专题 6.5 平面向量的应用【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 用向量证明平面几何中的平行问题】 ....................................................................................................1
【题型 2 用向量证明平面几何中的垂直问题】 ....................................................................................................4
【题型 3 用向量解决夹角问题】 ............................................................................................................................8
【题型 4 用向量解决线段的长度问题】 ..............................................................................................................11
【题型 5 向量与几何最值】 ..................................................................................................................................15
【题型 6 向量在几何中的其他应用】 ..................................................................................................................19
【题型 7 向量在物理中的应用】 ..........................................................................................................................22
【知识点 1 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ∥ = -
=0 ( ≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直
的条件： =0 + =0.
③求夹角问题，利用夹角公式： = = .
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| |= 或|AB|=| |=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转
化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【题型 1 用向量证明平面几何中的平行问题】
【例 1】（24-25 高一·上海·课堂例题）如图，已知 , 是平行四边形 的对角线 上的两点，且
= ，求证：四边形 是平行四边形．
【解题思路】设 = , = ， = (0 < < 1)，根据平面向量共线定理证明即可．
【解答过程】证明：设 = , = ，则 = + ，设 = (0 < < 1)，
所以 = + = ，
所以 = + = + + = (1 ) + (1 ) ，
= = + = ( 1) + ，
= = (1 ) (1 ) = ( 1) + ，
所以 = ，
所以四边形 是平行四边形．
【变式 1-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，已知 △ ，D、E 分别是 AB、AC 的中点，求证； ∥
．
【解题思路】用 , 表示 , ，然后由共线向量定理即可证明.
【解答过程】 = ，
因为 D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以 = 2 ， = 2 ,
所以 = = 2 2 = 2 ,
所以 ∥ ，因为 , , , 不在一条线上，
所以 ∥ .
【变式 1-2】（23-24 高一下·河北保定·期中）已知 > 0, > 0，如图，在 △ 中，点 , 满足 =
， = , 1是线段 上一点， = 3 ，点 为 的中点，且 , , 三点共线．
(1)求3 + 6 的最小值．
(2)若点 满足2 = + ，证明： // ．
1 1 1 1
【解题思路】（1）根据向量的线性运算可得 = 3 + 6 ，根据 , , 三点共线可得3 + 6 = 1，利
用“1”的代换可求3 + 6 的最小值.
2 1（ ）根据向量的线性运算可得 = 12 ，故可证 // .
1 = + = + 1 = + 1 = 2 1【解答过程】（ ）由题可知 3 3 3 + 3 ，
因为点 为 的中点，所以 = 12 =
1 1
3 + 6 .
∵ = , = , = 1 13 + 6 ，
因为 , , 1 1三点共线，所以3 + 6 = 1，
∴ 3 + 6 = (3 + 6 ) 1 + 1 = 2 + 6 + 3 ≥ 2 + 2 = 4，
3 6 3 6
= 2 1当且仅当 3, = 3时，等号成立．
所以3 + 6 的最小值为 4.
（2）
由2 = + ，则2 = + + + 1，即 = 4 + ，
= = 1 1 1 + 1 4 + = 12
1
12 =
1
3 6 12
，
所以 // ，又 , , 三点不共线，所以 // ．
【变式 1-3】（23-24 高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形 中， 、 依次是对角线 上的
两个三等分点，设 = ， = .
(1)请用 与 表示 ;
(2)用向量方法证明：四边形 是平行四边形.
【解题思路】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可.
【解答过程】（1）因为 、 依次是对角线 上的两个三等分点，
所以 = 23 ，
于是有 = + = + 23 = +
2 1 2
3 + = 3 + 3 =
1
3 +
2
3 ，
即 = 2 13 3 ；
（2）因为 、 依次是对角线 上的两个三等分点，
所以 = 13 ，
= + = + 1 = + 1 = 1 2 1于是有 3 3 + 3 3 = 3
2
3 ，
= 2 + 1 2 1即 3 3 ，因此 = 3 3 ，
显然有 = ， , 不共线，
因此 // 且 = ，
所以四边形 是平行四边形.
【题型 2 用向量证明平面几何中的垂直问题】
【例 2】（23-24 高一下·河南信阳·期中）已知在 △ 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在
边上，且 = ，设 与 相交于点 ．记 = ， = ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2)若| | = 2
1
| |，设 ， 的夹角为 ，若cos = 4，求证： ⊥ ．
【解题思路】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；
（2）以 ， 为基底表示出 , ，结合已知求 = 0可证.
【解答过程】（1） = = ，由题意得 = 1 = 14 4 ，
= + = + 1 = 3 1所以 4 4 + 4 ．
（2 1 1）由题意， = + = + 2 = 2 ．
∵| | = 2
1
| |，cos = 4，∴ =
1
| | | | cos = 2| |
2．
∴ = 1 =
1
2
2 = 12| |
2 12| |
2 = 0，
2
∴ ⊥ ．
【变式 2-1】（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形 中，E，F 分别是边
， 的中点， 与 交于点 M.
(1)设 = ， = ，用 ， 表示 ， ；
(2)猜想 与 的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【解题思路】（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明 ⊥ 即可.
