专题 6.3 向量的数量积【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 向量数量积的计算】 ................................................................................................................................3
【题型 2 求投影向量】 ............................................................................................................................................3
【题型 3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 ........................................................................................................4
【题型 4 垂直关系的向量表示】 ............................................................................................................................4
【题型 5 求向量的模】 ............................................................................................................................................5
【题型 6 已知模求参数】 ........................................................................................................................................6
【题型 7 向量数量积的几何应用】 ........................................................................................................................6
【知识点 1 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力 所做的功W=| || |
，其中 是 与 的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明
显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量 , ，如图所示，O 是平面上的任意一点，作 = ， = ，则∠AOB= (0≤ ≤
π)叫做向量 与 的夹角，也常用 表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量| || | 叫做向量 与 的数量积(或内积)，
记作 ，即 =| || | .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 =0.
(4)向量的投影
如图，设 ， 是两个非零向量， = ， = ，我们考虑如下的变换：过 的起点 A 和终点 B，
分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
① = = .
② =0.
③当 与 同向时， = ；当 与 反向时， =- .
特别地， = = 或 = .
④|a | ，当且仅当向量 ， 共线，即 ∥ 时，等号成立.
⑤ = .
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量 ， ， 和实数 ，有
①交换律： = ；
②数乘结合律：( ) = ( )= ( )；
③分配律：( + ) = + .
3．向量数量积的常用结论
(1) = ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当 与 同向共线时右边等号成立， 与 反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若 ， 为非零向量，则 (夹角公式)， 等，
可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用 及 ，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利
用余弦定理等方法求解.
【题型 1 向量数量积的计算】
【例 1】（23-24 高一下· 2π黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量 ， 满足| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，则
+ = （ ）
A．0 B．8 C．4 + 4 3 D．4 4 3
1
【变式 1-1】（23-24 高一下·河南周口·阶段练习）设向量 ， 的夹角的余弦值为 3，| | = 2，| | = 3，则
2 + 3 = （ ）
A．-23 B．23 C．-27 D．27
1
【变式 1-2】（23-24 高一下·河南漯河·期末）已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 3，且 与 夹角的余弦值为3，
则 + 2 2 = （ ）
A． 13 B． 28 C．23 D．13
【变式 1-3】（23-24 高一下·江苏连云港·期末）已知点 A，B，C 均位于单位圆（圆心为 O，半径为 1）上，
且 = 2, 的最大值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 +1 D． 3 +1
【题型 2 求投影向量】
【例 2】（23-24 5 高一下·河南漯河·阶段练习）已知| | = 2 3| |，且满足 , = 6 ，则 在 上的投影向量为
（ ）
A． B． C．3 D． 3
【变式 2-1】（23-24 高一下·江苏·阶段练习）在矩形 ABCD 中， = 6, = 4，E 为 BC 的中点，则向量
