专题 6.1 平面向量的概念【五大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 向量的概念与表示】 ................................................................................................................................2
【题型 2 零向量与单位向量】 ................................................................................................................................2
【题型 3 向量的几何表示与向量的模】 ................................................................................................................3
【题型 4 相等向量与共线（平行）向量】 ............................................................................................................5
【题型 5 利用向量关系研究几何图形的性质】 ....................................................................................................6
【知识点 1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如 等.
(2)几何表示法：以 A 为始点，B 为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 .
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
r
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0 ，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度 1 可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
【题型 1 向量的概念与表示】
【例 1】（23-24 高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
→ →
D．有向线段 和有向线段 的长度相等
【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度
【变式 1-2】（2025 高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式 1-3】（23-24 高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的 x 轴 y 轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型 2 零向量与单位向量】
【例 2】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为 0
D．任意两个单位向量方向相同
【变式 2-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（ ）
①长度为 0 的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【变式 2-2】（23-24 高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小 B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线
【变式 2-3】（24-25 高一下·广东揭阳·阶段练习）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量 与向量 的长度相等
C．对任意向量 ，| |是一个单位向量
D．零向量没有方向
【题型 3 向量的几何表示与向量的模】
【例 3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，某人从点 A 出发，向西走了 200m 后到达 B 点，然后改变方
向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200 3m到达 C 点，最后又改变方向，向东走了 200m 到达 D 点，发
现 D 点在 B 点的正北方．
(1)作出 、 、 （图中 1 个单位长度表示 100m）；
(2)求 的模．
【变式 3-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格上，求：
(1)| |；
(2)| |；
(3)| |．
【变式 3-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为 1，画出下列向量．
(1)| | = 3，点 A 在点 O 的正西方向；
(2)| | = 3 2，点 B 在点 O 的北偏西45°方向；
(3)根据（1）（2），作出向量 并求出| |的值．
【变式 3-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知飞机从 地按北偏东30 方向飞行2000 到达 地，再从 地
按南偏东30 方向飞行2000 到达 地，再从 地按西南方向飞行1000 2 到达 地．画图表示向量 ,
, ，并指出向量 的模和方向．
【知识点 2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
r
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: 0 与任一向量共线.
注：
r
①零向量的方向是任意的，注意0 与 0 的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
【题型 4 相等向量与共线（平行）向量】
【例 4】（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，图中与 共线的向量有
（ ）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【变式 4-1】（23-24 高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，
则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．| | = | | B． 与 共线
C． 与 共线 D． =
【变式 4-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四边形 和四边形 都是平行四边形．
(1)写出与向量 相等的向量；
(2)写出与向量 共线的向量．
【变式 4-3】（2025 高一·全国·课后作业）如图所示，四边形 为正方形， 为平行四边形，
(1)与 模长相等的向量有多少个？
(2)写出与 相等的向量有哪些？
(3)与 共线的向量有哪些？
(4)请列出与 相等的向量．
【题型 5 利用向量关系研究几何图形的性质】
【例 5】（2024 高一·全国·专题练习）设 是单位向量， = ， = ，| | = 1，则四边形 是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【变式 5-1】（23-24 高一下·河南·期中）在四边形 中， 与 交于点 ，且 = ， = ，| |
= | |，则 （ ）
A． ⊥ B．四边形 是梯形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是矩形
【变式 5-2】（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形 中，M，N 分别是 ， 的中点，
//
又 = .求证： = .
【变式 5-3】（2025 高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径 = 6， 是半圆上的一点， 、 分别是 、
上的点，且 = 1， = 4， = 3.
（1）求证： ∥ ；
（2）求| |.专题 6.1 平面向量的概念【五大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 向量的概念与表示】 ................................................................................................................................2
【题型 2 零向量与单位向量】 ................................................................................................................................3
【题型 3 向量的几何表示与向量的模】 ................................................................................................................4
【题型 4 相等向量与共线（平行）向量】 ............................................................................................................8
【题型 5 利用向量关系研究几何图形的性质】 ..................................................................................................10
【知识点 1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
注：
①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
2．向量的表示法
(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如 等.
(2)几何表示法：以 A 为始点，B 为终点作有向线段 （注意始点一定要写在终点的前面）．如果用
一条有向线段 表示向量，通常我们就说向量 .
3．向量的有关概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
r
(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作0 ，它的方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
注：
①在画单位向量时，长度 1 可以根据需要任意设定.
②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
③非零向量 与 的关系： 是与 同方向的单位向量.
【题型 1 向量的概念与表示】
【例 1】（23-24 高一下·新疆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．身高是一个向量
B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量
C．有向线段由方向和长度两个要素确定
→ →
D．有向线段 和有向线段 的长度相等
【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.