1 1 1
【解答过程】（1） = + = + 2 = + 2 = + 2 ，
= = 12 =
1
2 ；
（2） ⊥ ，证明如下：
1
由（1）知 = + 2 ， =
1
2 ，
2
所以 = + 1 1
1 1 3
= 2 ，
2 2 2 2 4
2
设| | = | | = ，则 = 1 2 1 32 2 4 =
1
2
2 1 2 32 4 × 0 = 0，
所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，得证.
【变式 2-2】（24-25 高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中， △ 的三个顶点坐标分别为
(0, )， ( ,0)， ( ,0)(且 ≠ 0)，D 为 AB 的中点，E 为 △ 的重心，F 为 △ 的外心．
(1)求重心 E 的坐标；
(2)用向量法证明： ⊥ ．
【解题思路】（1）求出 D 的坐标，根据重心坐标公式即可求出 E 的坐标；
（2）求出 F 的坐标，证明 = 0即可．
【解答过程】（1）如图，
∵ (0, )， ( ,0)， ( ,0)，
∴ , ，则由重心坐标公式，得 , ；
2 2 6 2
3
（2） = , ．
2 2
易知 △ 的外心 F 在 y 轴上，可设为(0, )．
由| | = | |，得( )2 = ( )2 + 2，
2 2
∴ =
2 2
2 ，即 0,
．
2
∴ =
2
, ．
6 2
→ →
∴ = ( 3
2
2 ) × ( 6) +
2 × (
2 ) = 0，
∴ ⊥ ，即 ⊥ ．
【变式 2-3】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形 的边长为6, 是 的中点， 是 边
上靠近点 的三等分点， 与 交于点 ．
(1)求∠ 的余弦值．
(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点，在这个过程中，是否存在这样的点 ，使得 ⊥ ？若存
在，求出 的长度，若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）如图所示，建立以点 为原点的平面直角坐标系，由于∠ 就是 , 的夹角，从而利
用向量夹角的坐标表示即可求解；
18 6
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解 , ，分点 在 上、点 在 上，结合向量垂直的坐标
7 7
表示即可求解.
【解答过程】（1）如图所示，建立以点 为原点的平面直角坐标系．
则 (0,6), (3,0), (0,0), (6,2), ∴ = (3, 6), = (6,2)．
由于∠ 就是 , 的夹角．
18 12∴ cos∠ = 2| || | = = ∴ ∠
2
9+36 36+4
的余弦值为 ．
10 10
（2）设 ( , ), ∴ = ( , 6), ∵ ∥ , ∴ 3( 6) +6 = 0, ∴ 2 + 6 = 0
∵ = 6( , ), = (6,2), ∥ , ∴ 2 6 = 0, ∴ = 3 , ∴ 7 = 6, ∴ = 7．
∴ = 18, ∴ 18 67 , ．7 7
由题得 = (3,2)．
①当点 在 上时，设 ( ,0),(0 ≤ ≤ 6), ∴ = 18 , 6 ，
7 7
∴ 3 54
2 2
7
12
7 = 0, ∴ =
22
7 , ∴
22 ,0 , ∴ | | = 4 + 6 = 2 13；
7 7 7 7
②当点 在 上时，设 (6, ),(0 < ≤ 6), ∴ = 24 , 6 ，
7 7
∴ 72 +2 127 7 = 0, ∴ =
30
7 ，舍去．
综上，存在 22 ,0 ,
2
| | = 13．
7 7
【题型 3 用向量解决夹角问题】
【例 3】（23-24 高一下·山东菏泽·期末）如图，在 △ 中，已知 = 1， = 3，∠ = 60°，且 +
+ = 0.求cos∠ .
1 1
【解题思路】根据向量线性运算结合已知 + + = 0可得故 = 3( + )， = 3(2 )，平
方后利用数量积的运算法则求得| |,| |，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【解答过程】由题意得| | = 3,| | = 1， , 的夹角为∠ = 60°，
+ + = 0，则 + = ，
又 = , = ，所以 + = + = 3 ，
故 = 13( + )
1 1 1
，同理 = 3( + ) = 3( + ) = 3(2 )
于是
2
| |2 = [ 1 ( + )] = 19(
2 +2 + 2) = 19(9 + 2 × 3 × 1 ×
1
2 +1) =
13
3 9 ，
∴ | | = 13，
3
1 2 1
| |2 = 3 (2 ) = 9 (
2 4 + 4 2)
= 1 19(9 4 × 3 × 1 × 2 +4) =
7, ∴ | | = 79 ，3
1 1
( + ) (2 )
∴ cos∠ = = 3 3
| | | | | | | |
1 (2 2
1 1
+ 2) (2+3×1× 9)9 2 11= 9 = 11 9113 7 = =2 91 .| | | | × 1823 3
【变式 3-1】（23-24 高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°, ,
边上的两条中线 AM，BN 相交于点 .
(1)求 AM 的长度；
(2)求∠MPB 的正弦值.
1
【解题思路】（1）根据 AM 是中线，由 = 2 + 求解；
（2）易知∠ 为向量 , 的夹角 , ，然后利用平面向量的夹角公式求解.