在向量 上的投影向量是（ ）
A 11．13 B
12
．13 C
9 10
．13 D．13
【变式 2-2】（23-24 高一下·吉林·期中）已知向量 ， 满足| | = | | = 2，且| + | = 10，则 在 上的投
影向量是（ ）
A 1．4 B
1
．4 C
1 1
．2 D．2
【变式 2-3】（23-24 高一下·天津西青·期末）已知向量| | = 3,| | = 5，设 与 的夹角为60°，则 在 上的投
影向量为（ ）
A 5 3． B 5 3． C 5 5．6 D． 6 6 6
【题型 3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】
【例 3】（23-24 高一下·四川眉山·期末）向量 ， 满足| | = 3，| | = 1，| 2 | = 1，则向量 ， 的夹角
是（ ）
π π
A B C 2π 5π．6 ．3 ． 3 D． 6
【变式 3-1】（23-24 高一下·河南新乡·期末）已知平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，且|2 | = 7，则
cos , = （ ）
A 1 B 1 C 1．2 ．4 ．6 D
1
．8
【变式 3-2】（23-24 高一下·福建龙岩·阶段练习）已知 1， 2是夹角为 60°的两个单位向量，设向量 = 2 1
+ 2， = 3 1 +2 2，则 与 夹角为（ ）
A 1π B 1 2 5．3 ．6π C．3π D．6π
【变式 3-3】（23-24 高一下·湖北·期末）已知单位向量 ， 互相垂直，若存在实数 ，使得 + (1 ) 与
(1 ) + 的夹角为60 ，则 = （ ）
A． 1± 2 B． 1 ± 2 C 1± 3． D． 1 ±2 2 3
【题型 4 垂直关系的向量表示】
2
【例 4】（23-24 高一下·山东·期中）已知非零向量 ， 满足| | = 3| |，cos , = 3，若 ⊥ ( + )，则实
数 = （ ）
A 3 B 1． ． 3 C． 2 D
1
． 2
【变式 4-1】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）在四边形 中，若 = ，且 = 0，则该四边形
一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形
【变式 4-2】（23-24 3高一下·山西运城·阶段练习）已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 2 3，cos , = .4
(1)求 在 上的投影向量；
(2)若向量2 与 + 垂直，求实数 的值.
【变式 4-3】（23-24 高一下·云南·阶段练习）如图，在 △ 中， = 13 ，点 , 分别是 , 的中点．设
= , = ．
(1)用 , 表示 , ；
(2)如果∠ = 60 , = 2 ，用向量方法证明： ⊥ ．
【题型 5 求向量的模】
2π
【例 5】（23-24 高一下·河南开封·期末）已知| | = 3，| | = 4，且 与 的夹角 = 3 ，则| | = （ ）
A．13 B． 13 C．37 D． 37
【变式 5-1】（23-24 高一下·福建宁德·期末）若平面向量 , , 两两的夹角相等，| | = 1,| | = 2,| | = 3，则|
+ + | = （ ）
A．3 B．6 C． 3或6 D．3或6
【变式 5-2】（23-24 高一下·山东潍坊·期末）在 △ 中， = 1， = 2， = 1， = 2 + (1 )
（ ∈ ），则| |的最小值为（ ）
A．2 B． 3 C 3． D．12
【变式 5-3】（23-24 2π高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量 ， 的夹角为 3 ，| | = 1，| | = 2，在 △ 中，
= 2 +3 1， = 2 ， = 2 ，则| | = （ ）
A．2 B．2 2 C．2 3 D．6
【题型 6 已知模求参数】
【例 6】（2024 高三·全国·专题练习）若单位向量 1， 2的夹角为3，向量 = 1 + 2（ ∈ ），且 | | =
3
，则 = （ ）
2
A 1 1．2 B．－2
C 3．4 D
3
．－4
【变式 6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量| | = 2，| | = 1， , 的夹角为60 ，| + | = 3
( ∈ )，则实数 = （ ）
A 1 B 1 C 1． ． ．2 D． ± 1
1
【变式 6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知 ， 都是单位向量，若 2 与 垂直，且| + | = | |，
则 的值为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 3
【变式 6-3】（23-24 高一·安徽·期末）设非零向量 , 的夹角为 ，若| | = 2| |，且不等式|2 + | ≥ | + |
对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．[ 1,3] B．[ 1,5] C．[ 7,3] D．[5,7]
【题型 7 向量数量积的几何应用】
【例 7】（2024 高三·全国·专题练习）已知正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为该正六边形的中心，
圆 的半径为 2，圆 的直径 ∥ ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式 7-1】（23-24 高一下·重庆·期末）如图，已知正方形 的边长为 2，若动点 在以 为直径的半
圆上（正方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C．[0,3] D．[0,1]
【变式 7-2】（23-24 高一下·辽宁朝阳·期中）在 △ 中， = 2， = 3 2π，∠ = 3 ， 为 的三等分
点（靠近 点）．
(1)求 的值；
(2)若点 满足 = ，求 的最小值，并求此时的 ．
【变式 7-3】（23-24 高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为 2 的等边三角形 中，D 是 的中点.
