专题 6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 向量的几何表示与向量的模
1．（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB 为直径，点 O 为圆心，C 为半圆上一点，
且∠ = 30°，| | = 2，则| |等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【解题思路】根据| | = | |，可得∠ = ∠ = 30°，进一步得出答案.
【解答过程】如图，连接 AC，
由| | = | |，得∠ = ∠ = 30°.
因为 为半圆上的点，所以∠ = 90°，
所以| | = 1 2| | = 1．
故选：A.
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形 中，若 = 1，则| + + | =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2 3
【解题思路】由正六边形性质可得 = ,进而由向量的加法法则求解即可
【解答过程】由题,可知 = ,
所以| + + | = | + + | = | | = 2,
故选：B.
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格上，求：
(1)| |；
(2)| |；
(3)| |．
【解题思路】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解.
【解答过程】（1）| | = 32 + 32 = 3 2；
（2）| | = 12 + 52 = 26；
（3）| | = 22 + 22 = 2 2.
4．（24-25 高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为 1）中，画出下列向量．
(1)| | = 2，点 在点 的正东方向；
(2)| | = 2 2，点 在点 的北偏东45°方向；
(3)求出| |的值．
【解题思路】（1）根据要求画出点 的位置即可；
（2）根据要求画出点 的位置即可；
（3）向量 由点 指向点 ，画出图形即可求出| |．
【解答过程】（1）所求 向量如图所示：
（2）所求 向量如图所示：
（3）由图知， △ 是等腰直角三角形，所以| | = 2．
题型 2 相等向量与共线（平行）向量
1．（2024 高三·全国·专题练习）在 △ 中， = ， 、 分别是 、 的中点，则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． 与 相等 D． 与 相等
【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可.
【解答过程】由题意可知， 与 不共线，A 错；
因为 、 分别是 、 的中点，所以， // ，故 与 共线，B 对；
因为 与 不平行，所以 与 不相等，C 错；
因为 = = ，D 错．
故选：B.
2．（23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形 中， = ，则必有（ ）
A． = B． = C． = D． =
【解题思路】根据 = ，得出四边形 是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可．
【解答过程】四边形 中， = ，则 // 且 = ，
所以四边形 是平行四边形；
则有 = ，故 A 错误；
由四边形 是平行四边形，可知 是 中点，则 = ，B 正确；
由图可知 ≠ ，C 错误；
由四边形 是平行四边形，可知 是 中点， = ，D 错误．
故选：B．
3．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，在矩形 中， = 2 ，B，E 分别为边 AC，DF 的中点，
在以 A，B，C，D，E，F 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与 ， 相反的向量；
(2)分别找出与 ， 相等的向量.
【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解.
【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量.
与 相反的向量有 ， ， ；与 相反的向量有 ， .
（2）方向相同，大小相等的向量是相等向量.
则 ， 与 方向相同，且长度相等， 故与 相等的向量为 ， .
同理，与 相等的向量为 .
4．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图， 为正方形 对角线的交点，四边形 ， 都是正方
形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与 ， 相等的向量；
(2)写出与 的相反向量；
(3)写出与 模相等的向量.
【解题思路】（1）根据相等向量的定义直接求解即可；
（2）根据相反向量的定义直接求解即可；
（3）根据模相等向量的定义求解即可.
【解答过程】（1）由题意 = ， = ．
（2）由题意，与 的相反向量为： ， ．
（3）由题意，与 模相等的向量为： ， ， ， ， ， ， ．
题型 3 平面向量的线性运算
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，E 为 BC 的中
点，则 = （ ）
A 1．3 +
5 1
3 B．3 +
5
6
C 1 + 1．3 2 D
1 1
． 3 + 6
【解题思路】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解．
【解答过程】因为 = = ( + ) = = 12 ，
3
所以2 = ，即 =
2
3 +
2
3 ，
又 的中点为 E，
1
所以 = 2( ) =
1 1 2 + 2
1
2 2 = 3 +
1 ，
3 3 6
故选：D．
2．（23-24 高一下·江西上饶·期末）已知 为 △ 的重心，则（ ）
A． = 2 13 3 B． =
2
3 +
1
3
C = 1． 3 +
2
3 D． =
1
3
2
3
【解题思路】根据重心的性质及向量的线性运算可得解.
【解答过程】
如图所示，
设 为 中点，
又 为 △ 的重心，
则 = 23 =
1 = 13 + 3 +
1 1 1 1 2 1 2 1
3 = 3 + 3 + 3 = 3 + 3 = 3 + 3 ，
故选：B.
3．（23-24 高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：
(1) + + ．
(2)13(4 +3 )
1 3
2(3 ) 2 ；
(3)2(3 4 + ) 3(2 + 3 )．
【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可；
（2）应用向量的线性运算计算即可；
（3）应用向量的线性运算计算即可.
【解答过程】（1） + + = + + + = + + = ；
2 1 1 3 4 3 1 3 1（ ）3 4 + 3 2 3 2 = 3 + 2 + 2 2 = 6 ；
（3）2(3 4 + ) 3(2 + 3 ) = 6 8 +2 6 3 +9 = 11 +11 .
4．（23-24 高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；
(1)4 + 3 8 ；
(2)3 2 + +4 ；
(3)1 13 2 + 8 4 2 ．2
【解题思路】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果.