【解答过程】（1）解：因为 AM 是中线，
1
所以 = 2 + ，
2 21
2
所以 = 1 394 + 2 + = 4 4 + 2 2 5
1 + 25 = ，
2 4
则| | = 39；2
（2）由图象知：∠ 为向量 , 的夹角 , ，
因为 = = 12 ，
2
= = 1
2 2 2
所以 = + 14 2 ，
= 4 2 5 1 25 212 + 4 = 4 ，则| | =
21，
2
2 2
又 = 12 +
1
1 = 2 +
1 1 ，
2 2 2
= 12 4 +
1 2 5 1 1 25 = 3，
2 2 2
3 4
所以cos∠ = cos , = | = 39 21 = ， | | | 2 2 91
因为∠ ∈ (0,π)，
2
所以sin∠ = 1 4 = 5 273.
91 91
【变式 3-2】（23-24 高一下·福建厦门·期末）在四边形 中， = 2 2 ， = +3 ， = 2 ，
其中 ， 为不共线的向量．
(1)判断四边形 的形状，并给出证明；
(2)若| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为60 ， 为 中点，求∠ ．
【解题思路】（1）根据向量线性运算判断 , 的关系即可；
（2）利用向量数量积先求| |，| |和 ，然后由向量夹角公式可得.
【解答过程】（1）因为 = +3 ， = 2 ，
所以 = = 2 + 3 = ，
又因为 = 2 2 ，所以 = 2 ，
又因为 , , , 四点不共线，所以 ∥ 且 ≠ ，所以四边形 为梯形．
（2）因为 = 2 2 ，
所以| | = 2 2 2 = 4 2 8 + 4 2 = 2 3，
1
因为 为 中点，所以 = 2 + = ，
所以| | = | | = 2，所以 = 2 2 = 2 2 2 = 8 2 = 6，
6
所以cos∠ = = = 3| ， | | | 2×2 3 2
π
因为∠ ∈ [0,π]，所以∠ = 6．
【变式 3-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知 △ 是等腰直角三角形，∠ = 90°， 是 边的中点，
⊥ ，垂足为 ，延长 交 于点 ，连接 ，求证：∠ = ∠ .
【解题思路】以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，证明 , 的夹角与
, 的夹角相等，从而证得结论。
【解答过程】如图，以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系.
设 0，2 ， 2， 0 ，则 1， 0 ， = 2， 2 .
设 = ，则 = + = 0，2 + 2 ， 2 = 2 ， 2 2 .
又因为 = 1， 2 ， ⊥ ，所以 = 0，
所以 2 + 2 2(2 2 )=0，解得 = 3，所以 =
4
， 2 .3 3
1 2
所以 = = ， .3 3
又因为 = 1， 0 ，
所以cos∠ = 5| || | = ，cos∠ =
5
5 | || |
= .
5
又因为∠ ，∠ ∈ 0， ，所以∠ = ∠ .
【题型 4 用向量解决线段的长度问题】
【例 4】（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在 △ 中， = 4, = 6, = 12 , =
1
2 , =
1
2 , = 4.
(1)求 的长；
(2)求 的长.
【解题思路】（1）确定 = 13 ， =
2
3 ， = 18，| | =
2
，计算得到答案.
2
（2） = 23 +
1 2
3 ，| | = +
1 ，计算得到答案.
3 3
1 = + = 1 1【解答过程】（ ） 3 3 =
1 1 1
3 3 = 3 ；
= + = 23 +
2
3 =
2 2 2
3 + 3 = 3 ，
= 29 = 4，故 = 18，
| | = 2 = 2 2 + 2 = 16 + 36 + 36 = 2 22.
（2） = + = + 1 1 2 13 = + 3 = 3 + 3 ，
2
| 2 1 4 4 1 | = 3 + 3 = 9
2 + 9 + 9
2
= 4 × 16 4 × 18 + 1 × 36 = 2 7.
9 9 9 3
【变式 4-1】（23-24 高二上·浙江·期末）如图，在 △ 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60°， ， 分
别为 1， 上的两点 = 2 ， =
1
3 ， ， 相交于点 ．
(1)求| |的值；
(2)求证： ⊥ ．
【解题思路】（1）用 、 表示 ，再根据数量积的定义及运算律计算可得；
（2）用 、 表示 、 ，根据数量积的运算律求出 ，即可得证.
1
【解答过程】（1）因为 = 3 ，
所以 = + = + 1 = + 1 2 13 3 = 3 + 3 ，
| |2 2 1 2 4 2 4 1 2所以 = + = 9 + 9 + 9 =
4 4 1 1
9 × 4 + 9 × 2 × 4 × 2 + 9 × 16 =
16
3 3 3 ，
所以| | = 4 3；3
（2）因为 = 12 ，
所以 = + = + 12 ，
2 2
所以 = 2 2 1 2 1 + 1 + 1 = 3 +3 3 2 6 = 3 × 4 + 6 × 16 = 0，
所以 ⊥ ，即 ⊥ ，所以 ⊥ ．
π
【变式 4-2】（22-23 高一下·广东广州·期中）如图，在 △ 中， = 3, = 2,∠ = 3, 是 边的中点，
⊥ , 与 交于点 .
(1)求 和 的长度；
(2)求cos∠ .
