专题 6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 利用向量关系研究几何图形的性质
→ → → →
1．（23-24 高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形 中 = ，| | = | |，且| | = | |，则对该
四边形形状的说法中错误的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
【解题思路】根据向量条件可判断四边形 为正方形，据此判断各选项.
【解答过程】四边形 中 = ，则其为平行四边形，
若同时满足| | = | |，即邻边相等，就是菱形，
最后| | = | |，即对角线相等，就满足了矩形的条件.
于是三项都满足的四边形为正方形，故 A，B，D 正确，C 错误.
故选：C.
2．（24-25 高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，则下列
结论中不一定成立的是（ ）
A．| | = | | B． 与 共线
C． 与 共线 D． =
【解题思路】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可.
【解答过程】 ∵ 四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，
∴ ∠ + ∠ = 180 ，即 , , 三点共线，
∴ = , = ， // // // ，
即| | = | |， = ， 与 共线，ABD 正确；
对于 C：若 与 共线，则必有∠ = ∠ ，即∠ = 2∠ = 2∠ ，该条件不一定成立，
如∠ = 90 时，∠ ≠ 45 ，故 与 共线不一定成立，
故选：C.
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形 中，M，N 分别是 ， 的中点，又 =
//
.求证： = .
//
【解题思路】根据相等向量的定义、中点的定义、平行四边形的判定定理和性质定理，可以证明出 =
.
【解答过程】证明：由 = 可知 = 且 // ，
所以四边形 为平行四边形，
从而 = .
又 M，N 分别是 ， 的中点，于是 = .
所以 = 且 // .
所以四边形 是平行四边形.
//
从而 = .
4．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 = ， =
．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
【解题思路】由 = ， = 可得 AC、BD 互相平分，利用平行四边形的判定定理即可证明.
【解答过程】因为四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 = ， = ．
所以四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 互相平分，
所以四边形 ABCD 是平行四边形．
即证.
题型 2 向量共线定理及其应用
1．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知 = +5 ， = 2 +8 ， = 2 +10 ，则共线的三点为
（ ）
A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D
A = 2 = 2 【解题思路】 选项，设 ，则 8 = 10 ，无解，不满足共线定理，A 错误；BC 选项，方法同
A，得到 BC 错误；D 选项，计算出 = 12 ，D 正确.
【解答过程】A 选项， = 2 +8 ， = 2 +10 ，
令 = 2 = 2 ，则 8 = 10 ，无解，不满足共线定理，A 错误；
B 选项， = +5 ， = 2 +8 ，
令 = 1 = 2 ，则 5 = 8 ，无解，不满足共线定理，B 错误；
C 选项， = + = +5 2 +8 = +13 ，
= + = +5 +2 +10 = 3 +15 ，
= 1 = 3 令 ，则 13 = 15 ，无解，
∴ ， 不满足共线定理，C 错误；
D 选项， = +5 = 1 = 12 2 + 10 2 ，故 , , 三点共线，D 正确．
故选：D.
2．（23-24 高一下·山东潍坊·期中）已知 ， 是平面内两个不共线向量， = +2 ， = 3 ，A，
B，C 三点共线，则 m＝（ ）
A 2 B 2． 3 ．3 C． 6 D．6
【解题思路】利用共线向量定理列式计算即得.
【解答过程】由 A，B，C 三点共线，得 ， 共线， 设 = ，而 = +2 ， = 3 ，
则 +2 = (3 )，又 ， 是平面内两个不共线向量，因此 = 3 ， = 2，
所以 = 6.
故选：C.
3．（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知 1、 2是两个不平行的向量，向量 = 3 1 2 2， = 2 1 +4
2， = 2 1 4 2，
(1)求证： // ；
(2)判断 、 、 三点的位置关系.
【解题思路】（1）求出 ，找到使 = 成立的 即可证明；
（2）根据 // 可知 、 、 三点共线.
【解答过程】（1）证明： = + = 1 +2 2 =
1
2 ，
因此 // ，
（2）由（1）知 // ，又 , 有公共点 C，
故 、 、 三点共线.
4．（23-24 高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在 中，E，H 分别是 AD，BC 的中点， = 2 ，G 为
DF 与 BE 的交点．
(1)记向量 = ， = ，试以向量 ， 为基底表示 ， ；
(2)若 = + ，求 m，n 的值；
(3)求证：A，G，H 三点共线．
【解题思路】（1）根据向量的减法法则结合题意求解；
（2）对 = + 结合（1）化简用 ， 表示，而 = + ，然后列方程组可求得结果；
（3）设 = ， = ，由 = + ， = + ，用用 ， 表示，列方程组求出 , ，从
1
而可得 = 2 ，进而证得结论.
【解答过程】（1）因为在 中，E，H 分别是 AD，BC 的中点， = 2 ，
1 1
所以 = = 2 = 2 ，
= = 23 =
2
3 ．
（2）由（1 1 2）知 = 2 ， = 3 ，
所以 = + = 1 + 2 = 2 + 1 ，
2 3 3 2
2 = 1 = 5
因为 = + ，所以 31 ，解得 2 ； = 1 = 9
2 4
1
（3） = + = + 2 ，
设 = ， = ，则
= + = + 1 = 1 (1 ) + 2 ，2
又 = + = + 2 = 2 3 + (1 ) ，3
2 = 1 = 1
所以 3 1 ，解得 2 ，所以 =
1 + 1 ，
1 = = 3 2 4
2 4
∴ = 12 +
1 =
1
2 ，2
∴ ∥ ，即 A，G，H 三点共线．
题型 3 向量线性运算的几何应用
1．（23-24 高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形 中， = 2 , 和 相交于点 G，且 F 为 上
1
一点（不包括端点），若 = + 3，则 + 的最小值为（ ）
A．5 + 3 3 B．6 + 2 5 C．8 + 5 D．15
5
【解题思路】先确定 的位置，接着由 = + 进行转化，利用共线定理得3 + = 1，再利用基本
不等式“1”的妙用即可求解.
【解答过程】由题可设 = , ∈ (0,1)，
2
则由题意得 = = + = + 3 = +
2
3 ，
因为 、 、 2三点共线，故 + 3 = 1 =
3
5，
所以 = 35 ，
5
所以 = + = 3 + ，
又 、 5、 三点共线，所以3 + = 1，
3 1 3 1 5 3 5 3 5
所以 + = + + = 6 + + 3 ≥ 6 + 2 × = 6 + 2 5， 3 3
3 5
当且仅当 = 3 ，即 =
5 = 5 1时等号成立，
3 4
3 1
故 + 的最小值为6 + 2 5.
故选：B.
2．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知 为 △ 内一点，且满足 + +( 1) = 0，若 △ 的
面积与 △ 1的面积的比值为4，则 的值为（ ）
A 3 4 1．4 B．3 C．2 D．2
【解题思路】如图，根据平面向量的线性运算可得2 = ，则 在线段 上，且 = ，设 = 1，结
△ 1
合 = 和 △ = △ 计算即可求解.△
【解答过程】由 + +( 1) = 0，得 ( + ) = = ，
如图， , 分别是 , 的中点，
则2 = ，
所以 在线段 上，且2 = = 2 ，
得 = ，设 = 1，则 = ，所以 = 1，
△ 1 1 1
因为 = = ， △ = △ = 2 △ ， △ = 2 △ ，△
= △ 1 1 4所以 △ △ ，则 = = ，解得 = .△ 4 3
故选：B.
π
3．（23-24 高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形 中，| | = 2，∠ = 3， =
1
2 ， 为
的中点， = ( ≠ 0).
(1) 3 1若 = 4 + 4 ，试确定点 在线段 上的位置；
(2)若| | = ，当 为何值时，| |最小
【解题思路】（1）结合图形，先证得四边形 是平行四边形，利用向量的线性运算即可判断点 在线段
上的位置；
2
（2）结合（1）中的结论，得到 关于 的表达式，进而利用向量数量积运算求模得到 关于 的二次表
达式，从而可求得| |最小以及相应 的值.