【解答过程】（1）4 + 3 8 = 4 +4 3 +3 8 = ；
（2）3 2 + +4 = 3 6 +3 4 4 +4 = 10 +7 ；
1 1 1 1 1 4 4 2
（3）3 2 + 8 4 2 = 6 2 + 8 3 4 2 = 3 + 3 3 + 3 = +2 .2
题型 4 由平面向量的线性运算求参数
1．（24-25 高三上·浙江·期中）在 △ 中，D 是 BC 上一点，满足 = 2 ，M 是 AD 的中点，若 =
+ ，则 + = （ ）
A 5．4 B
7
．8 C
5
．6 D
5
．8
【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
1
【解答过程】由题可知， = 2 2 2 = =
1
2 +
1
2 ， = 2 = 2
= 23 ,
= 1 + 1所以有 2 2 =
1
2 +
1 1 1 5
3 ，所以 = 2, = 3，得 + = 6.
故选：C.
2．（23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形 ABCD 中， = 4 ， + = + ，则 =
（ ）
A．5 B．6 C．－5 D．－6
【解题思路】根据向量的线性表示即可求解.
【解答过程】因为 = 4 ，
所以 + = + +4 = 5 .
所以 = 1 ( 5) = 6.
故选：B.
3．（23-24 高一下·河北石家庄·期中）已知 是 △ 的重心，若 = + , , ∈ R，则 = （ ）
A 1 B 1 1． ． 1 C．3 D． 3
【解题思路】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.
【解答过程】连接 并延长交 于 ，如图，
因为 是 △ 的重心，则 是 的中点，
所以 = = 23 =
2
3 ×
1
2 + =
1
3 + +
= 1 1 23 2 = 3 + 3 ，
又 = + , , ∈ R，所以 = 1 23， = 3，
= 1 2所以 3 3 = 1.
故选：B.
4．（23-24 高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形 ABCD 中，点 E 在线段 AC 上，且 = 2 ，点 F
为线段 AD 的中点，记 = + ( , ∈ R)，则 + = （ ）
A 5 1 1． 6 B． 6 C．2 D
5
．6
【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解.
2 1 2 1 2 1
【解答过程】 = + = 3 + 2 = 3 + + 2 = 3 6
2 1
，所以 = 3， = 6，
5
所以 + = 6.
故选：A.
题型 5 向量数量积的计算
1．（24-25 高一上·全国·期中）若两个单位向量 , 的夹角为60°，则( + ) = （ ）
A 1 3．2 B．1 C．2 D．2
【解题思路】由向量的数量积计算出结果.
2
( + ) = + = | |cos + | 2 | = 1 +1 = 3【解答过程】 | | , 2 2
故选：C.
2．（23-24 高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易
经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等
的图形代表八卦田，已知正八边形 的边长为4，点 是正八边形 的内部（包含边界）
任一点，则 的取值范围是（ ）
A．[ 8 2,16 + 8 2] B．[ 16 8 2,8 2]
C．[ 16 8 2,16 + 8 2] D．[ 8 2,8 2]
【解题思路】延长 , 交于点 ，延长 , 交于点 ，转化为求 的最值，根据数量积的几何意义
可得 的范围．
【解答过程】延长 , 交于点 ，延长 , 交于点 ，
如图所示：
根据正八边形的特征，可知| | = | | = 2 2，
又 = ，
所以 max = = 8 2，
min = = 16 8 2，
则 的取值范围是[ 16 8 2,8 2].
故选：B.
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）设向量 、 、 满足 + + = 0，且| | = 4，| | = 3，| | = 5，求下列各
式的值：
(1) ；
(2) + + ．
【解题思路】（1）先由已知条件得 + = ，接着两边平方计算得 = 0，进而由 = 即
可求解.
（2）将 + + 转化成 + + ，再结合已知| | = 3、 = 0和 = 16即可
求解.
【解答过程】（1）因为 + + = 0，所以 + = ，
2 2 2
所以 + = 即 2 + +2 = 2，
所以16 + 9 + 2 = 25，故 = 0，
所以 = = 2 = 2 = 16.
（2）由（1）得 = 0， = 16，
2
所以 + + = + + = + = 9 + ( 16) = 25.
→ → → →
4．（23-24 高一下·天津·期中）已知| | = 2，| | = 3， 与 的夹角 = 30°，求：
→ →
(1) · ；
→ → → →
(2)( +2 )·(3 )的值；
→ →
(3)| 2 |.
【解题思路】（1）直接代入向量的数量积公式计算即可；
（2）根据向量的运算律计算即可；
→ →2
（3）根据向量模的公式| | = 计算即可.
→ → → →
【解答过程】（1） =| || |cos30°=2 × 3 × 3=3；2
→ → → → →2 → → → → →2 →2 → → →2
（2）( +2 ) (3 ) = 3 +6 2 = 3 +5 2 = 3 × 4 + 5 × 3 2 × 3 = 21；
→ → 2 →2 → → →2
（3）( 2 ) = 4 +4 = 4 4 × 3 + 4 × 3 = 4，
→ →
所以，| 2 | = 2.
题型 6 平面向量基本定理及其应用
1．（23-24 高一下·宁夏银川·期中）如图所示的矩形 中， ， 满足 = ， = 2 ， 为 的中
点，若 = + ，则 的值为（ ）
A 1 2 3．2 B．3 C．4 D．2
【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将 用 , 表示出出来，从而可求得 的值
【解答过程】因为 为 的中点， = ， = 2 ，
所以 = 12 +
1 = 1 1 2 32 2 +
1 + 12 + = 3 + 4 ，2 3
因为 = + ，所以 = 2 33, = 4，
所以 = 2 3 13 × 4 = 2．
故选：A.