(1)求向量 与向量 2 的夹角；
(2)若 O 是线段 上任意一点，求 的最小值.专题 6.3 向量的数量积【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 向量数量积的计算】 ................................................................................................................................3
【题型 2 求投影向量】 ............................................................................................................................................4
【题型 3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】 ........................................................................................................6
【题型 4 垂直关系的向量表示】 ............................................................................................................................7
【题型 5 求向量的模】 ............................................................................................................................................9
【题型 6 已知模求参数】 ......................................................................................................................................11
【题型 7 向量数量积的几何应用】 ......................................................................................................................13
【知识点 1 向量的数量积】
1．向量的数量积
(1)向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 ，那么力 所做的功W=| || |
，其中 是 与 的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量(数量).这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明
显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
(2)向量的夹角
已知两个非零向量 , ，如图所示，O 是平面上的任意一点，作 = ， = ，则∠AOB= (0≤ ≤
π)叫做向量 与 的夹角，也常用 表示.
(3)两个向量数量积的定义
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量| || | 叫做向量 与 的数量积(或内积)，
记作 ，即 =| || | .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0 =0.
(4)向量的投影
如图，设 ， 是两个非零向量， = ， = ，我们考虑如下的变换：过 的起点 A 和终点 B，
分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量 向向量 投影，
叫做向量 在向量 上的投影向量.
2．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设 ， 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
① = = .
② =0.
③当 与 同向时， = ；当 与 反向时， =- .
特别地， = = 或 = .
④|a | ，当且仅当向量 ， 共线，即 ∥ 时，等号成立.
⑤ = .
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量 ， ， 和实数 ，有
①交换律： = ；
②数乘结合律：( ) = ( )= ( )；
③分配律：( + ) = + .
3．向量数量积的常用结论
(1) = ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当 与 同向共线时右边等号成立， 与 反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
4．向量数量积的两大应用
(1)夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若 ， 为非零向量，则 (夹角公式)， 等，
可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)向量的模的求解方法：
①公式法：利用 及 ，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利
用余弦定理等方法求解.
【题型 1 向量数量积的计算】
1 2π【例 】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量 ， 满足| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，则
+ = （ ）
A．0 B．8 C．4 + 4 3 D．4 4 3
【解答过程】由条件根据数量积的定义求 ，再结合数量积的运算律求 + .
2π
【解答过程】因为| | = 2，| | = 4，向量 与 的夹角为 3 ，
所以 = | | | |cos , = 2 × 4 × 1 = 4，
2
所以 + = 2 + = 4 4 = 0.
故选：A.
【变式 1-1 1】（23-24 高一下·河南周口·阶段练习）设向量 ， 的夹角的余弦值为 3，| | = 2，| | = 3，则
2 + 3 = （ ）
A．-23 B．23 C．-27 D．27
【解答过程】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解.
【解答过程】设 与 的夹角为 ，则cos = 13，
1
又| | = 2，| | = 3，所以 = | | | |cos = 2 × 3 × = 2，
3
2
所以 2 + 3 = 2 +3 = 4 + 27 = 23．
故选：B.
【变式 1-2】（23-24 1高一下·河南漯河·期末）已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 3，且 与 夹角的余弦值为3，
则 + 2 2 = （ ）
A． 13 B． 28 C．23 D．13
【解答过程】根据向量的数量积运算律运算即可.
1
【解答过程】由题得 = 1 × 3 × 3 = 1，
2
所以 + 2 2 = 2| |2 +3 2| | = 2 + 3 × 1 2 × 9 = 13.
故选：A.
