2024-2025学年山西省太原市高二下学期期中学业诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省太原市高二下学期期中学业诊断
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.等比数列中，，，则的前项和( )
A. B. C. D.
4.函数的极小值是( )
A. B. C. D.
5.已知等比数列中，，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
6.函数的单调递减区间是( )
A. 和 B. 和
C. D.
7.已知等差数列的前项和为，且，是以为公差的等差数列，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 的极小值为
C. 有三个零点 D. 的对称中心为
10.已知数列满足，，是的前项和，则下列结论正确的是( )
A. 是等比数列 B.
C. D.
11.已知等比数列中，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间为 ．
13.已知数列的前项和为，，则 ．
14.若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
当时，求的值域．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且满足．
求的通项公式；
在等差数列中，，，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项积为，且．
证明：是等差数列；
设，求数列的前项和；
若对于任意，恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若在上有零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题设，
当或，，则在、上单调递增，
当，，则在上单调递减，
所以的增区间为、，减区间为；
由知，在、上单调递增，在上单调递减，
且，，，，
所以时，的值域为．
16.，当时，，解得，
当时，，
式子得，即，
故为首项为，公比为的等比数列，
所以；
由知，，，
设的公差为，则，解得，
所以，，
故，
所以，
两式相减得，
所以．
17.由题设，
当或，，在、上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以极大值为，极小值为．
由时，趋向于，时，趋向于，且，
结合知，在上，且，

要使函数恰有两个零点，则或．
18.当，则，故，所以，
由，故，可得，
由，则，
所以是首项为，公差为的等差数列；
由得，则，故，
所以
当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
所以；
由得，原不等式等价于，
令，，
则，
故，即，
所以在上单调递增，故，即实数的最大值．
19.当时，，，
则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程，
即；
当时，即时，
易知的解集为，，的解集为，
所以在，单调递增，在单调递减；
当时，即，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，即，
易知的解集为，，的解集为，
所以在，单调递增，在单调递减；
当，即时，
由可得：，由，可得：，
所以在单调递增，在单调递减；
综上：时，在，单调递增，在单调递减；
时，在上单调递增；
时，在，单调递增，在单调递减；
时，在单调递增，在单调递减；
由得当时，在上递增，，此时在上无零点，不合题意；
当时，在上递减，在上递增，，取时，
证明不等式，，
设，，则，，
设，，则，
则在上单调递增，则，即在上恒成立，
则在上单调递增，则，即，，
用替换得，
则，
，
，
，使得符合题意；
综上，的取值范围为．

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