2．（23-24 高一下·安徽六安·期末）如图， 为平行四边形 对角线 上一点， , 交于点 , = 14
，若 = + ，则 = （ ）
A．3 B． 3 C．7 D． 7
【解题思路】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可.
1 1
【解答过程】因为 = + = + 4 = + 8 = +
1 7
8 + = 8 +
1
8 ，
7 1
所以 = 8, = 8 = 7，
故选：C.
3．（23-24 高一下·山东·期中）如图，在 △ 中，已知 = 2， = 3，∠ = 60 ，N 是 的中点，
= 23 ，设 与 相交于点 P．
(1)求cos∠ 的值；
(2)若 = + ，求 + 的值．
【解题思路】（1）以 , 为基底表示 , ，利用平面向量数量积公式求其夹角余弦即可；
（2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可.
【解答过程】（1）以 , 为基底，设 = , = ，
则 = 12 =
1
2 ,
= + = + 23 = +
2 1 2
3 = 3 + 3 ，
2 1 2
所以 = 4 +
2 = 9 4 2 × 3 × cos60 +4 =
13 13
4 | | = ，2
2 2
同理 = 1 2 + 4 4 2 139 9 + 9 = ，3
1 2 1 1 2 = 1 1 1 + = 3 2 3
2 = ，
3 3 2 6
1
cos = cos∠ = 1则 , 6| | | | = 13 × 2 13 = 26；
2 3
（2 2 ）因为 、 、 三点共线，不妨设 = = + = 3 + 1 ，3
= = = 同理有 、 、 三点共线，不妨设 1 + (1 ) ，
2
= 1 = = 3 = 1
则有 3 5 52 + =
2
1 = 1 = = 4 = 3 5
.
3 2 5 5
4．（23-24 高一下·广西柳州·期中）如图所示，在 △ 中， 为 边上一点，且 = 3 ．过 点的直线
与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ , 两点不重合）．
(1)用 ， 表示 ；
3
(2)若 = 1， = ，求 + 的值．
【解题思路】（1）根据向量的线性运算即可求解，
（2）根据共线的性质即可求解.
【解答过程】（1）在 △ 中，由 = + ，
又 = 3 3，所以 = 4
所以 = + = + 3 = + 34 4( ) =
1
4 +
3
4
1
（2）因为 = 4 +
3
4 ，又 = ， =
1
所以 = 1 ， = ，
3
所以 = 14 + 4
又 D，E，F 三点共线，且 A 在线外，
1 3 1 3
所以有：4 + 4 = 1，即 + = 4.
题型 7 平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·天津红桥·期中）已知平面向量 = ( 2,3)， = (4, 2)，则 + = （ ）
A．( 2,1) B．( 2, 1) C．(2,1) D．( 2,5)
【解题思路】直接利用向量的坐标运算计算即可.
【解答过程】因为向量 = ( 2,3)， = (4, 2)，所以 + = ( 2,3) + (4, 2) = (2,1).
故选：C.
2．（23-24 高一下·全国·课后作业）已知向量 = (2,1)， = ( 1,1)，若 + = ( ,2)，则 = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据向量坐标的线性运算列方程求解即可.
【解答过程】已知向量 = (2,1)， = ( 1,1)，则 + = (1,2) = ( ,2)，因此， = 1.
故选：B.
3．（2024 高一下·全国·专题练习）已知 = ( 1,2)， = (2,1)，求：
(1)2 +3 ；
(2) 3 ；
(3)12
1
3 .
【解题思路】根据平面向量的坐标的线性运算可得.
【解答过程】（1）2 +3 = 2( 1,2) +3(2,1) = ( 2,4) + (6,3) = (4,7)；
（2） 3 = ( 1,2) 3(2,1) = ( 1,2) (6,3) = ( 7, 1)；
3 1 1 1 1 1 2（ ）2 3 = 2( 1,2) 3(2,1) = ,1 ,
1 = 7 , 2 .
2 3 3 6 3
4．（23-24 高一下·广西桂林·阶段练习）已知 (0,1)， (3,2)， ( 1,5)．
(1)若 2 = ( , )，求 ， ；
(2)若 = 2 +4 ，求点 的坐标．
【解题思路】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得 2 = (5, 7)，即可求解；
（2）设 ( , )，根据平面向量线性运算的坐标表示和 = 2 +4 建立关于 x、y 的方程组即可求解.
【解答过程】（1）依题意得 = (3,1)， = ( 1,4)，
则 2 = (2, 8)，所以 2 = (5, 7)，
所以 = 5， = 7．
（2）由（1）知2 = (6,2)，4 = ( 4,16)，所以2 +4 = (2,18)．
设点 的坐标为( , )，则 = ( , 1)，
因为 = 2 +4 ，所以 = 2， 1 = 18，
所以 = 2， = 19，故点 的坐标为(2,19)．
题型 8 平面向量数量积的坐标表示
1．（23-24 高一下·山东临沂·期中）向量 = (1, 2), = ( 1,3)，则 3 + = （ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
【解题思路】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果.
2
【解答过程】由 = (1, 2), = ( 1,3)可得 2 = 5, = 10, = 7；
2
所以 3 + = 3 2 2 = 3 × 5 + 2 × 7 10 = 19.
故选：A.