【解答过程】（1）过 作 // 交 于 ，如图，
因为 = 12 ，所以 // , = 2 ，
则四边形 是平行四边形，故 = 2 = 2 ，即 是 的中点，
所以 = 12 =
1 = 12 2
1 1 1
2 = 4 2 ，
因为 = ，所以 = (1 ) ，
所以 = + + = (1 ) + 12 +
1
4
1 1 3
2 = +2 4
3 1
又因为 = 4 + 4 ，
1
所以2 =
1 1
4，解得 = 4，
所以 在线段 上靠近 点的四等分点处；
（2）因为 = ( ≠ 0)，所以 = + = + = (1 ) ，
所以 = + + = (1 ) + 12 +
1 1 1
4 2 = (2 ) +
3
4 ，
π 2
因为 = 2 cos3 = ，
2 = 2， = 4
2 1 2 2
所以 = 2 + 9 + 3 14 2 =
1 + 3 + 27
2 2 2 4 16
，
1 2
所以当 =
3 1 3
4，即 = 2 + 4 时，
27
取得最小值
2 16
.
3 3 1 3
所以| |的最小值为 ，此时 = 2 +4 4 .
4．（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，点 D 是 △ 中 BC 边的中点， = ， = .
(1)试用 ， 表示 ；
(2)若点 G 是 △ 的重心，能否用 ， 表示 ？
(3)若点 G 是 △ 的重心，求 + + .
【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【解答过程】（1）因为点 D 是 △ 中 BC 边的中点，且 = ， = ，
所以 = + = + 1 12 = + 2 =
1 1 1 1
2 + 2 = 2 + 2 ；
（2）因为点 G 是 △ 的重心，
2 2 2 1 2 1 2 1
所以 = 3 = 3 + = 3 + = 3 + = 3 + 2 2 2
= 1 + 13 3 .
（3）因为点 G 是 △ 的重心且 D 是 BC 边的中点，所以 + = 2 ，
2
又 = 3 = 2 ，所以 + = = ，所以 + + = 0.
题型 4 向量的夹角（夹角的余弦值）问题
1．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知两个单位向量 ， 满足|2 + | = 7，则 ， 的夹角为（ ）
π π π
A．6 B
2π
．4 C．3 D． 3
1
【解题思路】首先同平方求出 = 2，再利用向量夹角公式即可.
【解答过程】|2 + | = 7，两边同平方有4 2 2+4 + = 7，
即4 + 4 +1 = 7，解得 = 1 cos = = 12，则 | || | 2，
又因为，所以.
故选：C.
2．（23-24 高一下·湖北·期末）已知单位向量 ， 互相垂直，若存在实数 ，使得 + (1 ) 与(1 ) + 的
夹角为60 ，则 = （ ）
A 1± 2 B 1 ± 2 C 1± 3． ． ． D． 1 ±2 2 3
【解题思路】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.
2
【解答过程】因为 + (1 ) (1 ) + = (1 ) 2 + (1 )2 + 1 + (1 )
= 1 + 1 = 2 2 ，
| + (1 ) | = + (1 ) 2 = 1 + (1 )2，|(1 ) + | = (1 ) + 2 = 1 + (1 )2，
又 + (1 ) 与(1 ) + 的夹角为60 ，
所以2 2 = 1 + (1 )2 cos60 ，即4 4 = 1 + (1 )2，
解得： = 1 ± 3.
故选：D.
3．（23-24 高一下·江苏南京·期中）已知向量 与 满足| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为120°.
(1)当 为何值时， 3 + 2 ⊥ ；
(2)求向量 +3 与向量 的夹角的余弦值.
【解题思路】（1）根据向量垂直得数量积为 0，即可根据数量积的运算律求解，
（2）根据模长公式求解长度，即可由夹角公式求解.
1
【解答过程】（1） ∵ 3 + 2 ⊥ ， = 2 × 1 × = 1,
2
2
∴ 3 + 2 = 0， ∴ 3 2 + (2 3) 2 = 0，
∴ 12 1(2 3) 2 = 0，解得 = 10，
∴ = 1当 10时， 3 + 2 ⊥ .
（2） + 3 = | |2 +3 = 4 3 = 1，
| + 3 | = 2 + 9 2 + 6 = 4 + 9 6 = 7，
→ → → +3 1
∴ cos < +3 , >= 7| +3 | | | = = 7×2 .14
4．（23-24 高一下·上海宝山·阶段练习）已知| | = 2,| | = 3，且 与 的夹角为45°，
(1)求 2 + 与 3 +2 的夹角；
(2)若向量 + 与 + 的夹角是锐角，求实数 k 的取值范围.
【解题思路】（1）先求出 ，再由向量的夹角公式求解即可；
（2）由题意得 + + > 0，且向量 + 与 + 不共线，从而可求出实数 k 的取值范围.
【解答过程】（1）设2 + 与 3 +2 的夹角为 θ，
因为| | = 2,| | = 3，且 与 的夹角为45°，
2 2
所以 = | || |cos45° = 2 × 3 × 2 = 3， 2 = | |2 = 2, = | | = 9，2
所以cos = (2 + ) ( 3 +2 )|2 + || 3 +2 |
2
6 2 + + 2
=
4 2 + 4 + 2 × 9 2 12 + 4 2
9 3
= = = 3 58
29×3 2 58 ，58
因为 ∈ [0,π]，所以 = arccos3 58 ；58
（2）因为向量 + 与 + 的夹角是锐角，
所以 + + > 0，且向量 + 与 + 不共线，
2
由 + + > 0，得 2 + + 2 + > 0，
所以2 + 3 + 3 2 +9 > 0，即3 2 +11 + 3 > 0，
解得 < 11 85或 > 11+ 85，
6 6
当 + 与 + 共线时，设 + = ( + ) = + ，
= 1 = 1 = 1因为 与 不共线，所以 = ，解得 = 1 或 = 1 ，
当 = 1时 = 0，当 = 1时， = π，
综上， ∈ ∞, 11 85 ∪ 11+ 85 ,1 ∪ (1, + ∞).
6 6
题型 5 向量共线、垂直的坐标表示
1．（23-24 高一下·福建宁德·期中）已知平面向量 = (1, )， = ( ,2)， = (2,4)，若 // ， ⊥ ，则 + =
（ ）
A．6 B． 6 C．2 D． 2
【解题思路】由向量平行和垂直的坐标表示计算即可.
【解答过程】因为 // ，
所以1 × 4 2 = 0 = 2，
又 ⊥ ，
所以2 + 8 = 0 = 4，
所以 + = 2，
故选：D.
→ → → → →
2．（2024·四川宜宾·二模）已知向量 = (1,2), = (3,1)，向量 满足 ⊥ ， // + ，则 = （ ）
A．( 2, 1) B．(2, 1) C．( 2,1) D．(2,1)
【解题思路】设出 = ( , )，根据题意利用向量的坐标运算列式运算求解.
【解答过程】设 = ( , )，则 + = ( + 3, + 1)，
由 ⊥ ，得 + 2 = 0，
又 // + ，得 + 1 2( + 3) = 0，即 = 2 + 5，
+ 2 = 0 = 2
联立 = 2 + 5 ，解得 = 1 .
∴ = ( 2,1).
故选：C.
3．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量 = (1, 3), = (2, ), = ( 3, + 5).
(1)若 ⊥ + ，求| |；
(2)若 + // ，求 ，并求出向量 与 的夹角.
【解题思路】（1）由 ⊥ + 得 + = 0，解出 的值，得到 ，进而得到| |；
（2）由 + // ，解出 的值，得到 ，由公式cos , = | |，再结合夹角的范围得到出向量 与 的夹角.| |
【解答过程】（1） + = (3, 3 + )，因为 ⊥ + ，
所以 + = 1 × 3 + ( 3) × ( 3 + ) = 12 3 = 0，
解得 = 4，此时 = (2,4)，
所以| | = 22 + 42 = 2 5.
（2） + = (3, 3 + )，因为 + // ，
所以3( + 5) = 3( 3 + )，解得 = 1，
此时 = (1, 3), = (2, 1)，
= 1 × 2 + ( 3) × ( 1) = 5，| | = 12 + ( 3)2 = 10，| | = 22 + ( 1)2 = 5，
所以cos , = 5 2| || | = =10× 5 ，2
又因为 , ∈ [0,π]，
π
所以向量 与 的夹角 , = 4.