【变式 1-3】（23-24 高一下·江苏连云港·期末）已知点 A，B，C 均位于单位圆（圆心为 O，半径为 1）上，
且 = 2, 的最大值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 +1 D． 3 +1
【解答过程】设 为圆心，由| | = 2，可得 · = 0，利用 · = · ( )· ，计算可求
最大值.
【解答过程】设 为圆心，则| | = | | = | | = 1，因为| | = 2，
2 2 2 2
所以 = ( ) = 2 · + = 2，所以 · = 0，
所以 · = ·( ) = · · = · ( )·
2
= · · + = | |·| |cos , +1 = 2cos , +1，
因为cos , ∈ [ 1,1]，所以( · )max = 1 + 2.
故选：C.
【题型 2 求投影向量】
【例 2 5 】（23-24 高一下·河南漯河·阶段练习）已知| | = 2 3| |，且满足 , = 6 ，则 在 上的投影向量为
（ ）
A． B． C．3 D． 3
【解答过程】运用投影向量的概念，结合数量积运算计算即可.
【解答过程】因为| | = 2 3| |， , =
5π
6 ，
| | 5π
所以 在 上的投影向量为| |cos , = | |cos , = 2 3cos 6 = 3 .| |
故选：D.
【变式 2-1】（23-24 高一下·江苏·阶段练习）在矩形 ABCD 中， = 6, = 4，E 为 BC 的中点，则向量
在向量 上的投影向量是（ ）
A 11 12 9 10．13 B．13 C．13 D．13
【解答过程】以 , 为基底向量表示 , ，根据数量积结合投影向量的定义运算求解.
【解答过程】由题意可知：| | = 6，| | = 4， = 0，
且 = + , = + = + 12 ，
2
= 1 = + 1
2
则 + + 2 = 44，2
2 2 2 2
= + = + = 52，
11
所以向量 在向量 上的投影向量是 = 13 2 .
故选：A.
【变式 2-2】（23-24 高一下·吉林·期中）已知向量 ， 满足| | = | | = 2，且| + | = 10，则 在 上的投
影向量是（ ）
A 1 1 1 1．4 B．4 C．2 D．2
【解答过程】根据已知条件利用模的平方求出数量积，再结合投影向量的定义即可求解.
【解答过程】由已知| | = | | = 2，且| + | = 10，
2 2 2 | |2则 + +2 = | | + +2 = 22 + 22 +2 = 10，
解得 = 1，
1故 在 上的投影向量是 | | × | |＝4 .
故选：B.
【变式 2-3】（23-24 高一下·天津西青·期末）已知向量| | = 3,| | = 5，设 与 的夹角为60°，则 在 上的投
影向量为（ ）
A 5 3． B 5 3 C 5． ． D． 5
6 6 6 6
【解答过程】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可.
【解答过程】由题意知， 在 上的投影向量为：
→ → → → →
| | | |cos60°→ 1→ →
|→| |→| = =
5×3× = 5|→ → 2 . | | | 3×3 6
故选：C.
【题型 3 向量夹角（夹角余弦值）的计算】
【例 3】（23-24 高一下·四川眉山·期末）向量 ， 满足| | = 3，| | = 1，| 2 | = 1，则向量 ， 的夹角
是（ ）
π π
A 2π 5π．6 B．3 C． 3 D． 6
【解答过程】根据平面向量数量积的定义和数量积的运算律求解即可.
2
【解答过程】由| 2 | = 1两边平方得 2 4 +4 = 1，即3 4 × 3 × 1 × cos , +4 = 1，
所以cos , π= 3，又0 ≤ , ≤ π，所以 , = 6.2
故选：A.
【变式 3-1】（23-24 高一下·河南新乡·期末）已知平面向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，且|2 | = 7，则
cos , = （ ）
A 1 1 1 1．2 B．4 C．6 D．8
【解答过程】对|2 | = 7两边平方可得 ，再由向量的夹角公式计算可得答案.