2．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量 = (2,1)， = (1,3)那么下列结论中正确的是（ ）
|→ →A． | = 3| | B． = (2,3)
C． 与 的夹角为30 D 1 3． 在 上的投影向量为(2,2)
【解题思路】根据给定条件，利用坐标求模判断 A；利用数量积的坐标表示判断 B；求出向量夹角判断 C；
求出投影向量判断 D.
【解答过程】对于 A，| | = 22 + 12 = 5,| | = 12 + 32 = 10，| | = 2| |，A 错误；
对于 B， = 2 × 1 + 1 × 3 = 5，B 错误；
5 π
对于 C，cos , = = = 2，而0 ≤ , ≤ π，则 , =5× 10 4，C 错误；| || | 2
D 5对于 ， 在 上的投影向量为 = 10(1,3) = (
1,3
2 2 2)，D 正确.| |
故选：D.
3．（23-24 高一下·天津滨海新·期末）已知向量 , 满足 = (2,1), = (1, 3)．
(1)求向量 , 的数量积 ；
(2)求向星 , 夹角 的余弦值；
(3)求| + 2 |的值．
【解题思路】（1）根据向量数量积坐标公式计算即可；
（2）根据向量数量积夹角坐标公式计算即可；
（3）先求出向量坐标再应用向量模长坐标公式计算即可；
→
【解答过程】（1）由题设， = 2 × 1 + 1 × ( 3) = 1.
（2）| | = 22 + 12 = 5,| | = 12 + ( 3)2 = 10，
→
1
所以cos = | ||→| == =
2
5× 10
.
10
（3） ∵ +2 = (2,1) +2(1, 3) = (4, 5)，
∴ | + 2 | = 42 + ( 5)2 = 41.
4．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知向量 = ( 1,1)， = (6,2)， = ( 1, 3)，
(1)求 ；
(2)求 与 夹角 的余弦值；
(3)若向量 + 与 互相垂直，求实数 的值.
【解题思路】（1）根据向量的数量积坐标表示即可；
（2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可；
（3）计算出 + = ( + 6, + 2)，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解答过程】（1）因为 = ( 1,1), = (6,2)，
∴ = ( 1) × 6 + 1 × 2 = 4.
（2） ∴ | | = 12 + 12 = 2，| | = 62 + 22 = 2 10，
4
∴ cos = = = 5
| || | 2×2 10
.
5
（3）因为向量 = ( 1,1), = (6,2), = ( 1, 3)，
所以 + = ( 1,1) + (6,2) = ( + 6, + 2)，
因为 + ⊥ ，
所以 + = ( 1) × ( + 6) + ( 3) × ( + 2) = 0，解得 = 6.
题型 9 用向量解决平面几何中的垂直问题
1．（23-24 高二上·广东佛山·期中）已知 △ 的三个顶点分别是 ( 1,0)， (1,0)， 1 , 3 ，则 △ 的
2 2
形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】利用向量数量积的坐标表示即可求得 = 0，由模长公式计算可得| | ≠ | |，即可得出
结论.
【解答过程】易知 = 3 , 3 , = 1 , 3 ，
2 2 2 2
可得 = 3 × 1 + 3 × 32 = 0，即 ⊥ ，且| | = 3 ≠ | | = 1，2 2 2
所以可得 △ 的形状是直角三角形.
故选：B.
2．（24-25 高一·全国·课前预习）在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别在 BC、CD 上，且满足 BC＝3MC，
DC＝4NC，若 AB＝4，AD＝3，则△AMN 的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【解题思路】由图猜测 AN 与 MN 垂直，故验证 是否为零即可.
【解答过程】∵ = + + = + 3 1 1
4 3 4
= 1 1 33| |2 3 |2 =16| 3 × 9 16 × 16 = 0.
∴ ⊥ ，
∴ △ 是直角三角形.
故选：C.
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，在正方形 中，P 是对角线 AC 上一点， 垂直 于点 E，
垂直 于点 F．求证： ⊥ ．
【解题思路】设 = ，借助正方形的性质与向量的线性运算可得 = + (1 ) ， = (1 )
+ ，计算其数量积即可得证.
【解答过程】设 = ，由 为正方形，则有 = ， = ，
则 = = = + = + (1 ) ，
= = + = (1 ) + ，
故 = + (1 ) (1 ) +
2 2
= ( 1)| | + (1 )| | + ( 2 + 1)
2 2
= ( 1) | | | | + ( 2 + 1)
= 0 + 0 = 0，故 ⊥ .
4．（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形 的边长为6, 是 的中点， 是 边上靠近点
的三等分点， 与 交于点 ．
(1)求∠ 的余弦值．
(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点，在这个过程中，是否存在这样的点 ，使得 ⊥ ？若存
在，求出 的长度，若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）如图所示，建立以点 为原点的平面直角坐标系，由于∠ 就是 , 的夹角，从而利
用向量夹角的坐标表示即可求解；
18 6
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解 , ，分点 在 上、点 在 上，结合向量垂直的坐标
7 7
表示即可求解.