4．（23-24 高一下·甘肃·期末）已知向量 = (1,2)， = (2, ).
(1)若 ⊥ ，求| |；
(2)若向量 = ( 3, 2)， ∥ + ，求 与 夹角的余弦值.
【解题思路】（1）用向量垂直的坐标结论求出 ，再用模公式求解即可；
（2）用向量平行的坐标结论求出 ，再用夹角的坐标公式求解即可；
【解答过程】（1）因为 = (1,2)， = (2, )，所以 = ( 1,2 ).
由 ⊥ ，可得 = 0，
即 1 × 1 + 2(2 ) = 0，解得 =
3
2，
所以 = 2, 3 ，故| | = 52.2
（2）依题意得 + = ( 1, 2).
因为 ∥ + ，所以 2 + 2 = 0
解得 = 0，则 = (2,0).
= 2，| | = 5，| | = 2，
所以cos , = = 5，| || | 5
所以 与 夹角的余弦值为 5.
5
题型 6 向量坐标运算的几何应用
1．（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的
勒洛三角形中，已知 = 2，点 在弧 AC 上，且∠ = 30°，则 = （ ）
A．6 4 3 B．2 3 4 C．2 6 4 2 D．4 3 6
【解题思路】以 为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积.
【解答过程】以 为原点， 为 轴，点 在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，
则有 (0,0)， (2,0)， (1, 3), 为弧 上的点且∠ = 30 ，则 ( 3,1)，
= (1 3, 3 1), = (2 3, 1)，
2
= (1 3) × (2 3) + ( 3 1) × ( 1) = 3 × (1 3) = 3 × (4 2 3) = 6 4 3.
故选：A.
2．（23-24 高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，
是中华民族传统文化的瑰宝．如图 1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图 2，这是一个正八边形，其中
= 4， 是这个八边形上的任意一点，则 的取值范围是（ ）
A．[ 16 8 2,16 + 8 2] B．[ 8 2,16 + 8 2]
C．[ 16 8 2,8 2] D．[ 8 2,8 2]
【解题思路】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，设点 ( , )，可得
2 2 ≤ ≤ 4 + 2 2，利用平面向量数量积的坐标运算可求得 的取值范围.
6×180
【解答过程】正八边形的每个内角为 8 = 135
，
延长 交直线 于点 ，延长 交直线 于点 ，
∠ = ∠ = 45 ，则 △ 为等腰直角三角形，
且 = = cos45 = 2 2，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 (0,0)、 (4,0)、 ( 2 2,0)、 (4 + 2 2,0)，
设点 ( , )，则 2 2 ≤ ≤ 4 + 2 2， = ( , )， = (4,0)，
所以， = 4 ∈ [ 8 2,16 + 8 2]，
故选：B.
3．（24-25 高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形 中，已知 // ，∠ = 90 ， = 6，
= = 3，对角线 交 于点 ，点 在 上，且 ⊥ ．
(1)求 的值；
(2)若 为线段 上任意一点，求 的取值范围．
【解题思路】（1）以 为原点， 、 分别为 、 轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点 、 的
坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得 的值；
（2）设 = ，其中 ∈ [0,1]，求出向量 、 的坐标，利用二次函数的基本性质可求得 的
取值范围.
【解答过程】（1）解：以 为原点， 、 分别为 、 轴建立平面直角坐标系，
则 (0,0)、 (6,0)、 (3,3)、 (0,3)，
因为 // ， = 6， = 3，
所以 △ ∽△ ，所以 =
= = 2，所以点 (2,2)，
设 ( ,0)，则 = ( 2, 2)， = ( 6,3)，
因为 ⊥ ，所以 = 6( 2) 6 = 6 6 = 0，解得 = 1，
所以 (1,0)， = (1,0)，则 = 6．
（2）解：由（1）知， = (3,3)，设 = = (3,3) = (3 ,3 )，其中0 ≤ ≤ 1，
则 = = (3 1,3 )，
2
所以 = 3 (3 1) +9 2 = 18 2 3 = 18 1
1
12 8，
因为 ∈ [0,1]，故当 = 1时， 取得最大值15，
= 1 1当 12时， 取得最小值 8，
故 1的取值范围为 ,15 ．
8
4．（23-24 高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 的坐标分别是( 1,3)、
(3,4)、(2,2).
(1)求顶点 的坐标；
(2)在线段 | |上是否存在一点 满足 ⊥ ，若存在，求 ；若不存在，请说明理由.
| |
【解题思路】（1）利用 = 和平面向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解；
（2）设 = (0 < < 1)，根据平面向量线性运算的坐标表示可得 = (4 1, 2)，结合向量的垂直
表示建立方程，解之即可求解.
【解答过程】（1）设 ( , )，又 ( 1,3)、 (3,4)、 (2,2)，
∴ = (2 ,2 )， = (4,1).
又四边形 是平行四边形，所以 = ，
∴ (2 ,2 ) = (4,1)，
2 = 4, = 2,
即 2 = 1, 解得 = 1,
∴ 顶点 A 的坐标为( 2,1).
（2）存在.
由（1）可知， = (5,3)， = (4,1)， = ( 1, 2)，
设 = (0 < < 1)，则 = + = + = (4 1, 2).
又 ⊥ ， ∴ 5(4 1) + 3( 2) = 0，
11 | | 11
解得， = 23，即 =| | 23.
题型 7 用向量解决夹角、线段的长度问题
1．（2024·四川南充·三模）在Rt △ 中，∠ = 90°， = 2， = 3， = 2 ， = 12 ，CN 与
BM 交于点 P，则cos∠ 的值为（ ）
A． 5 B． 2 5
5 5
C． 5 D．2 5
5 5
【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则 (0,2), (0,1), (3,0), (2,0),
得 = ( 3,1), = ( 2,2),
cos∠ =
8
所以 2 5| | | | = =10 2 2 ，5
故选：D.
2．（23-24 高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形 ABCD 中， // ， ⊥ ，| | = 2，| | = 2| |.若点
P 在线段 BC 上，则| +3 |的最小值是（ ）
A 7 9．2 B．4 C．2 D．6
【解题思路】以 B 为原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【解答过程】如图示，以 B 为原点， 为 x 轴正方向， 为 y 轴正方向建立平面直角坐标系.
则 (0,0), (0,2), (2 ,0), ( ,2), ( ,0)(0 ≤ ≤ 2 )，
所以 = (2 ,0)， = ( ,2).
所以 +3 = (5 4 ,6)，
所以| +3 | = (5 4 )2 + 62 ≥ 6（当且仅当5 = 4 时等号成立）.
所以| +3 |的最小值是 6.
故选：D.
3．（23-24 高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°, , 边上的
两条中线 AM，BN 相交于点 .
(1)求 AM 的长度；
(2)求∠MPB 的正弦值.
【解题思路】（1）根据 AM 是中线，由 = 12 + 求解；
（2）易知∠ 为向量 , 的夹角 , ，然后利用平面向量的夹角公式求解.
【解答过程】（1）解：因为 AM 是中线，
所以 = 12 + ，
2 21
2
1 39
所以 = 4 + 2 + = 4 4 + 2 2 5
1 + 25 =
2 4
，
39
则| | = ；2
（2）由图象知：∠ 为向量 , 的夹角 , ，
因为 = = 12 ，
2 2 2 2
所以 = = 1 = + 12 4 ，
= 4 2 5 1 + 25 21 212 4 = 4 ，则| | = ，2
2 2
又 = 1 1 = 12 + 2 +
1 1 ，
2 2 2
= 1 4 + 12 2 5
1 1 25 = 3，
2 2 2
3 4
所以cos∠ = cos , = | | | | = 39 21 = ，2 2 91
因为∠ ∈ (0,π)，
2
所以sin∠ = 1 4 = 5 273.
91 91
π
4．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图，在 △ 中， = 3, = 2,∠ = 3, 是 边的中点， ⊥ ,
与 交于点 .
(1)求 和 的长度；
(2)求cos∠ .
【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得 的长；利用向量法即可求得 的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得cos∠ 的值.
π π
【解答过程】（1） ∵ 是高， ∴ ∠ = 2，在 Rt △ 中， = 2,∠ = 3，
π
所以 = sin∠ = 2sin3 = 3.
