2024-2025学年上海市上海中学高三下学期数学周练（含答案）

上海中学2025学年第一学期高三年级数学周练15
一、填空题
1、已知，，且，则________．
2、已知，，则在方向上的投影为________．
3、已知关于的不等式的解集为，则的最小值为________．
4、函数的单调增区间为________．
5、已知定义在上的函数满足为偶函数，且为奇函数，则________．
6、已知函数，且，则实数的取值范围是________．
7、已知平面向量、、满足：，，，，则当取到最小值时，为________．
8、在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，，则________．
9、已知，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是________．
10、已知函数在上有最大值，且没有最小值，则的取值范围是________．
11、已知、是椭圆：的左、右焦点，是上一动点，记，，若，则的值为________．
12、已知函数，，则的最小值为________．
二、选择题
13、已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）．
A． B． C．0 D．
14、下列4个等式中，不存在，使其成立的是（ ）
A． B．
C． D．
15、设函数，其中．若有且仅有1个整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16、已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：（1）若，，则；（2）若，，则．下列结论正确是（ ）．
①函数可能是奇函数； ②函数可能是周期函数；
③存在，使得； ④对任意，都有．
A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③
三、解答题
17、设函数，，求函数的最小值的解析式．
18、在锐角中，已知角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
19、某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车厢的左侧直线与双车道的分界线相交于、，记．
（1）若大卡车在转弯的某一刻，恰好且、也都在双车道的分界线上，直线也恰好过路口边界，求大卡车的车长；
（2）为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线．求此大卡车的车长的最大值．
20、如图，已知抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记、面积分别为、．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（3）求的最小值及此时点的坐标．
21、给定函数，若点是函数的图像的两条相互垂直的切线的交点，则称点为函数的“特征点”．记函数的所有“特征点”所组成的集合为．
（1）若，求；
（2）若，证明：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出该直线；
（3）若，记函数图像上的所有点所组成的集合为，且，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知、是椭圆：的左、右焦点，是上一动点，记，，若，则的值为________．
【答案】
【解析】在中由正弦定理可得：
由等比性质可得，
又∵，
∴∴，
代入上式可得,，
又两边平方可得．∴的值为．
12.已知函数，，则的最小值为________．
【答案】
【解析】令，
则当时，，但在处无定义，
所以这里主要考虑时的情况）；令，则．
因为恒成立，所以与必然是同一个点，
即，那么．将代入，可得．
设，则
令，即，因为恒成立，所以，解得．
当时，单调递减．
当时，单调递增．
所以在处取得最小值，
二、选择题
13.B； 14.D； 15.C； 16.B
16.已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：（1）若，，则；（2）若，，则．下列结论正确是（ ）．
①函数可能是奇函数； ②函数可能是周期函数；
③存在，使得；④对任意，都有．
A．①③④ B．②③④ C．②④ D．②③
【答案】B
【解析】①中，若为奇函数，则由性质（1）得，，所以当时，，性质（1）（2）矛盾，①错误；
若为周期函数，则为周期，当时，性质（1）（2）均成立，结论②正确；
由上述分析可知，当时的值域为，所以一定存在使得，结论③正确；
由性质（2）可得当时，，故为无穷集合，故，结论④正确．故选：．
三、解答题
17.
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20.如图，已知抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记、面积分别为、．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；
（3）求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1） （2） （3）取得最小值，此时
【解析】（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为
（2）由已知设直线的方程为，
与抛物线联立可得，，所以，
则线段，则以线段为直径的圆的半径为8，故圆的面积为；
（3）设，重心，），
令，则，由直线过点，故直线的方程为，
代入，可得，所以，即，所以，
又由于，重心在轴上，故，
所以，
所以直线的方程为，可得，
由于点在焦点的右侧，故，
故
令，则，
所以
当且仅当，即时，取得最小值，此时
21.给定函数，若点是函数的图像的两条相互垂直的切线的交点，则称点为函数的“特征点”．记函数的所有“特征点”所组成的集合为．
（1）若，求；
（2）若，证明：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出该直线；
（3）若，记函数图像上的所有点所组成的集合为，且，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）假设存在＂特征点＂，则存在两条互相垂直的切线，
设为和处的切线，因为，所以，
所以不存在＂特征点＂，所以．
（2）证明：设＂特征点＂是在和处的切线的交点，
因为，所以，
所以在和处的切线方程为，
联立，解得，即，
因为两条切线相互垂直，所以，所以，
所以的所有＂特征点＂在一条定直线上．
（3）因为，
所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是＂特征点＂，
先证明：对任意的实数，若图象上的点是＂特征点＂，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点不是切点，
则存在切线，它与函数图象交于点，
所以，化简得，
因为，所以，同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，
所以该点本身一定是切点，
假设处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，
则由上可知，所以，
因为，所以，
即，
设，则，即,
由题意可知图象上的点都不是＂特征点＂，即不存在这样的点，
所以方程对无解，
设，其对称轴为,所以当时，取最小值，
要使得无解，只需，解得，所以实数的取值范围．