【解答过程】（1）如图所示，建立以点 为原点的平面直角坐标系．
则 (0,6), (3,0), (0,0), (6,2), ∴ = (3, 6), = (6,2)．
由于∠ 就是 , 的夹角．
18 12
∴ cos∠ = 2| || | = = ∴ ∠
2
9+36 36+4 的余弦值为 ． 10 10
（2）设 ( , ), ∴ = ( , 6), ∵ ∥ , ∴ 3( 6) +6 = 0, ∴ 2 + 6 = 0
∵ = ( , ), = (6,2), ∥ , ∴ 2 6 = 0, ∴ = 3 , ∴ 7 = 6, ∴ =
6
7．
∴ = 18, ∴ 18 , 67 ．7 7
由题得 = (3,2)．
① 18 6当点 在 上时，设 ( ,0),(0 ≤ ≤ 6), ∴ = , ，
7 7
∴ 3 54 12
2 2
7 7 = 0, ∴ =
22 22
7 , ∴ ,0 , ∴ | | =
4 + 6 = 2 13；
7 7 7 7
② 24 6当点 在 上时，设 (6, ),(0 < ≤ 6), ∴ = , ，
7 7
∴ 72 127 +2 7 = 0, ∴ =
30
7 ，舍去．
22 2
综上，存在 ,0 ,| | =
7 7
13．
题型 10 用向量解决物理中的相关问题
1．（23-24 高一下·河北保定·期中）平面上三个力 1， 2， 3作用于一点且处于平衡状态，| 1| = 1N，| 2|
= 2N， 1与 2的夹角为 45°，则| 3|的大小为（ ）
A． 3N B．5N C． 5N D． 6N
【解题思路】根据平衡状态得 3 = 1 + 2 ，结合向量的数量积求解即可．
【解答过程】由题意得， 3 = 1 + 2 ，
| 2 2 2所以 3| = | 1 + 2 | = 1 + 2 = 1 + 2 1 2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5N，
故选：C．
2．（23-24 高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽600m，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.
设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h，水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时，船行驶所
用的时间（保留两位小数）为（ ）
A．0.17h B．0.15h C．0.13h D．0.10h
【解题思路】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度 必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合
速度，从而可求出航行时间.
【解答过程】设一艘船从岸边 A 处出发到河的正对岸，设船的速度| 1| = 4km/h，水流速度| 2| = 2km/h，
要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度 必须垂直于对岸，
如图指：| | = | 1|2 | 2|2 = 2 3 km h ，
0.6 3
所以 = | | = = ≈ 0.17h2 3 .10
故选：A.
3．（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小
相等且均为 ，两人手臂间的夹角为 ，水和水桶的总重力为 ，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析
拉力 与重力 的关系．
【解题思路】设两人的拉力分别为 1、 2，作 = 1， = 2，作 = ，以 、 为邻边作平行四
| |
边形
，则 为两人拉力的合力，分析可得| | = 2cos ，分析当 变大时，| |的变化，即可得出结论.
2
【解答过程】解：设两人的拉力分别为 1、 2，作 = 1， = 2，作 = ，
以 、 为邻边作平行四边形 ，则 为两人拉力的合力，
水桶在两人的合力下处于平衡状态，则 和 互为相反向量，
因为| | = | | = | |，则四边形 为菱形，
连接 交 于点 ，则 为 的中点，且 ⊥ ，且∠ = 2，0 ≤ < 180 ，
| | = | |cos 2 = | |cos
2，所以，| | = | | = 2| | = 2| |cos2，
所以，| | | | = 2cos ，
2
又因为0 ≤ 2 < 90 ，所以，| |随着 的增大而增大.
4．（23-24 高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度 = 1km，一艘游船从南岸码
头 点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 1，水流速度 2的大小为| 2| = 4km/h.设 1和 2的夹角为
(0 < < 180 )，北岸上的点 ′在点 的正北方向.
(1)若游船沿 ′到达北岸 ′点所需时间为6min，求 1的大小和cos 的值；
(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
【解题思路】（1）设游船的实际速度为| |km/h，由速度合成得 = 1 + 2，根据| 1|2 = | |2 + | 22| 求得
结果.
（2）设到达北岸 点所用时间为 h，根据 2 = | |2 = 2( 1 + 22) 计算 长度，得出结果.
【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为| |km/h，
由 ′ = 1km,6min = 0.1h，得| | = 10km/h，| 2| = 4km/h.
如图所示速度合成示意图，由| |2 = | |2 + | |2 = 1021 2 + 42 = 116，得| 1| = 2 29km/h，
| |
cos = 2 = 2 29| .1| 29
2 29
所以 1的大小为2 29km/h,cos 的值为 .29
（2）当 = 60 ,| 1| = 10km/h时，设到达北岸 点所用时间为 h，作出向量加法示意图如图所示，
2 = | |2 = 2( 2 21 + 2) = (102 + 42 + 2 × 10 × 4 × cos60 ) = 156 2，则 = 2 39 ，
1 1
在 Rt △ ′ 中， | 1|cos30 = 1，从而 = 5 3 h，因此 = × 25 3 39 =
2 13
，
5
2 13
故游船的实际航程为 km.
5
题型 11 余弦定理解三角形
1．（23-24 1高一下·四川凉山·期末）在 △ 中， = 6， = 10，cos = 2，则边 = （ ）
A．6 B．10 C．14 D．10 3
【解题思路】根据余弦定理可求 的值.
【解答过程】由余弦定理可得 2 = 36 + 100 2 × 6 × 10 × 1 = 196，故 = 14
2
故选：C.
2．（23-24 高一下·天津河北·期中）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 = 29， = 3，
= 2 2，则 等于（ ）
π π
A B 2 3．6 ．4 C．3π D．4π
3π
【解题思路】利用余弦定理可得cos = 2，可求 = 4 .2
【解答过程】在 △ 中， = 29， = 3， = 2 2，
2 2 2 2 2 2
cos = + = 3 +(2 2) ( 29)由余弦定理可得 2 =
2，
2×3×2 2 2
因为0 < < π，所以 = 3π4 .