【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得 的长；利用向量法即可求得 的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得cos∠ 的值.
π π
【解答过程】（1） ∵ 是高， ∴ ∠ = 2，在 Rt △ 中， = 2,∠ = 3，
π
所以 = sin∠ = 2sin3 = 3.
∵ 是中线， ∴ = 12 + ，
2 1 2 1 2 2
∴ = 2 + = 4 + 2 +
= 1 2 194 3 + 2 × 3 × 2cos
π + 22 = 4 ， ∴ =
19
3 2
19
∴ = 3, = 2
π
（2） ∵ = cos3 = 1 =
1
3 , ∴ =
1
3 ，
1
∴ = = 3
1 1
∴ = 2 + 3
1 2 2 1 2 1 2 π 1 3
= 2 + 3 3 = 2 2
2 + 3 × 3 × 2cos 3 3 × 3
2 = 2
3
∴ cos∠ = cos , = 2 57| | = = . | | 19 × 3 19
2
另解：过 D 作 // 交 于 ，
∵ 是 的中点， ∴ 是 的中点，
∴ = = = 1, 是 △ 的中位线， 是 △ 的中位线，
∴ = 1 = 1 = 32 4 , =
1 19
4 2
= ，
4
3
cos∠ = cos∠ = =
4 57
19 = .19
4
【变式 4-3】（23-24 高一下·浙江台州·期中）在直角梯形 中，已知 ∥ ， ⊥ ， = 1，
= 2， = 3，动点 、 分别在线段 和 上， 和 交于点 ，且 = ， = (1 ) ，
∈ ．
(1)当 = 0时，求 的值；
(2) 2 当 = 3时，求 的值；
(3)求| + 1 的取值范围．2 |
【解题思路】(1)在直角梯形 ABCD 中，根据几何关系求出∠ABC 和 BC 长度，当 AE⊥BC 时，求出 BE 长度，
= 从而可得 ；
(2)设 = ， = ，以 , 为基底用两种形式表示出 ，从而可得关于 x、y 的方程组，解方
程组可得 = 1 ；
2
(3)以 , 为基底表示出 、 1，从而表示出 + 2 ，求出| + 1 2 | 的范围即可求出| + 1 的范2 |
围．
【解答过程】（1）在直角梯形 中，易得∠ = 4， = 2 2，
∵ = 0，∴ ⊥ ，∴ △ 为等腰直角三角形，∴ = 3 2，
2
故 = 3 = 4；
（2） = + = + = + + + = + +
3
= 1 2 + ，
3
2 5
当 = 3时， = 9 +
2
3 ，
设 = ， = ，
则 = = 59 +
2
3 ，
= + = + = + ( + ) = + (1 ) ，
5 =
∵ , ∴ 9 = 5 5不共线， 2 ，解得 ，即 = ； = 1 1 6 6
3
（3）∵ = + = +(1 ) = + 1 3
2
， = + 1 ，
3
∴ + 12 = 1 +
+ 5 2 ，
2 6 3
| 1 2 2 5 2 2 2 5 2 2 + 2 | = 1 + 2 | |2 + | |26 3 = 4 1 + 2 + 9 6 3
2
＝( + 2)2 + 5 2 = 5 2 6 + 412 4 ，
由题意知， ∈ [0,1]，
2
∴ = 3 3 3 41当 5时，| + |取到最小值 5 × 6 × + ＝
13 5，
5 5 4 10
当 = 0时，| + |取到最大值 41，2
∴| + 1 |的取值范围是 13 5 , 41 ．2 10 2
【题型 5 向量与几何最值】
【例 5】（23-24 高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形 ABCD 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°
， = = 1．若点 E 为边 CD 上的动点（不与 C、D 重合），则 的最小值为（ ）
A 13 21．12 B．16 C． 3 D．1
【解题思路】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得 , 的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二
次函数知识，即可求得答案.
【解答过程】由于 ⊥ , ⊥ ，
如图，以 D 为坐标原点，以 , 为 , 轴建立直角坐标系，
连接 ,由于 = = 1，则 △ ≌ △ ,
而∠ = 120 ，故∠ = ∠ = 60°，则∠ = 60°，
3 3
则 (0，0), (1,0), (2, ), (0, 3)，2
设 (0, ),0 ≤ ≤ 3，则 = (1, )， = (
3
2,
3 )，
2
= 3
2
故 2 +
2 3 = ( 3 ) + 21
2 4 16
，
= 3当 时， 21有最小值
4 16
，
故选：B．
【变式 5-1】（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且
⊥ ， M 是圆 O 外一点， = 2，则| + + 2 |的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【解题思路】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.
【解答过程】连接 ，如下图所示：
因为 ⊥ ，则 为圆 O 的一条直径，故 O 为 的中点，
所以 + = ( + ) + ( + ) = 2 ，
所以 | + +2 | = |2 +2( + )|
= |4 + 2 | ≤ 4| | + 2| |
= 4 × 2 + 2 × 1 = 10 .
当且仅当 M 、O 、C 共线且 、 同向时，等号成立，
因此，| + + 2 | 的最大值为10 .
故选：C.
【变式 5-2】（23-24 高一下·浙江宁波·期中）已知矩形 中，| | = 2,| | = 1, 为 中点， 为边
上的动点（不包括端点）.