∵ 是中线， ∴ = 12 + ，
1 22 1 2 2
∴ = 2 + = 4 + 2 +
= 1 2 194 3 + 2 × 3 × 2cos
π + 22 = 4 ， ∴ =
19
3 2
19
∴ = 3, = 2
π
（2） ∵ = cos3 = 1 =
1
3 , ∴ =
1
3 ，
1
∴ = = 3
1 1
∴ = 2 + 3
1 2 2 1 2 1 2 π 1
= + = 22
3
2 3 3 2 + 3 × 3 × 2cos
2
3 3 × 3 = 2
3
∴ cos∠ = cos = , = 2 = 57| . | | | 19 × 3 19
2
另解：过 D 作 // 交 于 ，
∵ 是 的中点， ∴ 是 的中点，
∴ = = = 1, 是 △ 的中位线， 是 △ 的中位线，
∴ = 12 =
1
4 =
3, = 1 19
4 2
= ，
4
3
cos∠ = cos∠ = = 4 57 19 = .19
4
题型 8 向量与几何最值问题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为该正六边形的中心，圆
的半径为 2，圆 的直径 ∥ ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2
【解题思路】根据 = 4，结合正六边形的性质求解| |的范围即可.
【解答过程】如图所示，由正六边形的几何性质可知，△ ，△ ，△ ，△ ，△ ，△
均是边长为 4 的等边三角形，
当点 位于正六边形 的顶点时，| |取最大值 4，
π
当点 为正六边形各边的中点时，| |取最小值，即| |min = 4sin3 = 2 3，
所以| | ∈ [2 3,4]．
2
所以 = + + = + = 4 ∈ [8,12]，
即 的最小值为 8．
故选：D.
2．（23-24 高一下·北京·期中）如图，边长为 4 的正方形中心与单位圆圆心 重合，M，N 分别在圆周上，
正方形的四条边上运动，则| + |的取值范围是（ ）
A．[1,2 2] B．[1,2 2 +1] C．[ 2,2 2] D．[ 2,2 2 +1]
【解题思路】设 的反向延长线与单位圆交于点 ，得出| + | = | |，求出 到圆心的距离的最值后
根据圆的性质可得．
【解答过程】如图， 的反向延长线与单位圆交于点 ，则 = ，
+ = = ，
所以| + | = | |，
又由题意| |的最大值是2 2，最小值是 2，而 在单位圆上，
因此| |的最大值是2 2 +1，最小值是2 1 = 1，即所求值域是[1,2 2 +1]．
故选：B．
3．（23-24 高一下·辽宁朝阳·期中）在 △ 中， = 2 = 3 ∠ = 2π， ， 3 ， 为 的三等分点（靠近
点）．
(1)求 的值；
(2)若点 满足 = ，求 的最小值，并求此时的 ．
【解题思路】（1）将 化为 和 表示，利用 和 的长度和夹角计算可得结果；
（2）用 、 表示 ，求出 关于 的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.
【解答过程】（1）因为 为 1 1的三等分点（靠近 点），所以 = 3 = 3( )，
所以 = + = + 1 1 = 1 + 23 3 3 3 ，
所以 = (1 23 + 3 ) ( ) =
1
3| |
2 + 23| |
2 13
= 1 2 13 × 9 + 3 × 4 3 × 3 × 2 × cos
2π
3 =
2
3.
（2）因为 = ，所以 = ，
因为 = + = + = +( 1) ，
所以 = + ( 1) = + ( 1)| |2
2π
= | || |cos 3 + ( 1)| |
2
2
= 3 + 4 ( 1) = 4 2 7 = 4( 7 ) 498 16，
所以当 = 78时， 取得最小值
49
16.
4．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形
边长为 2.
(1)设 = + ，求 的值；
(2)若点 在 边上运动（包括端点），则求| + 2 + |的最大值.
【解题思路】（1）根据向量的加减法运算，可得答案；
3
（2）建立平面直角坐标系，求得相关各点坐标，表示出 P 点坐标( , ),0 ≤ ≤ 3，进而表示出 +2 3
+ = ( 3, 3 + 11)，求得其模的表达式，结合二次函数的性质，求得答案.3
【解答过程】（1）由题意得：两个正六边形全等， = ,
则 = + = + = + = 2 ,
故由 = + ，可得 = 1, = 2, = 3 ；
（2）如图，以 O 为坐标原点，FC 为 x 轴，OI 为 y 轴建立平面直角坐标系，
则 ( 3, 3), (2 3, 2), (2 3,0), ( 3,1),则 = ( 3,3), = ( 3,3) ,
3 3
由于直线 OD 的方程为 = ，故设 P 点坐标为( , ),0 ≤ ≤ ，
3 3 3
= ( 2 3, 3则 + 2) ，3
3
所以 +2 + = ( 3, + 11)，3
2
则| + 2 + | = ( 3)2 + ( 3 + 11) = 4 2 + 16 3 + 124，
3 3 3
0 ≤ ≤ 3 =
4 2 + 16 3由于 ，此时函数 3 + 124为增函数，3
故当 = = 43 2 + 16 3时， 3 + 124取到最大值为 144，3
所以| + 2 + |的最大值为 12.
题型 9 正、余弦定理判定三角形形状
1．（23-24 高一下·天津· sin 阶段练习）在 △ 中，已知 2+ 2 2 =
sin
2+ 2 2，则 △ 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可.
△ sin = sin sin sin 【解答过程】在 中，由 2+ 2 2 2+ 2 2及余弦定理，得2 cos = 2 cos ，
整理得sin cos = sin cos ，即sin2 = sin2 ，
而0 < 2 < 2π,0 < 2 < 2π,0 < 2 + 2 < 2π，因此2 = 2 或2 + 2 = π，
π
所以 = 或 + = 2，即 △ 为等腰三角形或直角三角.
故选：C.
2 24-25 · · △ sin = sin sin ．（ 高二上 广东潮州 开学考试）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 3 = 4
( 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当 = 5时， △ 是直角三角形 B．当 = 3时， △ 是锐角三角形
C．当 = 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 1时， △ 是钝角三角形
【解题思路】由正弦定理化简已知可得 : : = :3:4，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三
边等知识逐一分析各个选项即可得解．
A = 5 sin = sin = sin 【解答过程】对于选项 ，当 时， 5 3 4 ，根据正弦定理不妨设 = 5 ， = 3 ， = 4 ，
显然 △ 是直角三角形，故命题正确；
对于选项B = 3 sin sin ，当 时， 3 = 3 =
sin
4 ，根据正弦定理不妨设 = 3 ， = 3 ， = 4 ，
显然 △ 是等腰三角形， 2 + 2 2 = 9 2 +9 2 16 2 = 2 2 > 0，
说明∠ 为锐角，故 △ 是锐角三角形，故命题正确；
对于选项C sin ，当 = 2时， 2 =
sin
3 =
sin
4 ，根据正弦定理不妨设 = 2 ， = 3 ， = 4 ，
可得 2 + 2 2 = 4 2 +9 2 16 2 = 3 2 < 0，说明∠ 为钝角，故 △ 是钝角三角形，故命题正确；
sin
对于选项D，当 = 1时， 1 =
sin = sin 3 4 ，根据正弦定理不妨设 = 1 ， = 3 ， = 4 ，
此时 + = ，不等构成三角形，故命题错误.
故选：D.
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形 ABC 的形状：
(1)sin + sin( ) = sin2 ；
(2)tan
2
tan = 2．
【解题思路】（1）利用诱导公式及和差角的正弦公式化简即可得解.
（2）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦及诱导公式求解即得.
【解答过程】（1）在 △ 中， = π ( + )，由sin + sin( ) = sin2 ，
得sin( + ) + sin( ) = sin2 ，整理得2sin cos = 2sin cos ，
π
则sin = sin 或cos = 0，而0 < < π,0 < < π，于是 = 或 = 2，
所以 △ 是等腰三角形或直角三角形.
sin
2 △ tan =
2 tan sin2 sin2
（ ）在 中，由tan 2及正弦定理得
cos
tan = sin2 ，即sin = sin2 ，
cos
而sin > 0，因此sin cos = sin cos ，即sin2 = sin2 ，
由0 < < π,0 < < π，得0 < 2 < 2π,0 < 2 < 2π，
π
因此2 = 2 或2 + 2 = π，即 = 或 + = 2，
所以 △ 是等腰三角形或直角三角形.