故选：D.
3．（23-24 高一下·福建莆田·期末）设 △ 的内角 , , 所对的边分别为 , , ．
(1)证明： = cos + cos ；
π
(2)若 = 5， = 3， =
5
2 +7cos ，求 ．
【解题思路】（1）直接使用余弦定理即可证明；
（2）先得到( 7)cos = 0，然后分情况讨论 的取值.
2 2 2+ 2 2 2+ 2 2 2 2 2 2 21 = = + = + + +
2
【解答过程】（ ）由余弦定理即得 2 2 2 2 2 = cos + cos .
5 π
（2）由已知有7cos = 2 = 5cos3 = cos = cos ，故( 7)cos = 0.
若cos = 0 = 5，则 2 +7cos =
5
2；
1 2+ 2 2 2 = 7 = cos = = 25+ 49若 ，则2 2 10 ，解得 = 8或 = 3（舍去）.
= 5所以 2或 = 8.
π
4．（23-24 高一下·重庆·期末）在 △ 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边， = 7， = 2， = 3.
(1)求 a 的值；
(2)求sin( )的值.
【解题思路】(1)利用余弦定理可得：7 = 2 +4 2 × 2 × 12进一步求解即可.
（2）利用余弦定理和两角和与差的公式求解即可.
【解答过程】（1） △ 中， = 7， = 2， = 3，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即7 = 2 +4 2 × 2 × 12,
整理可得： 2 2 3 = 0，解得 = 3或 = 1(舍)，
所以 = 3；
2
2 cos = +
2 2 7+4 9 7
（ ）由余弦定理可得 2 = =2 7×2 ，14
在三角形中，可得 sin = 1 cos2 = 3 21,14
所以sin( ) = sin cos cos sin = 3 × 7
1 × 3 212 =
21.
2 14 14 14
题型 12 正弦定理解三角形
π
1．（23-24 高一下·广西玉林·期中）△ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 3, = 2, = 3，则 =
（ ）
π
A B 3π
π π
．4 ． 4 C
3π
．6 D．4或 4
【解题思路】由正弦定理可得sin = 2，再由边角关系确定角的大小即可.
2
3
【解答过程】由题意，在 △ 中sin =
= 2sin ，则sin π ，所以sin =
2，
3 sin 2
π π π
因为 ∈ (0,π)，所以 = 3π4或 4 ，又 > , = 3，所以 = 4．
故选：A.
π
2．（23-24 高一下·江苏常州·期末）在 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 = 3，tan =
3
， = 7，则 = （ ）2
A．2 B． 5 C．3 D． 7
【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得sin ，利用正弦定理可求解.
【解答过程】由tan = 3 sin 3，可得cos = ，又sin
2 + cos2 = 1，
2 2
2 2
所以( 3 cos ) + cos2 = 1，解得cos =±2 7，
π
又因为tan = 3 > 0，0 < < π，所以0 < < 3 3
2 2
，所以sin = cos = ，
2 7
7
由正弦定理可得sin = sin ，所以 3 = 3，解得 = 2.2 7
故选：A.
3．（2024 高二下·福建·学业考试）在 △ 中，已知 cos + cos = 2 cos
(1)求角 ；
(2)若 2 +2 2 = 8，求边 的取值范围.
【解题思路】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到cos = 2，即可求解；
2
3 4 4
（2）根据条件，利用正弦定理得到2 +
5sin(2 ) = 2，从而得到
3 5 ≤ ≤ 3+ 5 2 ，即可求解.2 2 2
【解答过程】（1）由 cos + cos = 2 cos ，得到sin cos + sin cos = 2sin cos ，
所以sin( + ) = sin = 2sin cos ，又 ∈ (0,π)，则sin ≠ 0，
π
得到cos = 2，所以 = 4.2
π sin sin
（2）由正弦定理知sin = sin = sin ，又 = 4，所以 = 2 = 2 sin ， = 2 = 2 sin ，2 2
由 2 +2 2 = 8，得到2 2sin2 + 4 2sin2 = 8，整理得到sin2 + 2sin2 = 4 2，
1 cos2 4 3π
所以 2 +1 cos2 = 2，又 + = 4 ，
3 1 3π
所以2 2cos2( 4 ) cos2 =
3 + 12 2sin2 cos2 =
4
2，
3
得到2 +
5sin(2 ) = 4 2，其中tan = 2
3π
，2 ∈ 0, ，2 2
则3 5 ≤ 4 3+ 5 2 ≤ ，解得 5 1 ≤ ≤ 5 +1，2 2
所以边 的取值范围为 5 1 ≤ ≤ 5 +1.
