2024-2025学年上海控江中学高三下学期数学月考试题(含答案)

控江中学2024学年第二学期高三年级数学月考
一．填空题（本大题共12题，1－6每题4分，每题5分，共54分）
1．设集合，则________．
2．若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于第____象限。
3．已知函数，则_______
4．若是函数两个相邻的零点，则的值为____．
5．已知三角形为单位圆的内接正三角形，则_______.
6．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为_______
7．已知随机变量服从正态分布，且，则的最小值为______.
8．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最小值为_____．
9．＂太极图＂形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的＂太极图＂，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是_______
10．在棱长为1的正方体中，，过点的平面截该正方体所得截面的周长为______．
11．对一列整数，约定：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值。设全部输入完毕后显示的最后的结果为．若将从1到2030的2030个整数随机地输入，则的最小值和最大值之和为_____．
12．机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为14cm，开口直径为10cm。旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于______
二．选择题（本大题共4题，第13，14题各4分，第15，16题各5分，共18分）
13．若能被5整除，则的一组值可能为（ ）
A． B．
C． D．
14．如右图，有两个具有共顶点且全等的正六边形，若共线，且，则共有（ ）个不同的正值．
A．8 B．7 C．6 D．5
15．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：（1）；（2）将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点。下列判断正确的是（ ）
A．（1），（2）都是真命题 B．（1）是真命题，（2）是假命题
C．（1）是假命题，（2）是真命题 D．（1），（2）都是假命题
16．设为等差数列，令，则＂＂是＂＂的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
三．解答题（本大题共5题，共分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图，四棱锥中，底面是平行四边形，
，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分
如图广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，其中．
（1）写出关于的函数关系式；
（2）如何设计，使得有最大值？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分
若数列满足，则称数列为项0－1数列，集合是由所有项0－1数列组成的集合，从集合中任意取出两个不同数列，记变量
（1）若，求随机变量的分布列与数学期望；
（2）求，其中且．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点。
（1）求抛物线的方程；
（2）若，证明：；
（3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分
在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为＂旋转函数＂＂。
（1）判断函数是否为＂旋转函数＂，并说明理由；
（2）已知函数是＂旋转函数＂，求的最大值；
（3）若函数是＂旋转函数＂，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.四； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.8； 8.-4； 9.； 10.； 11.2030； 12.；
11.对一列整数，约定：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值。设全部输入完毕后显示的最后的结果为．若将从1到2030的2030个整数随机地输入，则的最小值和最大值之和为_____．
【答案】2030
【解析】p的最小值是1，最大值是2029．
12．机场为旅客提供的圆锥形一次性纸杯如图所示，该纸杯母线长为14cm，开口直径为10cm。旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，该椭圆的离心率等于______
【答案】
【解析】如图，设，因，故，又，由余弦定理，，
即，设椭圆中心为，作圆锥的轴截面，
与底面直径交于，与椭圆交于，
连交于，以点为原点，为轴，建立直角坐标系．
则，又由得，
从而，则得，不妨设椭圆方程为，
把和点坐标代入方程，解得，则，故．
二、选择题
13.C； 14.A； 15.A； 16.C
15.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，设其高为，容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，设其高为，当容器内盛有一定量的水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点，如果将容器水平倒置，水面也恰好过点（图2），对于命题：（1）；（2）将容器侧面水平放置，当水面静止时，水面恰好经过点。下列判断正确的是（ ）
A．（1），（2）都是真命题 B．（1）是真命题，（2）是假命题
C．（1）是假命题，（2）是真命题 D．（1），（2）都是假命题
【答案】A
【解析】设图1水的高度，几何体正四棱柱的高为，底面正方形的边长为，
图2中水的体积为，
所以，所以，故（1）正确，
对于（2），当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过点，故（2）正确．
16.设为等差数列，令，则＂＂是＂＂的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：因为，得到，由
所以
满足充分性；
必要性：当，由分析可得；故满足充要性。
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）设计时，此时有最大值
19.（1），X的分布列：
X 1 2 3
（2）
20.如图，已知抛物线，过点作斜率为的直线，分别交抛物线于与，当时，为的中点。
（1）求抛物线的方程；
（2）若，证明：；
（3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）当时，直线的方程为，
设，联立，消去并整理得，
因为的中点，所以，解得，
则抛物线方程为；
（2）证明：因为，设的方程为，
直线的方程为，联立，
消去并整理得，由韦达定理得，
所以
因为，
所以，
同理得，因为，所以，
因为，所以，则；
（3）证明：设直线的方程为，因为直线过点，
所以，（1）设，
直线的方程为，因为直线过点，所以，（2）
直线的方程为，联立（1）（2），可得，
所以，此时直线的方程为，
即。则直线恒过点．
21.在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为＂旋转函数＂＂。
（1）判断函数是否为＂旋转函数＂，并说明理由；
（2）已知函数是＂旋转函数＂，求的最大值；
（3）若函数是＂旋转函数＂，求的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】（1）函数不是＂旋转函数＂，
理由如下．的图象逆时针旋转后与轴重合，
当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是＂旋转函数＂．
（2）由题意可得函数与函数最多有1个交点，其中，所以关于的方程最多有一个根，
即关于的方程最多有一个根，
即函数在上单调．
易知，且。若，
则，不满足题意，所以，所以，
即，即的最大值为．
（3）由题意可知，与最多有一个交点，
故，最多一个解即与至多一个交点
所以恒大于等于0或恒小于等于0，当时，
即，令，故，
此时分析可知，不合题意舍去
当在单调递减；在单调递增；
所以，故，综上所述；