(1)求 的最小值；
(2)设线段 与 的交点为 ，求 的最小值.
【解题思路】（1）以点 为原点建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标公式求得结果；
（2）根据三角形相似得出 = ，再求出 的坐标，利用向量数量积的坐标公式求得结果.
【解答过程】（1）设 = ( ∈ (0,2))，如图建立直角坐标系：
∵ (0,0), (0,1), ( ,1), (2,0)，
∴ = ( , 1), = (2 , 1)
∴ = (2 ) + ( 1) × ( 1) = 2 2 + 1 = ( 1)2
当 = 1时， 有最小值，最小值为 0；
（2）由图可得： △ ∽△
则 =
1 1
= ∴ = +1
1
∴ = ( ,1), = + 1 , + 1
2 1
= + 1 + + 1
=
2+1 = ( +1)
2 2
+1 +1 = + 1
2 2
+1 = ( + 1) + +1 2 ≥ 2 2 2，
当且仅当 + 1 = 2 +1即 = 2 1时取等号，
∴ 的最小值为2 2 2.
【变式 5-3】（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC 中，已知 = 2， = 1， = 1， =
(0 ≤ ≤ 1)，Q 为线段 CA 延长线上的一点，且 = ( < 0).
(1)当 = 1 = 1且 2，设 PQ 与 AB 交于点 M，求线段 CM 的长；
(2)若 +3 = ，求 t 的最大值.
【解题思路】（1）用 , 表示 ，结合向量的模公式，即可求得本题答案；
（2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到7 2 +2 4 + 1 = 5 1，然后分离变量，利用
函数的单调性即可求得本题答案.
1 1【解答过程】（ ）因为 = 1且 = 2，所以 是 的中点， 是 的中点，则 M 是 △ 的重心，
设 = ， =
1 1 1 1
所以 = 3 + = 3 2 = 3 = 3 ，
| 2 | = 1 = 1 2 2 + 2 = 4 + 2 + 1 = 19；
3 9 3 9 3 3
（2）因为 = (0 ≤ ≤ 1)， = ( < 0)，
所以 = + = + = +(1 ) = +(1 ) ，
= = + (1 ) = +( + 1) ，
= + (1 ) = 2 + (1 ) = 5 1，
= + ( 1) + ( + 1) = 7 2 +2 4 + 1，
由 +3 = ，得：7 2 +2 4 + 1 = 5 1，
所以 (1 2 ) = 7 2 9 + 5，因为 < 0，7 2 9 + 5 > 0，
1 2
所以2 < ≤ 1 =
7 9 +5
， 1 2 ，
7 2 9
令 = 1 2 ∈ = (1 ) (1 )+5 = 7 + 9[ 1,0)，则 4 2 4 4 +1在[ 1,0)单调递减，
所以当 = 1时， 有最大值－3.
【题型 6 向量在几何中的其他应用】
2
【例 6】（23-24 高一下·湖南常德·期中）在 △ 中， + = 0 ， 2| = ，则 △ 的形状 | | | 2
为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
π π
【解题思路】由数量积的运算律得到 = 0，即可得到∠ = 2，再由数量积的定义求出∠ = 4，
即可判断.
2
【解答过程】因为 + = 0，即 + = 0，即 = 0，
π
所以 ⊥ ，即 ⊥ ，则∠ = 2，
又| |表示与
同向的单位向量，| |表示与 同向的单位向量，
π
所以| | | | = 1 × 1 × cos∠ =
2 π，又∠ ∈
2 0, ，所以∠ = ，2 4
π
所以∠ = 4，
所以 △ 是等腰直角三角形．
故选：A.
【变式 6-1】（23-24 高二上·河南省直辖县级单位·开学考试）如图所示，O 点在 △ 内部， , 分别是 ,
边的中点，且有 +2 +3 = 0，则 △ 的面积与 △ 的面积的比为（ ）
A 3 2．2 B．3 C
4 3
．3 D．4
| | 3
【解题思路】由题意可知 , , 三点共线，且| | = 2，再由三角形面积公式即可求解.
【解答过程】由 +2 +3 = 0可得 + = 2 + ，
又因为 , 分别是 , 边的中点，
所以 + = 2 ， + = 2 ，
所以2 = 4 ，即 = 2 ，
| | 3
所以 , , 三点共线，且| | = 2，
所以 到 的距离与 到 3的距离之比也为2，
又 △ 的面积与 △ 的面积都以 为底，
3
所以 △ 的面积与 △ 的面积的比为2．
故选：A.
【变式 6-2】（24-25 高一下·四川凉山·阶段练习）用向量的方法证明如图，在 中，点 E，F 分别是
AD 和 DC 边的中点，BE，BF 分别交 AC 于点 R，T．你能发现 AR，RT，TC 之间的关系吗？
1 1
【解题思路】根据向量基本定理得到 = 2 + ，结合 , , 三点共线，求出 = 3，同理可证出 = 3
，得到结论.
