专题 6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 向量坐标的线性运算解决几何问题
1．（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系 中，点 ( 1,2)， (1,1)，记 = ， =
．
(1)设 在 上的投影向量为 （ 是与 同向的单位向量），求 的值；
(2)若四边形 为平行四边形，求点 C 的坐标．
【解题思路】（1）根据投影向量的定义，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，得到 = ，转化为坐标运算，即可求解.
【解答过程】（1）设 与 的夹角为 ，
= cos = =
1×1+2×1
则 | | | | | | | | = =
2
1+1 ．| | 2
（2）设点 ( , )，因为四边形 为平行四边形，所以 = ．
又 = ( 1,2)， = (1 ,1 )，
1 = 1 = 2
所以 1 = 2 ，解得 = 1 ．
故 (2, 1)．
2．（24-25 高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系 中，| | = 2| | = 2 ∠ =
2
， 3 ，
= ( 1, 3).
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）求四边形 的面积.
【解题思路】（1）设 ( , )，根据题中条件，得到 = 2 + cos 2 ， = sin 2 ，再由向量的3 3
坐标表示，根据 = ( 1, 3)，即可求出点 的坐标；
（2）先用向量的方法，证明四边形 为等腰梯形；连接 ，延长 交 轴于点 ，
得到 △ ， △ 均为等边三角形，进而可求出四边形面积.
【解答过程】（1）在平面直角坐标系 中，| | = 2| | = 2，所以 (2,0)，
又∠ = 2 3 ，设 ( , )，
则 = 2 + cos
5
2 = 2， = sin
2 = 3，
3 3 2
5所以点 , 3 ；
2 2
又 = ( 1, 3)，所以 = + = 1 + 5 , 3 + 3 = 3 , 3 3 ，
2 2 2 2
3即点 , 3 3 ；
2 2
2 1 3 1（ ）由（ ）可得， = , 3 3 ， = , 3 ，
2 2 2 2
所以 = 3 ，即 // ；
又| | = 1 + 3 = 2 = | |，
所以四边形 为等腰梯形；
连接 ，延长 交 轴于点 ，则 △ ， △ 均为等边三角形.
∴ = = 3 2 3 2△ △ 3 1 = 24 4 3.
3．（23-24 高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形 中， ⊥ ， ∥ ， = = 1， = 2， ，
分别为 ， 的中点，点 在以 为圆心的圆弧 上运动，若 = + ，求2 的取值范围．
【解题思路】设 (cos ,sin ), ∈ 0, ，根据 = + 得出2 = sin cos = 2sin ，最后
2 4
由正弦函数的性质得出2 的取值范围
【解答过程】设 (cos ,sin ), ∈ 0, ， (1,0), (0,1), 3 , 1
2 2 2
则 = (cos ,sin ), = 3 , 1 , = ( 1,1)
2 2
因为 = + ，所以(cos ,sin ) = + 3 , + 1
2 2
+ 3 = cos
2 = 3sin 1cos = 1 1即
+ 1
，解得 ， sin + cos
= sin 4 4 2 2
2
所以2 = sin cos = 2sin
4
∈ , 因为 4 ，所以sin
∈ 2 , 2
4 4 4 2 2
即2 ∈ [ 1,1].
4．（24-25 高一·湖南·课后作业）如图，已知 A（－2，1），B（1，3）．
(1)求线段 AB 的中点 M 的坐标；
(2)若点 P 是线段 AB 的一个三等分点，求点 P 的坐标．
【解题思路】（1）根据中点坐标公式进行求解即可；
（2）根据平面共线向量的性质进行求解即可.
【解答过程】（1）设 ( , )，
因为 A（－2，1），B（1，3），
= 2+1 = 1, = 1+3 1所以 2 2 2 = 2，即 ( 2,2)；
（2）设 ( , )，
1
= 1 1
+ 2 = × 3 = 1
当 3 时，有( + 2, 1) =
3 5
3(3,2) 1 = ( 1,
5
3)； 1 = × 2
3 3
+ 2 = 2
× 3 = 0
当 = 23 时，有( + 2, 1) =
2
3(3,2)
3 7
1 = 2 × 2 =
7 (0,3).
3 3
5．（24-25 高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室 A B C，互相之间均有直道相连， = 2千米，
= 2 3千米， = 4千米，保安甲沿 CB 从警卫室 C 出发前往警卫室 B，同时保安乙沿 BA 从警卫室 B 出
发前往警卫室 A，甲的速度为 2 千米/小时，乙的速度为 1 千米/小时.
(1)保安甲从 C 出发 1.5 小时后达点 D，若 = + ，求实数 x y 的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过 2 千米，试问有多长时间两人不能
通话？
【解题思路】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的
坐标，根据坐标运算可以计算出实数 x y 的值；（2）表示出点 的坐标之后可以把 坐标表示，立出不等
式解不等式即可.
【解答过程】（1）因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
(0,0), (2,0), (0,2 3)，
C D = 2 设保安甲从 出发 小时后达点 ，所以有 4 =
2 ，
设 ( 1, 1)，由 =
2 ( 1,
1 2 3) = 2(2, 2 3) 1 = , 1 = 2 3 3 ，
即 ( ,2 3 3 )，当 = 1.5时， (
3 3
2, )，2
由 = + (32,
3) = (2,0) + (0,2 ) = (2 ,2 )
2 3 3
3 = 2
2 = 33 , =
1
= 2 3 4 4
；
2
（2）设保安乙从 B 出发 小时后达点 E，所以点 E 的坐标为(2 ,0)，
于是有 = (2 2 , 3 2 3)，
因为对讲机在公园内的最大通话距离超过 2 千米，两人不能通话，
所以有| | > 2，所以 (2 2 )2 + ( 3 2 3)2 > 2
6
解之： > 2或 < 7，又0 ≤ ≤ 2
6
所以两人约有7小时不能通话.