4 sin sin ．（23-24 高一下·浙江·期中）在 △ 中，设 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin = + .
(1)求角 B 的值；
(2)若 : = tan :tan ，判断 △ 的形状；
(3)若 △ 为锐角三角形，且 = 2，求 △ 的面积 S 的取值范围.
【解题思路】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和
余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示 边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围.
sin sin
【解答过程】（1）∵ sin = + ，
∴ 由正弦定理得 = + ，
即( )( + ) = ( )，
即 2 2 = 2，
即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得cos = 2 = 2，
∵0° < < 180°，
∴ = 60°；
（2）∵ : = tan :tan
∴sin sin cos sin = cos sin ，
∴cos = cos ，
∴ = ，
∴ △ 为等边三角形.
（3）因为 + = 120 , = 2,
, = sin = 2sin (120
) 3cos +sin 3
由正弦定理得 sin sin = = +1sin tan
1 3
所以 = 2 sin = sin 60
= 3
2 + 1tan
因为 △ 为锐角三角形,则30 < < 90 ,
从而tan ∈ 3 , + ∞ ,
3
所以 ∈ 3 ,2 3 .
2
题型 10 三角形面积的最值或范围问题
1．（23-24 高二上·安徽亳州·期中）在 △ 中，设角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且( + )sin =
( )(sin + sin )， = 2 3，则 △ 面积的最大值为（ ）
A． 3 B．2 3 C．2 D．4
【解题思路】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出cos ，从而求出sin ，由重要不等式求出 的最大
值，最后由面积公式计算可得.
【解答过程】因为( + )sin = ( )(sin + sin )，
由正弦定理可得( + ) = ( )( + )，即 2 2 = 2 + ，即 2 + 2 2 = ，
2 2 2
所以cos = + = 12 2，又 ∈ (0,π)
3
，则sin = ，
2
又因为 2 + 2 2 = ， = 2 3，即 2 + 2 = 12 ≥ 2 ，
所以 ≤ 4，当且仅当 = = 2时取得等号，
所以 △ =
1
2 sin ≤ 3，
即 △ 面积的最大值为 3，当且仅当 = = 2时取得.
故选：A．
2 2 ．（23-24 高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角 △ 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，已知 6 =
cos
cos 且 = 6，则锐角 △ 面积的取值范围为（ ）
A．(0,4 3) B．(4 3,9 3] C．(6 3,9 3] D．(0,6 3]
【解题思路】首先利用正弦定理求出角 ，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等
变换转化为三角函数求范围即可.
∵ 2 = cos 【解答过程】 6 cos 且 = 6， ∴
2 = cos cos ,
2sin sin = cos 根据正弦定理得， sin cos ,
即(2sin sin )cos = sin cos ，
整理得2sin cos = sin cos + sin cos = sin ，
π
∵ ∈ 0, π ， ∴ sin > 0， ∴ 2cos = 1，解得cos =
1
2， = 3，2
6
∵ sin = sin = sin = 2 = 3 = 4 3，2
∴ = 4 3sin ， = 4 3sin ,
∴ △ 1的面积 = 2 sin = 12 3sin sin = 12 3sin sin
2π
3
∴ = 12 3sin 3 cos + 1 sin
2 2
3 1
= 12 3 2 cos sin +
2
2 sin
3 1 cos2
= 6 3 2 sin2 + 2
3 1 1
= 6 3 2 sin2 2 cos2 + 2
π
= 6 3sin 2 6 + 3 3
π π
∵ △ 2π为锐角三角形， ∴ 0 < < 2， ∴ 0 < = 3 < 2，
π π π
∴ π 5π6 < < 2， ∴ 2 6 ∈ , ，6 6
∴ sin 2 π ∈ 1 ,1 ，
6 2
∴ = 6 3sin 2 π +3 3 ∈ (6 3,9 3].
6
故选：C.
3．（23-24 + 高一下·江苏无锡·期中）从① sin 2 = sin ；②sin
2 + sin2 sin2 sin sin = 0；③ cos
(2 )cos = 0， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答．
在 △ 中，三边 , , 分别是角 , , 的对边， 若______.
(1)求 C；
(2)若 = 2，求 △ 的面积的最大值．
1
【解题思路】（1）条件①，化简得到cos2 = sin = 2sin2cos2，求得sin2 = 2，进而求得 的值；
选条件②，由正弦定理得到 2 + 2 2 = 1，结合余弦定理，求得cos = 2，即可求解；
选条件③：化简得到sin = 2sin cos ，求得cos = 12，即可求解；
（2）由（1）和由余弦定理得4 = 2 + 2 ≥ 2 = ，得到 ≤ 4，结合面积公式，即可求解.
+
【解答过程】（1）解：若选条件①，由 sin 2 = sin ，
π
可得sin sin( 2 2) = sin sin ，即sin cos
2 = sin sin ，
因为 ∈ (0,π)，所以sin > 0，可得cos2 = sin = 2sin2cos2，
π π π
因为2 ∈ (0,2)
1
，可得cos2 > 0，所以sin2 = 2，所以2 = 6，可得 = 3.
若选条件②，由sin2 + sin2 sin2 sin sin = 0，
根据正弦定理得 2 + 2 2 = 0，即 2 + 2 2 = ，
2 2 2
由余弦定理得cos = + 12 = 2，
π
因为 ∈ (0,π)，所以 = 3.
若选条件③：由 cos (2 )cos = 0，可得sin cos (2sin sin )cos = 0，
即sin cos 2sin cos + sin cos = 0，
因为sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，可得sin = 2sin cos ，
1
又因为 ∈ (0,π)，所以sin > 0，所以cos = 2，
π
因为 ∈ (0,π)，所以 = 3.
π
（2）解：由（1）知： = 3且 = 2，
又由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
π
即4 = 2 + 2 2 cos3 =
2 + 2 ≥ 2 = ，
当且仅当 = 时，等号成立，所以 ≤ 4，
π
则 1△ = 2 sin ≤
1
2 × 4 × sin3 = 3，所以 △ 面积的最大值为 3.
4．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形 中， ⊥ , = = 2,∠ = ,120 ≤ <
180 .
(1)若 = 120 , = 6，求∠ 的大小；
(2)若2 sin 2 = 3 ，求四边形 面积的最大值.
【解题思路】（1）在 △ 中，先求出 ，再在 △ 利用正弦定理求出sin∠ ，利用大角对大边进行
取舍；
（2）把四边形 的面积用题干中给出的变量 进行表示，求解最值即可.
【解答过程】（1）解：由已知∠ = 120 , = = 2，得∠ = 30 ，
所以 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 4 8cos120 = 12，所以 = 2 3.
在 △ 中，因为 ⊥ ,∠ = 30 ，所以∠ = 60 ，又 = 6，
= sin∠ = sin∠ = 2 3sin60
1
由正弦定理得sin∠ sin∠ ，得 = ，6 2
因为 = 6 > = 2 3，所以∠ > ∠ ，所以0 < ∠ < 60 ，所以∠ = 30 .
（2）在 △ 中，由已知 = = 2,∠ = ,120 ≤ < 180 ，
1
所以 △ = 2 sin∠ =
1
2 × 2 × 2 × sin = 2sin ，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 22 + 22 2 × 2 × 2cos = 8 8cos ，
在 △ 中，因为∠ = 90 ∠ = 90 180 = 2 2，
又2 sin 2 = 3 ，所以 =
3
2sin ,
2
1
所以 △ = 2 sin∠ =
1 3 3 22 2sin sin2 = = 2 24 3 3cos ，2
所以四边形 的面积 ( ) = △ + △ = 2sin + 2 3 2 3cos = 2 3 +4sin( 60 )，
因为120 ≤ < 180 ，所以60 ≤ 60 < 120 ，当 60 = 90 ，即 = 150 时， ( )max = 2 3 +4，
故四边形 面积的最大值为2 3 +4.
