2024-2025学年上海进才中学高二下学期数学月考试题（含详解）

进才中学2024学年第二学期高二年级数学月考
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．，，则________．
2．若函数在上是偶函数，则实数________
3．已知，则________．
4．已知向量，，若，则实数________．
5．若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为________．
6．如图，在棱长为1的正方体中，点到平面距离是________．
7．定义在上的函数的图像如上图所示，设的导函数为，则的解集为________．
8．若，分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为________．
9．若函数在上严格增，那么的取值范围是________．
10．已知函数，则不等式的解集为________．
11．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为________．
12．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为________．
二、选择题：（共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）
13．设，，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知函数，则式子表示（ ）．
A．在处的导数 B．在处的导数
C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率
15．已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
16．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，直三棱柱的体积为1，，，．
（1）求证：；
（2）求锐二面角的余弦值．
18．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
19．（本题满分14分，本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相
交于，两点，的周长等于16．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，），则称为曲线的“切线”．
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线所有一切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线 若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【解析】设，则根据题意可得，∴根据椭圆的几何性质可得：
∴在中，由余弦定理可得：
，化简整理可得，
又在中，由余弦定理可得：
又又
∴椭圆的离心率为．故答案为：．
12．设是由正整数组成且项数为的增数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和，在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得，则的最小值为______
【答案】
【解析】因为数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，所以，
又是由正整数组成且项数为的增数列，所以或，
当时，，此时，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾，
所以，类似地，必有，，
由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小，
则，同理，，当
中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件。
由对称性得最后6项为
则的最小值
故答案为：5454．
二、选择题
13.A； 14.C； 15.C； 16.D
15.已知函数，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上单调递增
【答案】C
【解析】，周期，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，对于在上单调递增，故错误，
对于在上单调递增，在上单调递减，故错误，
对于在上单调递减，故正确，
对于在上单调递减，在，上单调递增，故错误，故选：．
16．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为是向左平移1个单位长度得到，
且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以，
对任意的，且，都有成立，
所以，令，
所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是上的偶函数所以在上单调递减，当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即，所以；
当时，转化成，所以
综上所述，不等式的解集为。故选：．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）极小值为2，无极大值
20.已知椭圆的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于16．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，．
（i）求证：为定值；
（ii）求面积的最大值．
【答案】（1） （2）（i）见解析；（ii）
【解析】（1）由椭圆的两个焦点可得椭圆焦点在轴上，
因为过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，的周长等于16。
则，即，所以，所以椭圆的方程为；
（2）（）证明：由题意可知直线斜率存在，当直线斜率为0时，显然，
所以，当直线斜率不为0时，设直线方程为，
联立可得
则，即
设，则，
所以
因为
所以，为定值；
（）由（）可得
所以
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．
21.若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中，），则称为曲线的“切线”．
（1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
（2）求曲线所有一切线的方程；
（3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线 若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
【答案】（1）3 （2） （3）见解析
【解析】（1）曲线在点处的切线为－切线，另一个公共点的坐标为，则该切线的斜率为，因此．
（2）由求导得，则曲线在处的切线方程为：，
令
整理得，
此切线为－切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即，
所以曲线的－切线仅有一条，为．
（3）由，得曲线在点处的切线方程为：，即,
令
求导得，由，得，
对，当时，为严格增函数；
当时，为严格减函数，
函数所有的极大值为，当时，极大值等于0，即，
当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，
函数所有的极小值为,
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线为－切线，等价于有三个零点，等价于，即有解，令，
则，因此为上的严格增函数，
因为，于是存在唯一实数，满足
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为－切线．