2 2
【解答过程】因为 2 = 4 2 + 4 = 7，
因为| | = 1，| | = 2，
= 1所以 4，cos
1
, = | = .| | | 8
故选：D.
【变式 3-2】（23-24 高一下·福建龙岩·阶段练习）已知 1， 2是夹角为 60°的两个单位向量，设向量 = 2 1
+ 2， = 3 1 +2 2，则 与 夹角为（ ）
A 1 1 2 5．3π B．6π C．3π D．6π
【解答过程】计算出 = 72，| | = 7，| | = 7，计算出cos , =
= 1，得到答案.
| | | | 2
【解答过程】 = (2 1 + 2) ( 3 2 2 2 21 + 2 2) = 6 1 + 1 2 +2 2 = 6| 1| + | 1| | 2|cos60° + 2| 2|
= 6 + 12 +2 =
7
2，
其中 2 = (2 + )2 = 4 21 2 1 +4 1 22 + 2 = 4 + 4 ×
1
2 +1 = 7，故| | = 7，
2
= ( 3 1 + 2 2)2 = 9 21 12 1 +4 22 2 = 9 6 + 4 = 7，故| | = 7，
cos =
7
= 2 = 1所以 , ，| | | | 7× 7 2
2
所以 与 夹角为3π.
故选：C.
【变式 3-3】（23-24 高一下·湖北·期末）已知单位向量 ， 互相垂直，若存在实数 ，使得 + (1 ) 与
(1 ) + 的夹角为60 ，则 = （ ）
A． 1± 2 B． 1 ± 2 C 1± 3． D． 1 ±2 2 3
【解答过程】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解.
2
【解答过程】因为 + (1 ) (1 ) + = (1 ) 2 + (1 )2 + 1 + (1 )
= 1 + 1 = 2 2 ，
| + (1 ) | = + (1 ) 2 = 1 + (1 )2，|(1 ) + | = (1 ) + 2 = 1 + (1 )2，
又 + (1 ) 与(1 ) + 的夹角为60 ，
所以2 2 = 1 + (1 )2 cos60 ，即4 4 = 1 + (1 )2，
解得： = 1 ± 3.
故选：D.
【题型 4 垂直关系的向量表示】
2
【例 4】（23-24 高一下·山东·期中）已知非零向量 ， 满足| | = 3| |，cos , = 3，若 ⊥ ( + )，则实
数 = （ ）
A． 3 B． 13 C． 2 D
1
． 2
【解答过程】利用平面向量数量积公式计算即可.
2
( + ) = + = 2【解答过程】由题意知 3 | | |
2
| + | | = 0，
| | = 3| | 2
2 2
由 知 | | | | + | | = 2 | | + | |23 = 0 =
1
2.
故选：D.
【变式 4-1】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）在四边形 中，若 = ，且 = 0，则该四边形
一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰形
【解答过程】由 = ，可得 ∥ ， = ，再由 = 0可得 ⊥ ，从而可判断出四边形的
形状.
【解答过程】因为四边形 中， = ，
所以 ∥ ， = ，
所以四边形 为平行四边形，
因为 = 0，所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，
所以四边形 为矩形.
故选：B.
【变式 4-2】（23-24 高一下·山西运城·阶段练习）已知向量 ， 满足| | = 2，| | = 2 3，cos , = 3.4
(1)求 在 上的投影向量；
(2)若向量2 与 + 垂直，求实数 的值.
【解答过程】（1）求出 ，再利用投影向量的意义求解即得.
（2）利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解即得.
【解答过程】（1） = | || |cos , = 2 × 2 3 × 3 = 3，4
3 1所以 在 上的投影向量为 =
| |2 12
= 4 .
（2）由向量2 与 + 垂直，得(2 ) ( + ) = 0，
2
整理得2 2 +(2 2) = 8 + 3(2 2) 12 = 0，即3 2 +4 6 = 0，
= 2± 22所以 .