【解答过程】因为四边形 为平行四边形，所以 = + ，
设 = ，
因为 是 的中点，所以 = 2 ，
故 = = + = 2 + = 2 + ，
又因为 , , 三点共线，
可设 = ，即 = ，
即 = + (1 ) ，
= 2 3 = 1 = 1故 1 = ，相加可得 ，解得 3，
1
故 = 3 ，
同理可证 = 13 ，
故可知 , 为 的三等分点，
故 = = .
【变式 6-3】（24-25 高一下·辽宁·阶段练习）已知点 (2,0)， (8,3)， (6, 1)， 为线段 的中点， 为线
段 上靠近 的三等分点.
(1)求 ， 的坐标.
(2)在① △ ，②△ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.
问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由.
（注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【解题思路】（1 2）根据中点坐标公式求出 的坐标，先得到 = 3 = (4,2)，从而得到 点的坐标；
（2）根据数量积的正负判断角的类型，得到三角形的形状.
8+6 3 1
【解答过程】（1）因为 2 = 7, 2 = 1，故 的坐标为(7,1)，
= 2(6,3)，故 = 3 = (4,2)，
所以 = + = (6,2)，即 的坐标为(6,2)；
（2）选①， △ 为钝角三角形，
理由如下：由（1）可知 = (4,2)， = (5,1)， = ( 1,1)，
因为 = 4 × 5 + 2 × 1 = 22 > 0，所以∠ 为锐角.
易得 = ( 5, 1)，因为 = 5 1 = 4 > 0，所以∠ 为锐角.
因为 = = 4 + 2 = 2 < 0，所以∠ 为钝角.
故 △ 为钝角三角形.
选②，△ 为锐角三角形.
理由如下：由（1）可知 = ( 1, 2)， = ( 2, 1)， = ( 1,1)，
因为 = 2 + 2 = 4 > 0，所以∠ 为锐角.
易得 = (1,2)，因为 = 1 + 2 = 1 > 0，所以∠ 为锐角.
因为 = = 2 1 = 1 > 0，所以∠ 为锐角.
故△ 为锐角三角形.
【知识点 2 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有
大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即 W=| || | .功是一个实数，它可正，可负，
也可为零.
(2)动量涉及物体的质量 m，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型 7 向量在物理中的应用】
【例 7】（23-24 高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为
，两人手臂上的拉力分别为 1， 2，且| 1| = | 2|， 1与 2的夹角为 ，下列结论中正确的是（ ）
A． 越小越费力， 越大越省力 B．始终有| 1| = | 2| = | |2
C = 2π
π
．当 3 时，| 1| = | | D．当 = 2时，| 1| = | |
| |
【解题思路】根据题意，由向量的平行四边形法则可得| 1| = | 2| = 2cos ，由此分析选项，即可得答案．
2
【解答过程】根据题意，由于 1 + 2 = ，又由| 1| = | 2|，
则有向量 1， 2为邻边的四边形为菱形，
| |
则有| 1| = | 2| = 2cos ， ∈ [0,π],
2
对于 A，由于| |不变，则 越小越省力， 越大越费力，A 错误；
| |
对于 B，由于| 1| = | 2| = 2cos ，B 错误；
2
2π | |
对于 C，当 = 3 时，| 1| = | 2| = 2cos π = | |，C 正确；3
π | |
对于 D，当 = 2时，| 1| = | 2| = 22cos π = | |，D 错误．
4 2
故选：C.
【变式 7-1】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡
河．小船航行速度的大小为15km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5km/h，求小船实际航行速度
的大小与方向( )．
A 15 15． 2 3km/h 正北 B． 2 3km/h与水流方向夹角为63.4°
C 15 15． 2 7km/h与水流方向夹角为41° D． 2 3km/h垂直于河岸
【解题思路】作出示意图，将船速分解到沿河岸方向和垂直于河岸方向，与水流速度对比即可得到合速度(实
际速度)．
【解答过程】如图， 为河水速度， 为小船航行速度，设 为小船实际航行速度．
设 为渡口 在对岸对应的点，则∠ = 90 ，∠ = 30 ，
在 △ 中，∵ = | | = 15 1，∴ = 2 = 7.5 = | |，
∴E | | = = 2 2 = 2 2 = 15和 重合， | | | | 15 7.5 2 3(km/h)．
∴ 15小船实际航行速度的大小为 2 3km/h，方向为正北方向．
故选：A.
【变式 7-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）两个力 1 = + , 2 = 4 5 作用于同一质点，使该质点从点
(20,15)移动到点 (7,0)（其中 , 分别是与 轴、 轴同方向的单位向量）．求：
(1) 1, 2分别对该质点做的功；
(2) 1, 2的合力 对该质点做的功．
【解题思路】（1）根据数量积的坐标运算求得正确答案.
（2）先求得 1 + 2，然后根据数量积的坐标运算求得正确答案.
【解答过程】（1）依题意， = (7,0) (20,15) = ( 13, 15)，
所以 1做的功为 1 = (1,1) ( 13, 15) = 13 15 = 28J.
2做的功为 2 = (4, 5) ( 13, 15) = 13 × 4 5 × ( 15) = 23J.
（2） = 1 + 2 = (5, 4)，
所以合力 对该质点做的功为：
(5, 4) ( 13, 15) = 5 × ( 13) + ( 4) × ( 15) = 65 + 60 = 5J.