题型 11
求求 三角形中的边长或周长的最值或范围
1．（23-24 高一下·重庆·阶段练习）锐角 △ A B C a b c cos + sin tan 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 =
1
sin2 ， = 3，则 + 的取值范围是（ ）
A 3． ,3 B．(3,2 3]
2
C．( 3,2 3] D．( 3,3]
【解题思路】先根据正弦定理和条件化简得到sin = 2，把 + 转化为角求解可得答案.
cos + sin tan = 1 cos + sin
sin 1
【解答过程】因为 sin2 ，所以
cos
= 2sin cos ，
整理可得sin = 2，即有sin = sin = sin =2.
π
又 = 3 2π3，所以sin = ，解得 = 3，所以 + = ，2 3
于是 + = 2(sin + sin ) = 2 sin + sin + π
3
= 2 3 sin + 3 cos = 2 3sin + π .
2 2 6
∈ π , π sin + π因为三角形是锐角三角形，所以 ，所以 ∈ 3 ,1 ，
6 2 6 2
所以 + 的取值范围是(3,2 3].
故选：B.
2．（23-24 高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形 中，已知 ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 3 = 2
sin ， = 3，则三角形 的周长的取值范围是（ ）
A．(3 3,3 3) B．(3 3,3 3] C．(3 + 3,3 3] D．[3 + 3,3 3]
π
【解题思路】由正弦定理化简已知可得sin ，再由 是锐角，得到 = 3，然后根据正弦定理和三角形内角和
将周长用 表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围.
【解答过程】因为 3 = 2 sin ，
根据正弦定理得， 3sin = 2sin sin ，
因为 为锐角，所以sin ＞0，
所以 3 = 2sin ，即sin = 3，而 A 为锐角，2
π
所以 = 3，
3
因为根据正弦定理sin = sin = sin = 3 = 2，2
所以 = 2sin , = 2sin ，
因为三角形周长为 + + = 3 +2sin + 2sin ，
π 2
又因为 = 3，所以 = 3π ，
所以 + + = 3 +2sin + 2sin 2 π = 3 +2sin + 3cos + sin = 2 3sin + π + 3，
3 6
2
因为 ∈ 0, π , ∈ 0, π π，即 ∈ 0, ,3π ∈ 0,
π
，
2 2 2 2
所以 ∈ π , π ，
6 2
π
+ ∈ π 2即 6 , π ，sin +
π ∈ 3 ,1 ，
3 3 6 2
所以 + + ∈ 3 + 3，3 3 .
故选：C.
3．（23-24 高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 , , ，向量 = (
sin ,cos )， = (2sin cos , sin )，且 ⊥ .
(1)求角 C 的值；
(2)若 = 4，求 + 的取值范围.
【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用
和差公式化简即可得解.
（2）方法一：利用正弦定理将 + 表示为关于角 的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；
方法二：利用正弦定理将 b 表示为关于角 的函数，利用正切函数性质求出 b 的范围，由余弦定理用 b 表示
c，然后表示出 + ，根据函数单调性可解.
【解答过程】（1）因为 ⊥ ，
所以 = sin (2sin cos ) cos sin
= 2sin sin (sin cos + cos sin ) = 0，
方法一：利用正弦定理角化边得2 sin ( cos + cos ) = 0，
2 2 2 2 2 2
又cos = + + 2 ,cos = 2 ，
∴ 2 sin = 0 1，则sin = 2，
π
又 △ 为锐角三角形，故 = 6.
方法二：由和差公式可得2sin sin sin( + ) = 2sin sin sin = 0，
π 1
又因为 ∈ 0, ,sin ≠ 0，所以sin = ，
2 2
π
又 △ 为锐角三角形，故 = 6.
5
（2 = sin = 4sin π 2cos +2 3sin 2cos ）由正弦定理得 6sin = = 2 + ，sin sin 3 sin
= sin sin =
2
sin ，
由于 △ π为锐角三角形，则 ∈ 0, ，
2
π
又0 < = 5π6 < ∈
π
2，解得 ,
π
，
3 2
4cos2
方法一：所以 + = 2 + 2cos 2 2cos +23 sin + sin = 2 3 + sin = 2 3 +
2
2sin cos
2 2
4cos2 2
= 2 3 + 2 = 2 3 + tan 2sin cos ，
2 2 2
∈ π π tan 而 , ，即 ∈ 32 2 ,1 ，6 4 3
1
∴ tan ∈ (1, 3)，故 + 的取值范围为(2 + 2 3,4 3).
2
1
方法二：所以tan > 3，所以 3tan ∈ 0, ，3
= 2 + 2cos 2又 3 8 3sin = 2 3 + tan ，所以 ∈ 2 3, ，3
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos = 2 4 3 + 16，
记 ( ) = + = 2 4 3 + 16 + = ( 2 3)2 + 4 + ，
易知 ( )在 2 3, 8 3 上单调递增，
3
所以 (2 3) < ( ) < 8 3 ，即2 + 2 3 < + < 4 3，
3
所以 + 的取值范围为(2 + 2 3,4 3).
4．（23-24 高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形 的内角 , , 的对边分别为 ， ， ，已知2 cos =
π
(2 )，且 = 3．
(1)求 的值；
π
(2)若 为 的延长线上一点，且∠ = 6，求三角形 周长的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得 = 2cos ，即可得结果；
（2）在 △ 中，可得 = = ， = 13 ，在 △ 3中，利用正弦定理结合三角函数可得 = 2 + 2tan
∈ 1 ,2 ，进而可得结果.
2
【解答过程】（1）因为2 cos = (2 )，
由正弦定理可得2sin cos = sin (2 ) = 2sin sin ，
则2sin cos = 2sin( + ) sin ，整理得2sin cos = sin ，
由正弦定理可得2 cos = ，即 = 2cos ，
π
且 = 3，所以 = 2 ×
1
2 = 1.
π
（2）在 △ 中，由题意可知：∠ = 2π3 ，∠ = ∠ = 6，
可知 = = ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3 2，即 = 3 ，
在 △ 中，由正弦定理sin = sin ，
= sin sin( + )
1 sin + 3 cos
可得 2 2sin = sin = =
1 + 3 ，
sin 2 2tan
π
π 0 < < π π
因为 = 3且 △ 为锐角三角形，则
2
+ π > π ，解得6 < < 2，
3 2
则tan > 3 0 < 1 1 3 1，可得
3 tan
< 3，所以 = 2 + ∈ ，2tan ,22
且三角形 周长为 + + 3 = (2 + 3) ∈ 1 + 3 ,4 + 2 3 ，
2
所以三角形 周长的取值范围为 1 + 3 ,4 + 2 3 .
2
题型 12 距离、高度、角度测量问题
1．（23-24 高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶 , 间架设一条索道.为测量 , 间的距离，施工
单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 = 100 3m, = 50 2m，在 同一水平面上选一点 ，在 处测
得山顶 , 的仰角分别为60 和30 ，且测得∠ = 45 ，则 , 间的距离为（ ）
A．100m B．50 6m C．100 2m D．100 3m
【解题思路】根据题意，在直角 △ 和直角 △ 中，分别求得 = 200和 = 100 2，再在 △
中，利用余弦定理，即可求解 .
【解答过程】由题意，可得∠ = 60 ,∠ = 30 , = 100 3, = 50 2,∠ = 45 ，
且∠ = ∠ = 90 ，
在Rt △ 中，可得 = sin60 = 200m，
在Rt △ 中，可得 = sin30 = 100 2m，
在 △ 中，由余弦定理得
2 = 2 + 2 2 cos∠
= 1002 2 22 + ( 2) 2 × 2 × 2 × 2 = 20000，
2
所以 = 100 2m.
故选：C.
2．（23-24 高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度 ，在琉璃塔的正东
方向找到一座建筑物 ，高约为39m，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 和琉璃塔顶
部 的仰角分别为30°和45°，在 处测得塔顶部 的仰角为15°，则琉璃塔的高度约为（ ）
A．78m B．74m C．64m D．52m
【解题思路】求出∠ = 45°，∠ = 30°，再利用正弦定理得 = 78 2，最后根据三角函数定义即可
得到答案.
【解答过程】根据题意，可得∠ = 180° 45° 30° = 105°，∠ = 30° + 15° = 45°，
在 △ 中，∠ = 180° ∠ ∠ = 30°.