3
【变式 4-3】（23-24 高一下·云南·阶段练习）如图，在 △ 1中， = 3 ，点 , 分别是 , 的中点．设
= , = ．
(1)用 , 表示 , ；
(2)如果∠ = 60 , = 2 ，用向量方法证明： ⊥ ．
1
【解答过程】（1）根据 = 4 ，结合平面向量基本定理求解即可；
（2）根据平面向量数量积运算计算 · = 0即可.
1 1
【解答过程】（1）如图，由 = 3 ，可得 = 4 ．
又点 E，F 分别是 AC，BC 的中点，
= = 1 = 1则 4 4 ，
= 1 = 12 2 ．
（2）由∠ = 60°， = 2 ，可得 < ， >= 60°，| | = 2| |，
2
则 · = 1 ·
1
2 =
8
1
2 · ，4
= | |
2 1 1 | |2 | |2
8 2| || | × 2 = 8 8 = 0，
故 ⊥ ．
【题型 5 求向量的模】
【例 5 2π】（23-24 高一下·河南开封·期末）已知| | = 3，| | = 4，且 与 的夹角 = 3 ，则| | = （ ）
A．13 B． 13 C．37 D． 37
2
【解答过程】根据数量积的定义求出 ，再由| | = 及数量积的运算律计算可得.
【解答过程】因为| | = 3，| | = 4 = 2π，且 与 的夹角 3 ，
所以 = | || |cos = 3 × 4 × 1 = 6，
2
所以| | = 2 = 2 2 + 2 = 32 2 × ( 6) + 42 = 37.
故选：D.
【变式 5-1】（23-24 高一下·福建宁德·期末）若平面向量 , , 两两的夹角相等，| | = 1,| | = 2,| | = 3，则|
+ + | = （ ）
A．3 B．6 C． 3或6 D．3或6
→ → →
【解答过程】依题意可得， , , 两两的夹角为0°或120°，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可
得出结果.
→ → →
【解答过程】因为平面向量 , , 两两的夹角相等，
→ → →
所以平面向量 , , 两两的夹角为0°或120°，
|→ → →又因为 | = 1,| | = 2,| | = 3,
→ → → → → → → → →
当夹角为0°时，即向量 , , 同向，则| + + | = | | + | | + | | = 1 + 2 + 3 = 6；
→ → → →
当夹角为120°时，即 · = | |·| |cos120° = 1 × 2 × ( 12) = 1，
→ → → →
· = | |·| |cos120° = 1 × 3 × ( 12) =
3
2，
→ → → →
· = | |·| |cos120° = 3 × 2 × ( 12) = 3，
|→ → → →2 →2 →2 → → → → → →则 + + | = + + + 2 · + 2 · + 2 · = 1 + 4 + 9 2 3 6 = 3.
综上所述，|→ → → + + |等于 3或6.
故选：C.
【变式 5-2】（23-24 高一下·山东潍坊·期末）在 △ 中， = 1， = 2， = 1， = 2 + (1 )
（ ∈ ），则| |的最小值为（ ）
A 3．2 B． 3 C． D．12
2
【解答过程】先求| | ，利用向量的运算法则展开后，可以转化为关于 的函数，利用函数的观点即可求最
小值.
【解答过程】因为 = 2 + (1 )
2 2 2
所以| | = = 2 + (1 ) = 4 2 2 2 +4 (1 ) + (1 )2
又因为 = 1， = 2， = 1，
2 2 2 2
所以 = | | = 1, = | | = 4, = 1
所以| |2
2
= 4 2 +4 (1 ) +4(1 )2 = 4( 2 + 1) = 4 1 +32
1 2
当 = |2时， | | |min = 3，即 min = 3，
故选：B.