4．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）记 △ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ( 3sin + cos )
= + ．
(1)求 ；
π
(2)若 = 6， = 4，线段 延长线上一点 满足 = 4，求 的长．
【解题思路】（1）由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式可得 3sin cos = 1，最后由辅助角公
π 1
式可得sin = 2，进而求出角 的大小；6
（2）由正弦定理可得 的值，再由余弦定理可得 的值．
【解答过程】（1）因为 ( 3sin + cos ) = + ，
由正弦定理可得 3sin sin + sin cos = sin + sin = sin( + ) + sin ，
而sin( + ) = sin cos + cos sin ，
所以 3sin sin cos sin = sin ，又因为 ∈ (0,π)，则sin > 0，
所以 3sin cos = 1 π
1
，整理可得sin = ，
6 2
π
又因为 ∈ (0,π)，则 π 5π6 ∈ , ，6 6
π π π
可得 6 = 6，则 = 3；
（2）在 △ 中，由正弦定理sin = sin∠ ，
6
即 2 = 3，解得 = 2，
2 2
π 2π
因为∠ = 3，由题意可得∠ = 3 ， = 4，
在 △ 中， = = 2，
由余弦定理可得 = 2 + 2 2 cos∠ = 4 + 16 2 × 2 × 4 × 1 = 2 7．
2专题 6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 向量的几何表示与向量的模
1．（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB 为直径，点 O 为圆心，C 为半圆上一点，
且∠ = 30°，| | = 2，则| |等于（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形 中，若 = 1，则| + + | =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2 3
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格上，求：
(1)| |；
(2)| |；
(3)| |．
4．（24-25 高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为 1）中，画出下列向量．
(1)| | = 2，点 在点 的正东方向；
(2)| | = 2 2，点 在点 的北偏东45°方向；
(3)求出| |的值．
题型 2 相等向量与共线（平行）向量
1．（2024 高三·全国·专题练习）在 △ 中， = ， 、 分别是 、 的中点，则（ ）
A． 与 共线 B． 与 共线
C． 与 相等 D． 与 相等
2．（23-24 高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形 中， = ，则必有（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．（24-25 高一下·全国·课前预习）如图，在矩形 中， = 2 ，B，E 分别为边 AC，DF 的中点，
在以 A，B，C，D，E，F 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)分别找出与 ， 相反的向量；
(2)分别找出与 ， 相等的向量.
4．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图， 为正方形 对角线的交点，四边形 ， 都是正方
形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与 ， 相等的向量；
(2)写出与 的相反向量；
(3)写出与 模相等的向量.
题型 3 平面向量的线性运算
1．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形 中， // ， = 2 = 2 = 2，E 为 BC 的中
点，则 = （ ）
A 1．3 +
5
3 B
1 5
．3 + 6
C 1．3 +
1
2 D
1
． 3 +
1
6
2．（23-24 高一下·江西上饶·期末）已知 为 △ 的重心，则（ ）
A 2 1． = 3 3 B． =
2
3 +
1
3
C． = 13 +
2
3 D． =
1 23 3
3．（23-24 高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式：
(1) + + ．
(2)1 1 33(4 +3 ) 2(3 ) 2 ；
(3)2(3 4 + ) 3(2 + 3 )．
4．（23-24 高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算；
(1)4 + 3 8 ；
(2)3 2 + +4 ；
(3)1 13 2 + 8 4 2 ．2
题型 4 由平面向量的线性运算求参数
1．（24-25 高三上·浙江·期中）在 △ 中，D 是 BC 上一点，满足 = 2 ，M 是 AD 的中点，若 =
+ ，则 + = （ ）
A 5 B 7 C 5 D 5．4 ．8 ．6 ．8
2．（23-24 高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形 ABCD 中， = 4 ， + = + ，则 =
（ ）
A．5 B．6 C．－5 D．－6
3．（23-24 高一下·河北石家庄·期中）已知 是 △ 的重心，若 = + , , ∈ R，则 = （ ）
A 1 1．1 B． 1 C．3 D． 3
4．（23-24 高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形 ABCD 中，点 E 在线段 AC 上，且 = 2 ，点 F
为线段 AD 的中点，记 = + ( , ∈ R)，则 + = （ ）
A 5 B 1 C 1 5． 6 ． 6 ．2 D．6
题型 5 向量数量积的计算
1．（24-25 高一上·全国·期中）若两个单位向量 , 的夹角为60°，则( + ) = （ ）
A 1 3．2 B．1 C．2 D．2
2．（23-24 高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易
经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等
的图形代表八卦田，已知正八边形 的边长为4，点 是正八边形 的内部（包含边界）
任一点，则 的取值范围是（ ）
A．[ 8 2,16 + 8 2] B．[ 16 8 2,8 2]
C．[ 16 8 2,16 + 8 2] D．[ 8 2,8 2]
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）设向量 、 、 满足 + + = 0，且| | = 4，| | = 3，| | = 5，求下列各
式的值：
(1) ；
(2) + + ．
→ → → →
4．（23-24 高一下·天津·期中）已知| | = 2，| | = 3， 与 的夹角 = 30°，求：
→ →
(1) · ；
→ → → →
(2)( +2 )·(3 )的值；
→ →
(3)| 2 |.
题型 6 平面向量基本定理及其应用
1．（23-24 高一下·宁夏银川·期中）如图所示的矩形 中， ， 满足 = ， = 2 ， 为 的中
点，若 = + ，则 的值为（ ）
A 1 B 2 3．2 ．3 C．4 D．2
2．（23-24 高一下·安徽六安·期末）如图， 为平行四边形 对角线 上一点， , 交于点 , = 14
，若 = + ，则 = （ ）
A．3 B． 3 C．7 D． 7
3．（23-24 高一下·山东·期中）如图，在 △ 中，已知 = 2， = 3，∠ = 60 ，N 是 的中点，
= 23 ，设 与 相交于点 P．
(1)求cos∠ 的值；
(2)若 = + ，求 + 的值．
4．（23-24 高一下·广西柳州·期中）如图所示，在 △ 中， 为 边上一点，且 = 3 ．过 点的直线
与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ , 两点不重合）．
(1)用 ， 表示 ；
3
(2)若 = ， = 1，求 + 的值．
题型 7 平面向量线性运算的坐标表示
1．（23-24 高一下·天津红桥·期中）已知平面向量 = ( 2,3)， = (4, 2)，则 + = （ ）
A．( 2,1) B．( 2, 1) C．(2,1) D．( 2,5)
2．（23-24 高一下·全国·课后作业）已知向量 = (2,1)， = ( 1,1)，若 + = ( ,2)，则 = （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024 高一下·全国·专题练习）已知 = ( 1,2)， = (2,1)，求：
(1)2 +3 ；
(2) 3 ；
(3)1 12 3 .
