2024-2025学年上海市上海中学东校高三下学期数学周练（含答案）

上中东校2024学年第一学期高三年级数学练习1
一.填空题
1.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在学校进行抽样调
查，则比较合适的抽样方法为
2.是_______
3._____________
4.在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所
得向量对应的复数是
5.已知函数存在最小值，则实数的取值范围为
6.从编号为1、2、3、4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除的概率为
7.若函数存在单调增区间，则实数的取值范围是
8.已知为坐标原点，是的直径，若点满足，则的最小值为
9.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={6,7,8,9}，从集合A中选3个元素，从集合B中选2个元素，能组成___________个含有5个元素的集合.
10.势均力敌的甲、乙两队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是_______.
11.已知函数和，其中，若对任意，均存在，使得成立，则实数的取值范围为
12.设由不超过1000的两个正整数组成的数对满足条件：。则所有这样的数对的个数为______.
二.选择题
13.已知函数是上的严格增函数，则对任意，“”是
“”的（ ）条件
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要
14.孔子曰“三人行，必有我师焉”，从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率约为（ ）
【参考数据：，，】
A. 0.0027% B. 99.9973% C. 0 D. 91.2673%
15.关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；②函数在上严格增；
③函数的值域为；
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①② B. ② C. ②③ D. ③
16.已知，为中不同数字的种类，如，，求所有的256个的排列所得的平均值为（ ）
A. B. C. D.
三.解答题
17.已知等差数列中，，，数列的前项和.
（1）求，；
（2）若，求的前项和.
18.如图所示，四棱锥的底面是菱形，底面，、分别是、的中点，，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，
确定点位置，如不存在，说明理由.
19.某校抽取了66名高一年级学生，测量他们的身高数据．现在假设由于某种原因这些原始样本数据不可查得，但已知按照分层随机抽样原则抽取了样本，其中男生34名，身高的样本平均数为173.1cm，方差为25.9；女生32名，身高的样本平均数为161.3cm，方差为23.3．试用这些已知的数据求该66名高一年级学生身高的样本平均数和方差．
20.如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为.
（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；
（2）在（1）的条件下，如果过点的直线与抛物线只有一个交点，过点的直线与抛物线也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点在直线上；
（3）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值.
21.设为实数，函数（）.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若，求的最小值；
（3）对于函数和给定区间，若存在（），满足
，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个
“均值点”，如函数是上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.分层随机抽样； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.已知函数和，其中，若对任意，均存在，使得成立，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由题意可得的值域应是的值域的子集．
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
故。在上单调递增，故
所以，即．
②当时，在上单调递减，故，
在上单调递减，上单调递增，
故．所以，解得，又，所以．
综上，的取值范围是．
二、选择题
13.C； 14.B； 15.C； 16.D
15.关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；②函数在上严格增；
③函数的值域为；
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①② B. ② C. ②③ D. ③
【答案】C
【解析】因为，故①错误；
当时，，
故
可知函数在上单调递增，故②正确；
函数的值域等价于
函数的值域，易知．
故当时，，故③正确．综上所述，②③正确；
故选：．
16.已知，为中不同数字的种类，如，，求所有的256个的排列所得的平均值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，的排列共有256种，
其中当时，即排列中只有1个数字，有4种情况，
当时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，
有种情况，若有2个数字相同，有种情况，
此时有种情况，
当时，即排列中有3个不同的数字，有种情况，
当时，即排列有4个不同的数字，有种情况，
则的平均值为故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）存在，F为DC的中点
19.平均数为167.38，方差为59.4
20.如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为.
（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；
（2）在（1）的条件下，如果过点的直线与抛物线只有一个交点，过点的直线与抛物线也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点在直线上；
（3）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）设，由，，
可得，
由点在上可得：化简得：
同理可得：∵两点不同，不妨设，
∴弦所在的直线方程为．
（2）证明：由（1）可知，，设：，
与联立，并令，可得，同理的斜率，
解方程组得：交点，而直线的方程为，得证．
（3）证明：设，由，得，
代入，化简得：
同理可得：，
显然是方程
的两个不同的根，
即直线的方程为
∴线段与的比为定值．
21.设为实数，函数（）.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若，求的最小值；
（3）对于函数和给定区间，若存在（），满足
，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个
“均值点”，如函数是上的平均值函数，0就是它的均值点，现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）0 （2） （3）
【解析】（1）∵是偶函数，∴在上恒成立，
即，即，得；
（2）当时，
由在上递增，可得在上的最小值为，
在递减，在递增，可得在上的最小值为，
由，则函数的最小值为；
（3）因为函数是区间上的平均值函数，
所以存在，使，而，
即存在，使得，即关于的方程在内有解；
由，得，解得，所以，即，故的取值范围是．