【变式 5-3】（23-24 高一下· 2π河南濮阳·阶段练习）已知向量 ， 的夹角为 3 ，| | = 1，| | = 2，在 △ 中，
= 2 +3 ， = 2 1， = 2 ，则| | = （ ）
A．2 B．2 2 C．2 3 D．6
【解答过程】首先由数量积的定义求出 ，再由平面向量线性运算法则得到 = 2 + ，最后根据| | =
2 + 2及数量积的运算律计算可得.
2π
【解答过程】因为向量 ， 的夹角为 3 ，| | = 1，| | = 2，
所以 = | || |cos2π 3 = 1 × 2 ×
1 = 1，
2
1 1 1 1
又因为 = + = + 2 = + 2 = 2 + 2
= 12 2 +
1
2 2 + 3 = 2 + ，
所以| | = 2 + 2 = 4 2 + 4 + 2
= 4 × 12 + 4 × ( 1) + 22 = 2.
故选：A.
【题型 6 已知模求参数】
【例 6】（2024 高三·全国·专题练习）若单位向量 1， 2的夹角为3，向量 = 1 + 2（ ∈ ），且 | | =
3
，则 = （ ）
2
A 1 B 1．2 ．－2
C 3 3．4 D．－4
3
【解答过程】根据| |2 = ( 21 + 2) = 4，利用向量数量积的计算公式，展开计算求 的值.
【解答过程】由题意可得： 1· 2 = 1 × 1 × cos =
1
3 2，
| |2 = ( 2 2 2 2 1 2 31 + 2) = 1 +2 1 2 + 2 = 1 + 2 × 2 + = 4，
化简得 2 + + 1 = 0 14 ，解得 = 2.
故选：B.
【变式 6-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知平面向量| | = 2，| | = 1， , 的夹角为60 ，| + | = 3
( ∈ )，则实数 = （ ）
A 1． 1 B．1 C．2 D． ± 1
【解答过程】对| + | = 3两边平方，再由数量积公式计算可得答案.
【解答过程】因为| + | 2= 3，所以| |2 +2 + 2| | = 3，
即4 + 2 × 2 × cos60 + 2 = 3，解得 = 1.
故选：A.
1
【变式 6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知 ， 都是单位向量，若 2 与 垂直，且| + | = | |，
则 的值为（ ）
A．1 B． 2 C．2 D． 3
【解答过程】先由题意结合向量垂直的表示得 = 12，再由题设| + | = | |两边平方计算即可得解.
1
【解答过程】由于 2 与 垂直，
1 2 = 1 = 1所以 2 2 = 0，所以 =
1
2 2
.
又由| + | = | |①，两边平方并化简得2 + 2 = 2 2 2 ，
即2 + 1 = 2(2 1)，故 2 = 3，即 = 3或 = 3（不满足①，舍去），
所以 的值为 3.
故选：D.
【变式 6-3】（23-24 高一·安徽·期末）设非零向量 , 的夹角为 ，若| | = 2| |，且不等式|2 + | ≥ | + |
对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A．[ 1,3] B．[ 1,5] C．[ 7,3] D．[5,7]
【解答过程】根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为(13 2) + (8 4 )cos ≥ 0恒成立，然
后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.
【解答过程】由题意，非零向量 , 的夹角为 ，且| | = 2| |，
则 = | | | |cos = 2| |2cos ，
不等式|2 + | ≥ | + |对任意 恒成立，
2 2 2 2
所以(2 + )2 ≥ ( + )2，即4 +4 + ≥ +2 + 2 ，
整理得(13 2) + (8 4 )cos ≥ 0恒成立，
2
cos ∈ [ 1,1] 13 + 8 4 ≥ 0 7 ≤ ≤ 3因为 ，所以 13 2 8 + 4 ≥ 0 ，即 1 ≤ ≤ 5 ，可得 1 ≤ ≤ 3，
即实数 的取值范围为[ 1,3].
故选：A.
