2024-2025学年上海建平中学高三下学期数学周练（含答案）

建平中学2024学年第二学期高三年级数学周练
一、填空题
1．计算：________．
2．设集合有且只有两个子集，则________．
3．在的展开式中，各项系数之和为________．
4．已知正实数、满足，则的最大值为________．
5．某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则________．
6．已知函数的最小正周期是，则________．
7．已知函数，则不等式的解集为________．
8．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：，若普通列单的声强级是高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的________倍．
9．若每经过一天某种物品的价格变为原来的1．02倍的概率为0．5，变为原来的0．98倍的概率也为0．5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为________．
10．设点、、、为圆上四个互不相同的点，若，且，则________．
11．在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为________．
12．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有________项．
二、选择题
13．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
14．等差数列中，，，为等比数列，则公比为（ ）
A．1或 B． C． D．1
15．已知，，则“”是“函数存在最小值”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
16．在空间中过点．作平面的垂线，垂足为，记．设、是两个不同的平面，对空间中任意一点，，，恒有．
则（ ）
A． B．
C．与的（锐）二面角为 D．与的（锐）二面角为
三、解答题
17．已知角为锐角，且．
（1）求的值；
（2）求．
18．如图，正三棱柱的底面边长为，点在边上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：点为边的中点；
（2）求点到平面的距离．
19．某地区为了解居民体育锻炼达标情况与性别之间的关系，随机调查了600位居民，得到如下数据：
不达标 达标 合计
男 300
女 100 300
合计 450 600
（1）完成列联表，根据显著性水平的独立性检验，能否认为体育锻炼达标与性别有关？
（2）若体育锻炼达标的居民体能测试合格的概率为，体育锻炼未达标的居民体能测试合格的概率为，用上表中居民体育达标的频率估计该地区居民体育达标的概率，现从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，求其体能测试合格的概率；
（3）在（2）的条件下，从该地区居民中随机抽取3人参加体能测试，求3人中体能测试合格的人数的分布、数学期望及方差．
附：，．
20．已知直线与双曲线相切于点．
（1）若，求的值；
（2）设直线过点且其法向量，证明：当时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为；
（3）已知过点且与直线垂直的直线分别交、轴于、两点，又是线段中点，求点的轨迹方程．
21．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是函数，并称是的“值”．
（1）试分别判断函数，和，是不是函数？并说明理由；
（2）若是函数，且“值”为2，求实数的取值范围；
（3）证明：是函数，并求出该函数“值”的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
12.若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2021，则这个数列至少有________项
【答案】
【解析】由题意得数列要想项数最少，需要各项最大，
又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，
所以需要数列前面递增，后面对称递减，又各项之和是2021，中间可能存在相等的项，
设除去相等项后的各项为，，
令各项和
当为44时，项数为项，
将85分成小于或等于44的项，最少可以分成两项，故这个数列至少有项，
故答案为：89．
二、选择题
13.D； 14.A； 15.C； 16.A
15.已知，，则“”是“函数存在最小值”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】
【解析】因为是连续的函数，所以在内必有最大值和最小值，
所以考虑或时有最小值即可，
由题意得，
若有最小值，则当时必有，否则单调递减，无最小值；
同理，当时必有即，否则单调递增，无最小值，
所以存在最小值，又是的必要不充分条件，
所以是＂存在最小值＂的必要不充分条件。故选：．
16．在空间中过点．作平面的垂线，垂足为，记．设、是两个不同的平面，对空间中任意一点，，，恒有．
则（ ）
A． B．
C．与的（锐）二面角为 D．与的（锐）二面角为
【答案】
【解析】设，则根据题意，得点是过点作平面垂线的垂足∴点是过点作平面垂线的垂足
同理，若，得点是过点作平面垂线的垂足
因此表示点是过点作平面垂线的垂足
∵对任意的点，恒有，∴点与重合于同一点
由此可得，四边形为矩形，且是二面角的平面角
∵是直角，∴平面与平面垂直，故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）能认为体育锻炼达标与性别有关，列联表如下：
不达标 达标 合计
男 50 250 300
女 100 200 300
合计 150 450 600
（2） （3）的分布列为：
0 1 2 3
20.已知直线与双曲线相切于点．
（1）若，求的值；
（2）设直线过点且其法向量，证明：当时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为；
（3）已知过点且与直线垂直的直线分别交、轴于、两点，又是线段中点，求点的轨迹方程．
【答案】（1） （2）见解析 （3）
【解析】（1）联立，消去可得：，
所以，所以，即，当时，；
（2）由题任取直线上一点，
则由题意
即直线的直线方程为，与切线平行，
所以直线与过原点的平行直线的距离为
因为，所以，故，故，
即，由，所以直线与过原点的平行直线的距离为：
因为，所以，故，即，
所以时，直线与曲线右支相切的切线距离为，
故当时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为．
（3）设，则，对求关于的导数可得：，所以，
则，又过点与垂直的直线分别交轴于两点，所以，
所以令，得，所以，令，得，
所以，所以，即，则，
又，所以，
即的轨迹方程是．
21.对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是函数，并称是的“值”．
（1）试分别判断函数，和，是不是函数？并说明理由；
（2）若是函数，且“值”为2，求实数的取值范围；
（3）证明：是函数，并求出该函数“值”的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析
【解析】（1）函数是函数，
因为，当时，则有，，满足；
因为，，当时，，而，
所以不可能成立，即不存在实数和，使得成立，
所以不是函数；
（2）由题意可得，所以有解，
即有解，对于函数，
因为
所以，
令，则，解得，
所以函数的单调递增区间为
单调递减区间：，故值域为：．
所以实数的取值范围是．
（3）证明：因为，设，
当时，恒成立，
此时不存在使得成立，不合题意；
当时，因为与在上均单调递减，
所以在上单调递减，所以在上单调递增，
因为，
所以存在使当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以
由，所以，所以
此时不存在使得成立，不合题意；当时，若，则，从而，所以在上单调递增，当时，设，
则，设，
当时，在上单调递增，且，所以，
从而，所以，从而，所以在上单调递增，
所以，从而，所以在上单调递增，
又，由零点存在性定理可知，存在
使得即成立，符合题意；
当时，，显然存在零点符合题意；
当时，在上单调递减，
且，所以，从而，所以，从而，
所以在上单调递减，趋于时，趋于，
存在，使得，即，
当时，上单调递增，
当时，上单调递减，又，
当趋于时，趋于，由零点存在性定理，存在使得
即成立，符合题意；
综上所述，为＂卓然＂函数，该函数取值范围是．