在Rt △ 中， ⊥ ，∠ = 30°，所以 = 2 = 78m，
78
在 △ 中，由正弦定理得sin∠ = sin ，即sin30° = sin45°，
78
即 1 = 2 ，解得 = 78 2，
2 2
在Rt △ 中， ⊥ ，∠ = 45°，所以 = sin45° = 78m.
故选：A.
3．（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有 , 两个观测点（如图），它们相距
10(3 + 3)海里.现有一艘轮船在 点发出求救信号，经探测得知 点位于 点北偏东45°， 点北偏西60°，这
时，位于 点南偏西60°且与 点相距40 3海里的 点有一救援船，其航行速速为30海里/小时.
(1)求 点到 点的距离 ；
(2)若命令 处的救援船立即前往 点营救，求该救援船到达 点需要的时间.
【解题思路】（1）在 △ 中利用正弦定理，求出 ；
（2）在 △ 中，利用余弦定理求出 ，根据速度求出时间．
【解答过程】（1）由题意知 = 10(3 + 3)海里，
∠ = 90° 60° = 30°, ∠ = 90° 45° = 45°，
∴ ∠ = 180° (45° + 30)° = 105°，
△ 在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
∴ = sin∠ = 10(3+ 3) sin45
°
sin∠ sin(60°+45°) ，
= 10(3+ 3) sin45
°
= 20
sin45°cos60°+cos45°sin60° 3（海里）.
（2）在 △ 中，∠ = ∠ + ∠ = 30° + (90° 60°) = 60°，
= 40 3（海里），由余弦定理得
2 = 2 + 2 2 cos∠
= 1200 + 4800 2 × 20 3 × 40
1
3 × 2 = 3600，
∴ = 60 60（海里），则需要的时间 = 30 = 2（小时）．
答：救援船到达 点需要 2 小时．
4．（2024 高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世
界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去
测量天宁宝塔 的高度，该小组同学在塔底 的东南方向上选取两个测量点 与 ，测得 = 230米，在 、
两处测得塔顶的仰角分别为∠ = = 63°，∠ = = 27°（如图），已知tan63°tan27° = 1,tan
63° ≈ 1.96,tan27° ≈ 0.51.
(1)请计算天宁宝塔 的高度（四舍五入保留整数）；
(2)为庆祝某重大节日，在塔上 A 到 处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知 = 53米，塔高 直接取
（1）的整数结果，市民在塔底 B 的东南方向的 处欣赏“灯光秀”（如图），请问当 为多少米时，欣赏“灯
光秀”的视角 最大 （结果保留根式）
【解题思路】（1）分别在Rt △ 和Rt △ 中，利用正切函数表示出 , ，结合图形列方程可求出结
果.
（2）由图，将 表示为∠ ∠ ，设 = 米，对 = ∠ ∠ 取正切并化简，结合均值不等式可
求得最大值.
【解答过程】（1）在Rt △ 中，tan = ，得 = tan63°，
在Rt △ 中，tan = ，得 = tan27°，
因为 = ，
所以230 = tan63° tan27°tan27° tan63° = tan63°tan27° = (tan63° tan27°) ≈ 1.45 ，
解得 ≈ 159米.
（2）由图可知 = ∠ ∠ ，设 = 米，
tan∠ = = 159 tan∠ = = = 159 53 106则 ， = ，
tan∠ tan∠
tan = tan(∠ ∠ ) = 1 + tan∠ ·tan∠
159 106 53 53
= 6
1+159 106
= +16854 ≤ 2
16854 = ，
12
= 16854当且仅当 ，即 = 53 6时等号成立.
根据题意，对于锐角 , 越大，则tan 越大，反之亦然，
π
显然 ∈ 0, ，可得tan 最大时 最大.
2
答：当 为53 6米时，欣赏“灯光秀”的视角 最大.专题 6.10 平面向量及其应用全章十二大压轴题型归纳（拔尖篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 利用向量关系研究几何图形的性质
| → | | → | | → →1．（23-24 高一下·辽宁抚顺·开学考试）若四边形 中 = ， = ，且 | = | |，则对该
四边形形状的说法中错误的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
2．（24-25 高一下·天津和平·阶段练习）如图所示，四边形 ABCD，CEFG，CGHD 是全等的菱形，则下列
结论中不一定成立的是（ ）
A．| | = | | B． 与 共线
C． 与 共线 D． =
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，已知在四边形 中，M，N 分别是 ， 的中点，又 =
//
.求证： = .
4．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 = ， =
．求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
题型 2 向量共线定理及其应用
1．（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知 = +5 ， = 2 +8 ， = 2 +10 ，则共线的三点为
（ ）
A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D
2．（23-24 高一下·山东潍坊·期中）已知 ， 是平面内两个不共线向量， = +2 ， = 3 ，A，
B，C 三点共线，则 m＝（ ）
A 2 2． 3 B．3 C． 6 D．6
3．（23-24 高一下·全国·课堂例题）已知 1、 2是两个不平行的向量，向量 = 3 1 2 2， = 2 1 +4
2， = 2 1 4 2，
(1)求证： // ；
(2)判断 、 、 三点的位置关系.
4．（23-24 高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在 中，E，H 分别是 AD，BC 的中点， = 2 ，G 为
DF 与 BE 的交点．
(1)记向量 = ， = ，试以向量 ， 为基底表示 ， ；
(2)若 = + ，求 m，n 的值；
(3)求证：A，G，H 三点共线．
题型 3 向量线性运算的几何应用
1．（23-24 高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形 中， = 2 , 和 相交于点 G，且 F 为 上
1
一点（不包括端点），若 = + 3，则 + 的最小值为（ ）
A．5 + 3 3 B．6 + 2 5 C．8 + 5 D．15
2．（23-24 高一下·云南昭通·期中）已知 为 △ 内一点，且满足 + +( 1) = 0，若 △ 的
面积与 △ 1的面积的比值为4，则 的值为（ ）
A 3 4 1．4 B．3 C．2 D．2
π
3．（23-24 高一下·河南周口·阶段练习）如图，在梯形 中，| | = 2，∠ = 3， =
1
2 ， 为
的中点， = ( ≠ 0).
(1) = 3若 4 +
1
4 ，试确定点 在线段 上的位置；
(2)若| | = ，当 为何值时，| |最小
4．（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，点 D 是 △ 中 BC 边的中点， = ， = .
(1)试用 ， 表示 ；
(2)若点 G 是 △ 的重心，能否用 ， 表示 ？
(3)若点 G 是 △ 的重心，求 + + .
题型 4 向量的夹角（夹角的余弦值）问题
1．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知两个单位向量 ， 满足|2 + | = 7，则 ， 的夹角为（ ）
π π π
A 2π．6 B．4 C．3 D． 3
2．（23-24 高一下·湖北·期末）已知单位向量 ， 互相垂直，若存在实数 ，使得 + (1 ) 与(1 ) + 的
夹角为60 ，则 = （ ）
A． 1± 2 B． 1 ± 2 C 1± 3． D． 1 ±2 2 3
3．（23-24 高一下·江苏南京·期中）已知向量 与 满足| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为120°.
(1)当 为何值时， 3 + 2 ⊥ ；
(2)求向量 +3 与向量 的夹角的余弦值.
4．（23-24 高一下·上海宝山·阶段练习）已知| | = 2,| | = 3，且 与 的夹角为45°，
(1)求 2 + 与 3 +2 的夹角；
(2)若向量 + 与 + 的夹角是锐角，求实数 k 的取值范围.
题型 5 向量共线、垂直的坐标表示
1．（23-24 高一下·福建宁德·期中）已知平面向量 = (1, )， = ( ,2)， = (2,4)，若 // ， ⊥ ，则 + =
（ ）
A．6 B． 6 C．2 D． 2
→ → → → →
2．（2024·四川宜宾·二模）已知向量 = (1,2), = (3,1)，向量 满足 ⊥ ， // + ，则 = （ ）
A．( 2, 1) B．(2, 1) C．( 2,1) D．(2,1)
3．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量 = (1, 3), = (2, ), = ( 3, + 5).
(1)若 ⊥ + ，求| |；
(2)若 + // ，求 ，并求出向量 与 的夹角.
4．（23-24 高一下·甘肃·期末）已知向量 = (1,2)， = (2, ).