【变式 7-3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度 = 500m，一艘船从
点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为| 1| = 10km/ ，水流速度的大小为| 2| = 4km/ ，设 1和 2的
夹角为 (0° < < 180°)．
(1)当cos 多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
【解题思路】（1）由题意， = 1 + 2且与 2垂直，即( 1 + 2) 2 = 0，根据数量积的定义即可求解；
1 21
（2）设船航行到对岸所需的时间为th，则 = | 1|sin = 20sin ，比较 = 90°和sin = 两种情况即可求解.5
【解答过程】（1）解：船垂直到达对岸，即 = 1 + 2且与 2垂直，即( 1 + 2) 2 = 0，
所以 1 + 22 2 = 0，即| 1|| 2|cos + | 2|2 = 0，
所以40cos + 16 = 0，解得cos = 25；
（2 0.5 1）解：设船航行到对岸所需的时间为th，则 = | 1|sin = 10sin = 20sin (h)，
所以当 = 90° 1时，船的航行时间最短为20h，
21
而当船垂直到达对岸时，由（1）知sin = ，
5
0.5 21 21 1
所需时间 = | |sin = 10× 21 = (h)， > ，1 5 84 84 20
故当船垂直到达对岸时，航行所需时间不是最短．专题 6.5 平面向量的应用【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 用向量证明平面几何中的平行问题】 ....................................................................................................1
【题型 2 用向量证明平面几何中的垂直问题】 ....................................................................................................3
【题型 3 用向量解决夹角问题】 ............................................................................................................................4
【题型 4 用向量解决线段的长度问题】 ................................................................................................................6
【题型 5 向量与几何最值】 ....................................................................................................................................8
【题型 6 向量在几何中的其他应用】 ....................................................................................................................9
【题型 7 向量在物理中的应用】 ..........................................................................................................................10
【知识点 1 平面几何中的向量方法】
1．平面几何中的向量方法
(1)用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将
几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面几何中常见的应用
①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： ∥ = -
=0 ( ≠0).
②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直
的条件： =0 + =0.
③求夹角问题，利用夹角公式： = = .
④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| |= 或|AB|=| |=
.
(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转
化为向量问题；
第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系.
【题型 1 用向量证明平面几何中的平行问题】
【例 1】（24-25 高一·上海·课堂例题）如图，已知 , 是平行四边形 的对角线 上的两点，且
= ，求证：四边形 是平行四边形．
【变式 1-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，已知 △ ，D、E 分别是 AB、AC 的中点，求证； ∥
．
【变式 1-2】（23-24 高一下·河北保定·期中）已知 > 0, > 0，如图，在 △ 中，点 , 满足 =
， = , 1是线段 上一点， = 3 ，点 为 的中点，且 , , 三点共线．
(1)求3 + 6 的最小值．
(2)若点 满足2 = + ，证明： // ．
【变式 1-3】（23-24 高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形 中， 、 依次是对角线 上的
两个三等分点，设 = ， = .
(1)请用 与 表示 ;
(2)用向量方法证明：四边形 是平行四边形.
【题型 2 用向量证明平面几何中的垂直问题】
【例 2】（23-24 高一下·河南信阳·期中）已知在 △ 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在
边上，且 = ，设 与 相交于点 ．记 = ， = ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2) 1若| | = 2| |，设 ， 的夹角为 ，若cos = 4，求证： ⊥ ．
【变式 2-1】（23-24 高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形 中，E，F 分别是边
， 的中点， 与 交于点 M.
(1)设 = ， = ，用 ， 表示 ， ；
(2)猜想 与 的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想.
【变式 2-2】（24-25 高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中， △ 的三个顶点坐标分别为
(0, )， ( ,0)， ( ,0)(且 ≠ 0)，D 为 AB 的中点，E 为 △ 的重心，F 为 △ 的外心．
(1)求重心 E 的坐标；
(2)用向量法证明： ⊥ ．
【变式 2-3】（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形 的边长为6, 是 的中点， 是 边
上靠近点 的三等分点， 与 交于点 ．
(1)求∠ 的余弦值．
(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点，在这个过程中，是否存在这样的点 ，使得 ⊥ ？若存
在，求出 的长度，若不存在，请说明理由．
【题型 3 用向量解决夹角问题】
【例 3】（23-24 高一下·山东菏泽·期末）如图，在 △ 中，已知 = 1， = 3，∠ = 60°，且 +
+ = 0.求cos∠ .
【变式 3-1】（23-24 高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°, ,
边上的两条中线 AM，BN 相交于点 .
(1)求 AM 的长度；
(2)求∠MPB 的正弦值.
【变式 3-2】（23-24 高一下·福建厦门·期末）在四边形 中， = 2 2 ， = +3 ， = 2 ，
其中 ， 为不共线的向量．
(1)判断四边形 的形状，并给出证明；
(2)若| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为60 ， 为 中点，求∠ ．
【变式 3-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知 △ 是等腰直角三角形，∠ = 90°， 是 边的中点，
⊥ ，垂足为 ，延长 交 于点 ，连接 ，求证：∠ = ∠ .