【解答过程】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故 A 错；
B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故 B 错；
C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故 C 错；
→ →
D：有向线段 和有向线段 的长度相等，故 D 对.
故选：D.
【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度
【解题思路】利用向量的定义判断即可．
【解答过程】向量是既有大小，又有方向的量，
因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向，
所以重力是向量，
故选：C．
【变式 1-2】（2025 高一·全国·专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．
【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误；
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误；
对于（3），零向量的模为 0，不是正数，故（3）错误；
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误；
故选：A．
【变式 1-3】（23-24 高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度 速度 位移 功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的 x 轴 y 轴都是向量
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【解答过程】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量；
（2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）错误，零向量的模为 0，向量的模不一定为正数；
（4）错误，直角坐标平面上的 轴、 轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量.
故选：A.
【题型 2 零向量与单位向量】
【例 2】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小，没有方向
B．零向量是唯一没有方向的向量
C．零向量的长度为 0
D．任意两个单位向量方向相同
【解题思路】根据零向量和单位向量的概念求解.
【解答过程】零向量有大小，有方向，其长度为 0，方向不确定，任意两个单位向量长度相同，方向无法判
断.
故选：C.
【变式 2-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（ ）
①长度为 0 的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解题思路】根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【解答过程】①长度为 0 的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为 1 的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D.
【变式 2-2】（23-24 高一下·湖北鄂州·期中）下列关于零向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有大小 B．零向量没有方向
C．两个反方向向量之和为零向量 D．零向量与任何向量都共线
【解题思路】根据零向量的定义和性质即可判断.
【解答过程】根据零向量的概念可得零向量的长度为零，方向任意，故 A、B 错误；
两个反方向向量之和不一定为零向量，只有相反向量之和才是零向量，C 错误；
零向量与任意向量共线，D 正确．
故选：D.
【变式 2-3】（24-25 高一下·广东揭阳·阶段练习）下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量 与向量 的长度相等
C．对任意向量 ，| |是一个单位向量
D．零向量没有方向
【解题思路】利用单位向量的概念可判断 A 选项的正误；利用向量模的定义可判断 B 选项的正误；取 = 0
可判断 C 选项的正误；利用零向量的定义可判断 D 选项的正误.
【解答过程】对于 A 选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故 A 错；
对于 B 选项，向量 与向量 的模相等，B 对；
对于 C 选项，若 = 0，则| |无意义，C 错；
对于 D 选项，零向量的方向任意，D 错.
故选：B.
【题型 3 向量的几何表示与向量的模】
【例 3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，某人从点 A 出发，向西走了 200m 后到达 B 点，然后改变方
向，沿北偏西一定角度的某方向行走了200 3m到达 C 点，最后又改变方向，向东走了 200m 到达 D 点，发
现 D 点在 B 点的正北方．
(1)作出 、 、 （图中 1 个单位长度表示 100m）；
(2)求 的模．
【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形 是平行四边形，则可求得 的模.
【解答过程】（1）根据题意可知，B 点在坐标系中的坐标为( 2,0)，
又因为 D 点在 B 点的正北方，所以 ⊥ ，
又| | = 200 3，所以| | = 200 2，即 D、 C 两点在坐标系中的坐标为( 2,2 2)，( 4,2 2)；
即可作出 、 、 如下图所示.
（2）如图，作出向量 ，
由题意可知， // 且 = = 200，
所以四边形 是平行四边形，
则| | = | | = 200 3，
所以 的模为200 3m.
【变式 3-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格上，求：
(1)| |；
(2)| |；
(3)| |．
【解题思路】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.
【解答过程】（1）| | = 32 + 32 = 3 2；
（2）| | = 12 + 52 = 26；
（3）| | = 22 + 22 = 2 2.
【变式 3-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为 1，画出下列向量．
(1)| | = 3，点 A 在点 O 的正西方向；
(2)| | = 3 2，点 B 在点 O 的北偏西45°方向；
(3)根据（1）（2），作出向量 并求出| |的值．
【解题思路】（1）根据要求画出点 的位置即可；
（2）根据要求画出点 的位置即可；
（3）向量 由点 指向点 ，画出图形即可求出| |．
【解答过程】（1）因为| | = 3，点 A 在点 O 的正西方向，故向量 如图所示．
（2）因为| | = 3 2，点 B 在点 O 的北偏西45°方向，故向量 如图所示．
（3）向量 如图所示，| | = 3．
【变式 3-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知飞机从 地按北偏东30 方向飞行2000 到达 地，再从 地
按南偏东30 方向飞行2000 到达 地，再从 地按西南方向飞行1000 2 到达 地．画图表示向量 ,
, ，并指出向量 的模和方向．
【解题思路】根据方向角及飞行距离可作出向量 , , ，然后在三角形中求向量 的模和方向．
【解答过程】以 为原点，正东方向为 轴正方向，正北方向为 轴正方向建立直角坐标系．
由题意知 点在第一象限， 点在 x 轴正半轴上， 点在第四象限，
向量 , , 如图所示，
由已知可得，
△ 为正三角形，所以 = 2000 ．
又∠ = 45 ， = 1000 2 ，
所以 △ 为等腰直角三角形，
所以 = 1000 2 ，∠ = 45 ．
故向量 的模为1000 2 ，方向为东南方向．
【知识点 2 相等向量与共线向量】
1．向量的共线或平行
r
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定: 0 与任一向量共线.