(1)若 ⊥ ，求| |；
(2)若向量 = ( 3, 2)， ∥ + ，求 与 夹角的余弦值.
题型 6 向量坐标运算的几何应用
1．（23-24 高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的
勒洛三角形中，已知 = 2，点 在弧 AC 上，且∠ = 30°，则 = （ ）
A．6 4 3 B．2 3 4 C．2 6 4 2 D．4 3 6
2．（23-24 高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，
是中华民族传统文化的瑰宝．如图 1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图 2，这是一个正八边形，其中
= 4， 是这个八边形上的任意一点，则 的取值范围是（ ）
A．[ 16 8 2,16 + 8 2] B．[ 8 2,16 + 8 2]
C．[ 16 8 2,8 2] D．[ 8 2,8 2]
3．（24-25 高一下·广东中山·阶段练习）在直角梯形 中，已知 // ，∠ = 90 ， = 6，
= = 3，对角线 交 于点 ，点 在 上，且 ⊥ ．
(1)求 的值；
(2)若 为线段 上任意一点，求 的取值范围．
4．（23-24 高一下·河南·期末）如图，已知平行四边形 的三个顶点 、 、 的坐标分别是( 1,3)、
(3,4)、(2,2).
(1)求顶点 的坐标；
(2) | |在线段 上是否存在一点 满足 ⊥ ，若存在，求 ；若不存在，请说明理由.
| |
题型 7 用向量解决夹角、线段的长度问题
1．（2024·四川南充·三模）在Rt △ 中，∠ = 90°， = 2， = 3， = 2 ， = 12 ，CN 与
BM 交于点 P，则cos∠ 的值为（ ）
A． 5 B． 2 5
5 5
C． 5 D．2 5
5 5
2．（23-24 高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形 ABCD 中， // ， ⊥ ，| | = 2，| | = 2| |.若点
P 在线段 BC 上，则| +3 |的最小值是（ ）
A 7 9．2 B．4 C．2 D．6
3．（23-24 高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°, , 边上的
两条中线 AM，BN 相交于点 .
(1)求 AM 的长度；
(2)求∠MPB 的正弦值.
π
4．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图，在 △ 中， = 3, = 2,∠ = 3, 是 边的中点， ⊥ ,
与 交于点 .
(1)求 和 的长度；
(2)求cos∠ .
题型 8 向量与几何最值问题
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为该正六边形的中心，圆
的半径为 2，圆 的直径 ∥ ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（23-24 高一下·北京·期中）如图，边长为 4 的正方形中心与单位圆圆心 重合，M，N 分别在圆周上，
正方形的四条边上运动，则| + |的取值范围是（ ）
A．[1,2 2] B．[1,2 2 +1] C．[ 2,2 2] D．[ 2,2 2 +1]
3 23-24 2π．（ 高一下·辽宁朝阳·期中）在 △ 中， = 2， = 3，∠ = 3 ， 为 的三等分点（靠近
点）．
(1)求 的值；
(2)若点 满足 = ，求 的最小值，并求此时的 ．
4．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形
边长为 2.
(1)设 = + ，求 的值；
(2)若点 在 边上运动（包括端点），则求| + 2 + |的最大值.
题型 9 正、余弦定理判定三角形形状
1 23-24 · · △ sin ．（ 高一下 天津 阶段练习）在 中，已知 2+ 2 2 =
sin
2+ 2 2，则 △ 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
2 24-25 sin sin sin ．（ 高二上·广东潮州·开学考试）在 △ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 3 = 4
( 为非零实数），则下列结论错误的是（ ）
A．当 = 5时， △ 是直角三角形 B．当 = 3时， △ 是锐角三角形
C．当 = 2时， △ 是钝角三角形 D．当 = 1时， △ 是钝角三角形
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形 ABC 的形状：
(1)sin + sin( ) = sin2 ；
tan 2(2)tan =
2．
4．（23-24 高一下·浙江·期中）在 △ A B C sin sin 中，设 ， ， 所对的边分别为 a，b，c，已知 sin = + .
(1)求角 B 的值；
(2)若 : = tan :tan ，判断 △ 的形状；
(3)若 △ 为锐角三角形，且 = 2，求 △ 的面积 S 的取值范围.
题型 10 三角形面积的最值或范围问题
1．（23-24 高二上·安徽亳州·期中）在 △ 中，设角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ，且( + )sin =
( )(sin + sin )， = 2 3，则 △ 面积的最大值为（ ）
A． 3 B．2 3 C．2 D．4
2．（23-24 高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角 △ 2 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，已知 6 =
cos
cos 且 = 6，则锐角 △ 面积的取值范围为（ ）
A．(0,4 3) B．(4 3,9 3] C．(6 3,9 3] D．(0,6 3]
3．（23-24 + 高一下·江苏无锡·期中）从① sin 2 = sin ；②sin
2 + sin2 sin2 sin sin = 0；③ cos
(2 )cos = 0， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 并加以解答．
在 △ 中，三边 , , 分别是角 , , 的对边， 若______.
(1)求 C；
(2)若 = 2，求 △ 的面积的最大值．
4．（23-24 高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形 中， ⊥ , = = 2,∠ = ,120 ≤ <
180 .
(1)若 = 120 , = 6，求∠ 的大小；
(2) 若2 sin2 = 3 ，求四边形 面积的最大值.
题型 11
求求 三角形中的边长或周长的最值或范围
1．（23-24 高一下· cos sin tan 重庆·阶段练习）锐角 △ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 + =
1
sin2 ， = 3，则 + 的取值范围是（ ）
A 3． ,3 B．(3,2 3]
2
C．( 3,2 3] D．( 3,3]
2．（23-24 高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形 中，已知 ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 3 = 2
sin ， = 3，则三角形 的周长的取值范围是（ ）
A．(3 3,3 3) B．(3 3,3 3] C．(3 + 3,3 3] D．[3 + 3,3 3]
3．（23-24 高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 , , ，向量 = (
sin ,cos )， = (2sin cos , sin )，且 ⊥ .
(1)求角 C 的值；
(2)若 = 4，求 + 的取值范围.
4．（23-24 高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形 的内角 , , 的对边分别为 ， ， ，已知2 cos =
π
(2 )，且 = 3．
(1)求 的值；
π
(2)若 为 的延长线上一点，且∠ = 6，求三角形 周长的取值范围．
题型 12 距离、高度、角度测量问题
1．（23-24 高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶 , 间架设一条索道.为测量 , 间的距离，施工
单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 = 100 3m, = 50 2m，在 同一水平面上选一点 ，在 处测
得山顶 , 的仰角分别为60 和30 ，且测得∠ = 45 ，则 , 间的距离为（ ）
A．100m B．50 6m C．100 2m D．100 3m
2．（23-24 高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度 ，在琉璃塔的正东
方向找到一座建筑物 ，高约为39m，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 和琉璃塔顶
部 的仰角分别为30°和45°，在 处测得塔顶部 的仰角为15°，则琉璃塔的高度约为（ ）
A．78m B．74m C．64m D．52m
3．（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）某海域的东西方向上分别有 , 两个观测点（如图），它们相距
10(3 + 3)海里.现有一艘轮船在 点发出求救信号，经探测得知 点位于 点北偏东45°， 点北偏西60°，这
时，位于 点南偏西60°且与 点相距40 3海里的 点有一救援船，其航行速速为30海里/小时.
(1)求 点到 点的距离 ；
(2)若命令 处的救援船立即前往 点营救，求该救援船到达 点需要的时间.
4．（2024 高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世
界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去
测量天宁宝塔 的高度，该小组同学在塔底 的东南方向上选取两个测量点 与 ，测得 = 230米，在 、
两处测得塔顶的仰角分别为∠ = = 63°，∠ = = 27°（如图），已知tan63°tan27° = 1,tan
63° ≈ 1.96,tan27° ≈ 0.51.
(1)请计算天宁宝塔 的高度（四舍五入保留整数）；
(2)为庆祝某重大节日，在塔上 A 到 处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知 = 53米，塔高 直接取
（1）的整数结果，市民在塔底 B 的东南方向的 处欣赏“灯光秀”（如图），请问当 为多少米时，欣赏“灯
光秀”的视角 最大 （结果保留根式）