【题型 7 向量数量积的几何应用】
【例 7】（2024 高三·全国·专题练习）已知正六边形 的边长为 4，圆 的圆心为该正六边形的中心，
圆 的半径为 2，圆 的直径 ∥ ，点 在正六边形的边上运动，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2
【解答过程】根据 = 4，结合正六边形的性质求解| |的范围即可.
【解答过程】如图所示，由正六边形的几何性质可知， △ ， △ ， △ ， △ ， △ ， △
均是边长为 4 的等边三角形，
当点 位于正六边形 的顶点时，| |取最大值 4，
π
当点 为正六边形各边的中点时，| |取最小值，即| |min = 4sin3 = 2 3，
所以| | ∈ [2 3,4]．
2
所以 = + + = + = 4 ∈ [8,12]，
即 的最小值为 8．
故选：D.
【变式 7-1】（23-24 高一下·重庆·期末）如图，已知正方形 的边长为 2，若动点 在以 为直径的半
圆上（正方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A．[0,2] B．[0,4] C．[0,3] D．[0,1]
【解答过程】取 中点 ，连接 ，求出| |的取值范围，再根据 = + + 结合数
量积的运算律求解即可.
【解答过程】取 中点 ，连接 ，
因为 是边长为 2 的正方形，动点 在以 为直径的半圆上，
所以当 在 点或 点时，| |取得最大值 5，
当 在弧 中点时，| |取得最小值1，
| |的取值范围为 1, 5 ，
1
又因为 = + + ， = = 2 ，| | = 2，
2 2
所以 = +
| |2 2 2= 1| |4 = | | 1，
因为| |的取值范围为 1, 5 ，
2
所以| | 的取值范围为[1,5]， 的取值范围为[0,4]，
故选：B.
【变式 7-2】（23-24 2π高一下·辽宁朝阳·期中）在 △ 中， = 2， = 3，∠ = 3 ， 为 的三等分
点（靠近 点）．
(1)求 的值；
(2)若点 满足 = ，求 的最小值，并求此时的 ．
【解答过程】（1）将 化为 和 表示，利用 和 的长度和夹角计算可得结果；
（2）用 、 表示 ，求出 关于 的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.
【解答过程】（1 1 1）因为 为 的三等分点（靠近 点），所以 = 3 = 3( )，
所以 = + = + 1 13 3 =
1
3 +
2
3 ，
所以 = (13 +
2
3 ) ( ) =
1| |2 + 2| |2 13 3 3
= 13 × 9 +
2
3 × 4
1
3 × 3 × 2 × cos
2π = 23 3.
（2）因为 = ，所以 = ，
因为 = + = + = +( 1) ，
所以 = + ( 1) = + ( 1)| |2
2π
= | || |cos 3 + ( 1)| |
2
2
= 3 + 4 ( 1) = 4 2 7 = 4( 7 ) 498 16，
所以当 = 78时， 取得最小值
49
16.
【变式 7-3】（23-24 高一下·辽宁沈阳·期中）如图，在边长为 2 的等边三角形 中，D 是 的中点.
(1)求向量 与向量 2 的夹角；
(2)若 O 是线段 上任意一点，求 的最小值.
【解答过程】（1）根据平面向量的夹角公式计算可得结果；
（2）将 表示为| |的函数，再根据二次函数知识可求出结果.
【解答过程】（1）由题意可得 = ( + ) = 2 = 3， = ( + ) = 2 = 3，
π
= 2 × 2cos3 = 2，
( 2 )
cos < , 2 >=
| || 2 |
2
=
| | 2 4 + 4 2
3 2 × 3
=
| | 2 4 + 4 2
3
= 1
3× 22
=
4×2+4×22 2.
因为0 ≤< , 2 >≤ π，
2π
故向量 与向量 2 的夹角为 3 .
（2） = ( + ) = 2
π
= | |2 | | | | cos 6
= | |2 3| |
2
= | | 3 3
2 4.
当| | = 3时， 3取得最小值，且最小值为 .
2 4