【题型 4 用向量解决线段的长度问题】
【例 4】（24-25 1 1高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在 △ 中， = 4, = 6, = 2 , = 2 , =
1
2 , = 4.
(1)求 的长；
(2)求 的长.
【变式 4-1】（23-24 高二上·浙江·期末）如图，在 △ 中，已知 = 2， = 4，∠ = 60°， ， 分
1 1
别为 ， 上的两点 = 2 ， = 3 ， ， 相交于点 ．
(1)求| |的值；
(2)求证： ⊥ ．
π
【变式 4-2】（22-23 高一下·广东广州·期中）如图，在 △ 中， = 3, = 2,∠ = 3, 是 边的中点，
⊥ , 与 交于点 .
(1)求 和 的长度；
(2)求cos∠ .
【变式 4-3】（23-24 高一下·浙江台州·期中）在直角梯形 中，已知 ∥ ， ⊥ ， = 1，
= 2， = 3，动点 、 分别在线段 和 上， 和 交于点 ，且 = ， = (1 ) ，
∈ ．
(1)当 = 0时，求 的值；
(2)当 = 2 3时，求 的值；
(3)求| + 1 的取值范围．2 |
【题型 5 向量与几何最值】
【例 5】（23-24 高一下·浙江宁波·期末）如图，在平面四边形 ABCD 中， ⊥ ， ⊥ ，∠ = 120°
， = = 1．若点 E 为边 CD 上的动点（不与 C、D 重合），则 的最小值为（ ）
A 13 21．12 B．16 C． 3 D．1
【变式 5-1】（23-24 高一下·广东东莞·开学考试）如图， A 、 B 、 C 三点在半径为 1 的圆 O 上运动，且
⊥ ， M 是圆 O 外一点， = 2，则| + + 2 |的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
【变式 5-2】（23-24 高一下·浙江宁波·期中）已知矩形 中，| | = 2,| | = 1, 为 中点， 为边
上的动点（不包括端点）.
(1)求 的最小值；
(2)设线段 与 的交点为 ，求 的最小值.
【变式 5-3】（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC 中，已知 = 2， = 1， = 1， =
(0 ≤ ≤ 1)，Q 为线段 CA 延长线上的一点，且 = ( < 0).
(1)当 = 1且 = 12，设 PQ 与 AB 交于点 M，求线段 CM 的长；
(2)若 +3 = ，求 t 的最大值.
【题型 6 向量在几何中的其他应用】
2
【例 6】（23-24 高一下·湖南常德·期中）在 △ 中， + = 0，| | =
2
| ，则 △ 的形状 | 2
为（ ）
A．等腰直角三角形 B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形 D．等腰（非直角）三角形
【变式 6-1】（23-24 高二上·河南省直辖县级单位·开学考试）如图所示，O 点在 △ 内部， , 分别是 ,
边的中点，且有 +2 +3 = 0，则 △ 的面积与 △ 的面积的比为（ ）
A 3．2 B
2
．3 C
4 3
．3 D．4
【变式 6-2】（24-25 高一下·四川凉山·阶段练习）用向量的方法证明如图，在 中，点 E，F 分别是
AD 和 DC 边的中点，BE，BF 分别交 AC 于点 R，T．你能发现 AR，RT，TC 之间的关系吗？
【变式 6-3】（24-25 高一下·辽宁·阶段练习）已知点 (2,0)， (8,3)， (6, 1)， 为线段 的中点， 为线
段 上靠近 的三等分点.
(1)求 ， 的坐标.
(2)在① △ ，②△ 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答.
问题：按角分类，判断______的形状，并说明理由.
（注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分）
【知识点 2 向量在物理中的应用】
1．力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有
大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.
2．速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
3．向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
(1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即 W=| || | .功是一个实数，它可正，可负，
也可为零.
(2)动量涉及物体的质量 m，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数乘运算.
【题型 7 向量在物理中的应用】
【例 7】（23-24 高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为
，两人手臂上的拉力分别为 1， 2，且| 1| = | 2|， 1与 2的夹角为 ，下列结论中正确的是（ ）
A | |． 越小越费力， 越大越省力 B．始终有| 1| = | 2| = 2
2π πC．当 = 3 时，| 1| = | | D．当 = 2时，| 1| = | |
【变式 7-1】（23-24 高一下·广东广州·阶段练习）有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡
河．小船航行速度的大小为15km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5km/h，求小船实际航行速度
的大小与方向( )．
A 15 15． 2 3km/h 正北 B． 2 3km/h与水流方向夹角为63.4°
C 15． 2 7km/h
15
与水流方向夹角为41° D． 2 3km/h垂直于河岸
【变式 7-2】（24-25 高一下·全国·课后作业）两个力 1 = + , 2 = 4 5 作用于同一质点，使该质点从点
(20,15)移动到点 (7,0)（其中 , 分别是与 轴、 轴同方向的单位向量）．求：
(1) 1, 2分别对该质点做的功；
(2) 1, 2的合力 对该质点做的功．
【变式 7-3】（24-25 高一·全国·课后作业）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度 = 500m，一艘船从
点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为| 1| = 10km/ ，水流速度的大小为| 2| = 4km/ ，设 1和 2的
夹角为 (0° < < 180°)．
(1)当cos 多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
