2024-2025学年河南省百师联盟高二下学期4月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省百师联盟高二下学期4月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知变量与的组观测值如下表：
且对呈线性相关关系，则关于的回归直线必过的定点为( )
A. B. C. D.
2.变量与的组样本数据为，，，，与线性相关，记，，则下面说法错误的是( )
A. 回归直线必经过点
B. 样本相关系数与回归系数同号
C. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强
D. 回归直线至少经过点，，，中的一个点
3.设函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
5.为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如下列联表所示单位：人，根据数据计算得，依据小概率值的独立性检验，小概率值相应的临界值为，则下列结论不正确的是( )
吸烟 肺癌 合计
非肺癌患者 肺癌患者
非吸烟者
吸烟者
合计
A.
B. 若从这人中随机抽取人，则人都是非肺癌患者的概率为
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺癌有关联
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为吸烟与患肺癌无关联
6.地铁的开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况某条地铁线路开通后，某调查机构抽取了部分乘坐该线路地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，得到如下信息：岁及以下的市民中，男性约占；岁以上的市民中，男性约占；男性市民中，岁及以下的约占；女性市民中，岁及以下的约占根据以上信息，下列结论不一定正确的是( )
A. 样本中男性比女性多
B. 样本中多数女性是岁以上
C. 样本中岁及以下的男性人数比岁以上的女性人数多
D. 样本中岁以上的市民比岁及以下的多
7.已知是等差数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( )
A. 数列为递增数列 B.
C. 的最小值为 D.
8.已知正项数列是公比不等于的等比数列，且，若，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某兴趣小组为研究本校学生每周平均体育运动时间与性别是否有关联，进行了一次抽样调查已知被抽取的男、女生人数相同调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过小时的占，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过小时的占若在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关联，则被抽取的男生人数可以是( )
附：，．
A. B. C. D.
10.研究变量，得到组成对数据，，，，，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. 相关系数不变 B. 变量与的相关性变强
C. 线性回归方程不变 D. 回归系数不变
11.已知等比数列的前项和为，满足，则下列说法正确的有( )
A. 数列是递减数列 B. 数列是等差数列
C. 记，则有最小值 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知变量，具有线性相关关系，且回归直线方程为，若回归直线过点，则 ．
13.数列是以为首项，为公差的等差数列，则 ．
14.在处的切线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求，，猜想数列的通项公式；
用数学归纳法证明你的猜想．
16.本小题分
已知，曲线在点处的切线方程为．
求实数的值；
若，求曲线过点的切线方程．
17.本小题分
近几年我国新能源汽车产业快速发展，据行业数据显示，新能源汽车的数量在不断增加下表为某城市统计的近年新能源汽车的新增数量，其中为年份代号，单位：万辆代表新增新能源汽车的数量．
年份
年份代号
新增新能源汽车万辆
计算样本相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．
求关于的经验回归方程，并据此估计该城市年的新增新能源汽车的数量；
参考数据：参考公式：．
18.本小题分
某校利用数字化软件记录位学生每日课后作业完成的时长，某次考试之后统计得到了如下平均作业时长与学业成绩的数据表：
平均作业时长单位：小时
学业成绩优秀：
学业成绩不优秀：
填写如下列联表，试判断：是否有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关？
时长 其他 总计
优秀
不优秀
总计
常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比现从所有名学生中任选一人，表示“选到的是男生”，表示“选到的学生成绩优秀”，若，且，求．
附：，．
19.本小题分
已知数列的前项和为，，．
求证：数列是等差数列．
设，数列的前项和为．
求；
若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为，，
可得，，
因此可猜想．
当时，，等式成立；
假设当时，等式成立，即，
则当时，，
即当时，等式也成立．
综上所述，对任意，．
16.解：由函数，其中，可得，
因为曲线在点处的切线方程为，
可得，且，即
解得．
解：由知，，可得，
设切点为，则切线的斜率，故切线方程为，
因为切线过点，所以，整理得，
解得或，所以切点为或，
此时，曲线过点的切线方程为或．
17.解：由题意可得：，
则
，
因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系．
由题意可得：，，
则，当时，，
所以估计该市年新增燃油车万辆．
18.列联表数据如下：
时长
其他 总计
优秀
不优秀
总计
因为，
所以有的把握认为学业成绩优秀与日均作业时长不小于小时且小于小时有关；
已知，则，，
由已知得，
所以由概率的乘法公式可知，
因为，所以，
又因为，所以，
所以．
19.证明：因为，可得，所以，
两边同除以，可得，即，
又因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列．
解：由可得，所以，可得，
所以，
则．
两式相减，可得
，
所以．
因为对任意的恒成立，所以，
则对任意的恒成立．
令，可得，
所以数列是递减数列，
当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是．

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