4．（23-24 高一下·广西桂林·阶段练习）已知 (0,1)， (3,2)， ( 1,5)．
(1)若 2 = ( , )，求 ， ；
(2)若 = 2 +4 ，求点 的坐标．
题型 8 平面向量数量积的坐标表示
1．（23-24 高一下·山东临沂·期中）向量 = (1, 2), = ( 1,3)，则 3 + = （ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
2．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量 = (2,1)， = (1,3)那么下列结论中正确的是（ ）
|→ →A． | = 3| | B． = (2,3)
C． 与 的夹角为30 D． 在 上的投影向量为(12,
3
2)
3．（23-24 高一下·天津滨海新·期末）已知向量 , 满足 = (2,1), = (1, 3)．
(1)求向量 , 的数量积 ；
(2)求向星 , 夹角 的余弦值；
(3)求| + 2 |的值．
4．（23-24 高一下·北京通州·期中）已知向量 = ( 1,1)， = (6,2)， = ( 1, 3)，
(1)求 ；
(2)求 与 夹角 的余弦值；
(3)若向量 + 与 互相垂直，求实数 的值.
题型 9 用向量解决平面几何中的垂直问题
1．（23-24 高二上·广东佛山·期中）已知 △ 的三个顶点分别是 ( 1,0)， (1,0)， 1 , 3 ，则 △ 的
2 2
形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
2．（24-25 高一·全国·课前预习）在平行四边形 ABCD 中，M、N 分别在 BC、CD 上，且满足 BC＝3MC，
DC＝4NC，若 AB＝4，AD＝3，则△AMN 的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
3．（23-24 高一·上海·课堂例题）如图，在正方形 中，P 是对角线 AC 上一点， 垂直 于点 E，
垂直 于点 F．求证： ⊥ ．
4．（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形 的边长为6, 是 的中点， 是 边上靠近点
的三等分点， 与 交于点 ．
(1)求∠ 的余弦值．
(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点，在这个过程中，是否存在这样的点 ，使得 ⊥ ？若存
在，求出 的长度，若不存在，请说明理由．
题型 10 用向量解决物理中的相关问题
1．（23-24 高一下·河北保定·期中）平面上三个力 1， 2， 3作用于一点且处于平衡状态，| 1| = 1N，| 2|
= 2N， 1与 2的夹角为 45°，则| 3|的大小为（ ）
A． 3N B．5N C． 5N D． 6N
2．（23-24 高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽600m，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.
设船在静水中行驶的速度的大小为4km/h，水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时，船行驶所
用的时间（保留两位小数）为（ ）
A．0.17h B．0.15h C．0.13h D．0.10h
3．（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小
相等且均为 ，两人手臂间的夹角为 ，水和水桶的总重力为 ，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析
拉力 与重力 的关系．
4．（23-24 高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度 = 1km，一艘游船从南岸码
头 点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 1，水流速度 2的大小为| 2| = 4km/h.设 1和 2的夹角为
(0 < < 180 )，北岸上的点 ′在点 的正北方向.
(1)若游船沿 ′到达北岸 ′点所需时间为6min，求 1的大小和cos 的值；
(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
题型 11 余弦定理解三角形
1．（23-24 1高一下·四川凉山·期末）在 △ 中， = 6， = 10，cos = 2，则边 = （ ）
A．6 B．10 C．14 D．10 3
2．（23-24 高一下·天津河北·期中）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，已知 = 29， = 3，
= 2 2，则 等于（ ）
π π
A 2 3．6 B．4 C．3π D．4π
3．（23-24 高一下·福建莆田·期末）设 △ 的内角 , , 所对的边分别为 , , ．
(1)证明： = cos + cos ；
π
(2)若 = 5， = 3， =
5
2 +7cos ，求 ．
π
4．（23-24 高一下·重庆·期末）在 △ 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边， = 7， = 2， = 3.
(1)求 a 的值；
(2)求sin( )的值.
题型 12 正弦定理解三角形
π
1．（23-24 高一下·广西玉林·期中）△ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，若 = 3, = 2, = 3，则 =
（ ）
π 3π π πA．4 B． 4 C
3π
．6 D．4或 4
π
2．（23-24 高一下·江苏常州·期末）在 △ 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 = 3，tan =
3
， = 7，则 = （ ）2
A．2 B． 5 C．3 D． 7
3．（2024 高二下·福建·学业考试）在 △ 中，已知 cos + cos = 2 cos
(1)求角 ；
(2)若 2 +2 2 = 8，求边 的取值范围.
4．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）记 △ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ( 3sin + cos )
= + ．
(1)求 ；
π
(2)若 = 6， = 4，线段 延长线上一点 满足 = 4，求 的长．
