2024-2025学年浙江省丽水发展共同体高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省丽水发展共同体高二下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.展开后，共有多少项( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则
A. B. C. D.
4.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
5.在篮球比赛中，罚球命中次得分，不中得分如果某运动员罚球命中的概率为那么他罚球次的得分的均值是( )
A. B. C. D.
6.我校在本年度“绿谷之春”比赛中喜获佳绩，共有位同学每人一幅作品获奖，其中一等奖人，二等奖人，校团委决定举办优秀作品展，现采取抽签方式决定作品展出顺序，则荣获一等奖的名同学的作品在前顺位全部被展出的概率为( )
A. B. C. D.
7.唐老师有语文，数学等本不同学科的练习册，平均分给个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为( )
A. B. C. D.
8.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于年所著的详解九章算法一书中，法国数学家帕斯卡在年才发现这一规律“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.
B. 在第行中第个数最大
C. 第行的第个数、第行的第个数及第行的第个数之和等于行的第个数
D. 第行中第个数与第个数之比为：
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对两组数据进行统计后得到的散点图如下图，关于其线性相关系数的结论正确的是 ．
A. B. C. D.
10.若，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 含项的系数是
11.随机事件满足，下列说法正确的是( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某种产品的广告费支出与销售额单位：万元之间的关系如下表：
与的线性回归方程为，当广告支出万元时，随机误差的残差为 ．
13.随机变量的分布列如下：
若，则 ．
14.已知集合为从到的函数，且有两个不同的实数根，则这样的函数个数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二项式
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式的第项的系数．
16.本小题分
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷次，记正面朝上的次数为；乙用这枚硬币掷次，记正面朝上的次数为．
求的期望和方差；
规定：若，则甲获胜，否则乙获胜，求出甲获胜的概率．
17.本小题分
，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，年末一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对和两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
高昂 较高 低廉 总计
请填写如下列联表，并判断能否有的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
高成本运营 低成本运营
对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知发布前高成本运营占比为，设为发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为的技术水平高于，根据抽取的个客户信息，是否能够认为的技术水平高于．
附：

18.本小题分
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，
侧棱的长为，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，求：
证明：；
的长；
直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求椭圆的方程；
斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值；
在的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：对于二项式，则展开式中所有二项式系数的和为；
因为二项式展开式的通项为且，
所以，所以展开式的第项的系数为．
16.解：依题意，
所以，．
因为，
所以，，
，，
又，
所以，，．
所以甲获胜有以下情况：，；，；，．
所以甲获胜的概率．
17.根据题意可得列联表：
高成本运营 低成本运营
可得
因为，
所以有的把握认为两家公司的运营成本存在差异．
由题意可知：发布后这两家公司的高成本运营占比，
用频率估计概率可得，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以，能够认为的技术水平高于．
18.解：，，
故，故；
，
故
；
由，，，
故，
又，
故，
又平面，且，
故平面，即是平面的法向量，
令直线与平面所成角为，
则，
又，
故
，
故
，
即．
19.解：由题意，得，解得，，，
所以椭圆的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去整理得，
则，
且，，
又，，
则
，
则，即时，此时为定值；
由知，，，直线的方程为，
且，，，，
则，，
则直线的方程为，
令，得
，
即，则，，，
则周长为，
当且仅当，即时等号成立，
则周长的最小值为．


第1页，共1页