数，
使得对一切恒成立．
（3）将代入，有，
记，则，
当时，，
当时，，
即．
故函数，满足题意。
由，可知，
从而对一切恒成立，
设次多项式最高次项系数为，则，数列是以公比为2的等比数列，
结合，可知，则，
故次多项式最高次项系数为。
从而当时，最高次项系数为，
从而当时，最高次项系数为．