注：
r
①零向量的方向是任意的，注意0 与 0 的含义与书写区别.
②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
同一直线上的线段的位置关系.
③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
2．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系
(1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等.
(2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点.
(3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等.
3．平行向量有关概念的三个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
【题型 4 相等向量与共线（平行）向量】
【例 4】（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，图中与 共线的向量有
（ ）
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【解题思路】根据图像，直接判断即可.
【解答过程】由图可知，根据正六边形的性质，
与 共线的有 ， ， ，共 3 个，
故选：C.
【变式 4-1】（23-24 高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，
则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．| | = | | B． 与 共线
C． 与 共线 D． =
【解题思路】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.
【解答过程】 ∵ 四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，
∴ ∠ + ∠ = 180 ，即 , , 三点共线，
∴ = , = ， // // // ，
即| | = | |， = ， 与 共线，ABD 正确；
对于 C：若 与 共线，则必有∠ = ∠ ，即∠ = 2∠ = 2∠ ，该条件不一定成立，
如∠ = 90 时，∠ ≠ 45 ，故 与 共线不一定成立，
故选：C.
【变式 4-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，四边形 和四边形 都是平行四边形．
(1)写出与向量 相等的向量；
(2)写出与向量 共线的向量．
【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解；
（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【解答过程】（1）∵四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ = ， = ，
∴ = .
故与向量 相等的向量是 ， .
（2）由共线向量的条件知，与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .
【变式 4-3】（2025 高一·全国·课后作业）如图所示，四边形 为正方形， 为平行四边形，
(1)与 模长相等的向量有多少个？
(2)写出与 相等的向量有哪些？
(3)与 共线的向量有哪些？
(4)请列出与 相等的向量．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可.
【解答过程】（1）因为四边形 为正方形， 为平行四边形，
所以 = = = = ，
所以与 模长相等的向量有 、 、 、 、 、 、 、 、 共9个.
（2）与 相等的向量有 、 .
（3）与 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， .
（4）因为 为平行四边形，所以 // 且 = ，
所以与 相等的向量为 .
【题型 5 利用向量关系研究几何图形的性质】
【例 5】（2024 高一·全国·专题练习）设 是单位向量， = ， = ，| | = 1，则四边形 是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解题思路】根据共线向量及菱形知识可得解.
【解答过程】因为 = ， = ，
所以 = = ，即 // ，
所以| | = | | = | | = 1，
所以四边形 是平行四边形，
因为| | = 1，即| | = | |，
所以四边形 是菱形.
故选：B.
【变式 5-1】（23-24 高一下·河南·期中）在四边形 中， 与 交于点 ，且 = ， = ，| |
= | |，则 （ ）
A． ⊥ B．四边形 是梯形
C．四边形 是菱形 D．四边形 是矩形
【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解.
【解答过程】由 = , = ,| | = | |，
知四边形 的对角线相互平分且相等，
所以四边形 为矩形.
故选：D.
【变式 5-2】（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形 中，M，N 分别是 ， 的中点，
//
又 = .求证： = .
//
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出 =
.
【解答过程】证明：由 = 可知 = 且 // ，
所以四边形 为平行四边形，
从而 = .
又 M，N 分别是 ， 的中点，于是 = .
所以 = 且 // .
所以四边形 是平行四边形.
//
从而 = .
【变式 5-3】（2025 高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径 = 6， 是半圆上的一点， 、 分别是 、
上的点，且 = 1， = 4， = 3.
（1）求证： ∥ ；
（2）求| |.
【解题思路】(1)本题首先可以根据勾股定理得出 是直角三角形，然后根据点 为半圆上一点得出
∠ = 90°，最后根据 // 即可得出结果；
(2)本题首先可以根据 // 18得出 ，然后根据 计算出 = 5 ，最后即可得出结
果。
【解答过程】(1)由题意知，在 中， = 5， = 3， = 4，
所以 2 + 2 = 2， 是直角三角形，∠ = 90°
因为点 为半圆上一点，所以∠ = 90°
所以 // ，故 ∥ ；
(2)因为 // ，所以 ， =
，
6
即 3 = 5，解得 =
18 18
5 ，即| | = 5 .