题型二 用向量证明线段垂直
用向量证明线段垂直
6．（23-24 高一·上海用向·课量证堂明线例段垂题直）如图，在正方形 中，P 是对角线 AC 上一点， 垂直 于点 E，
垂直 于点 F．求证： ⊥ ．
【解题思路】设 = ，借助正方形的性质与向量的线性运算可得 = + (1 ) ， = (1 )
+ ，计算其数量积即可得证.
【解答过程】设 = ，由 为正方形，则有 = ， = ，
则 = = = + = + (1 ) ，
= = + = (1 ) + ，
故 = + (1 ) (1 ) +
2 2
= ( 1)| | + (1 )| | + ( 2 + 1)
2 2
= ( 1) | | | | + ( 2 + 1)
= 0 + 0 = 0，故 ⊥ .
7．（23-24 高一下·河南信阳·期中）已知在 △ 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在 边上，
且 = ，设 与 相交于点 ．记 = ， = ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2) 1若| | = 2| |，设 ， 的夹角为 ，若cos = 4，求证： ⊥ ．
【解题思路】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；
（2）以 ， 为基底表示出 , ，结合已知求 = 0可证.
【解答过程】（1） = = 1 1，由题意得 = 4 = 4 ，
所以 = + = + 1 = 3 14 4 + 4 ．
（2）由题意， = + = + 12 =
1
2 ．
∵| | = 2
1 1
| |，cos = 4，∴ = | | | | cos =
2
2| | ．
∴ = 1 1 = 22 =
1 2 1 2
2| | 2| | = 0，2
∴ ⊥ ．
8．（24-25 高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中， △ 的三个顶点坐标分别为 (0, )，
( ,0)， ( ,0)(且 ≠ 0)，D 为 AB 的中点，E 为 △ 的重心，F 为 △ 的外心．
(1)求重心 E 的坐标；
(2)用向量法证明： ⊥ ．
【解题思路】（1）求出 D 的坐标，根据重心坐标公式即可求出 E 的坐标；
（2）求出 F 的坐标，证明 = 0即可．
【解答过程】（1）如图，
∵ (0, )， ( ,0)， ( ,0)，
∴ , ，则由重心坐标公式，得 , ；
2 2 6 2
2 = 3 , （ ） ．
2 2
易知 △ 的外心 F 在 y 轴上，可设为(0, )．
由| | = | |，得( )2 = ( )2 + 2，
2 2
∴ = 2 ，即
2
0,
2
．
2
∴ =
2
, ．
6 2
→ → 2
∴ = ( 3 2 ) × (
6) + 2 × ( 2 ) = 0，
∴ ⊥ ，即 ⊥ ．
9．（23-24 高一下·山东德州·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 4,∠ = 60°, , 分别为 ,
1
上的点，且 = 2 , =
1
3 .
(1)求| |；
(2)求证： ⊥ ；
(3)若线段 上一动点 满足2 + + = 0，试确定点 的位置.
【解题思路】（1）记 = , = ，利用向量的线性运算将 表示为 , 的关系式，再利用向量的数量积
运算即可得解；
（2）将 表示为 , 的关系式，从而利用向量的数量积运算计算 即可得证；
（3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解.
【解答过程】（1）依题意，记 = , = ，
因为 = 2, = 4,∠ = 60°，所以| | = 2,| | = 4， = 2 × 4cos60° = 4，
因为 = 13 ，
= + = + 1 = + 1 = 2 1 2 1所以 3 3 3 + 3 = 3 + 3 ，
则| |2 = 2
2 2
+ 1 = 4 2 4 1 4 4 1 16
3 3 9
+ 9 + 9 = 9 × 4 + 9 × 4 + 9 × 16 = 3 ，
故| | = 4 3.3
（2）因为 = 1 1 1 12 ，所以 = + 2 = + 2 = + 2 ，
= 2 2 1
2 2 1
所以 + 1 + 1 = 23 + 6 = 3 3 2 3 × 4 + 6 × 16 = 0，
则 ⊥ ，即 ⊥ .
（3）因为 = 12 ，所以 是 的中点，故 + = 2 ，
因为2 + + = 0，所以2 +2 = 0，即 = ，
所以 是线段 的中点.
10．（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形 的边长为6, 是 的中点， 是 边上靠近点
的三等分点， 与 交于点 ．
(1)求∠ 的余弦值．
(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点，在这个过程中，是否存在这样的点 ，使得 ⊥ ？若存
在，求出 的长度，若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）如图所示，建立以点 为原点的平面直角坐标系，由于∠ 就是 , 的夹角，从而利
用向量夹角的坐标表示即可求解；
18 6
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解 , ，分点 在 上、点 在 上，结合向量垂直的坐标
7 7
表示即可求解.
【解答过程】（1）如图所示，建立以点 为原点的平面直角坐标系．
则 (0,6), (3,0), (0,0), (6,2), ∴ = (3, 6), = (6,2)．
由于∠ 就是 , 的夹角．
18 12
∴ cos∠ = = = 2 ∴ ∠ 2| || | 9+36 36+4 的余弦值为 ．10 10
（2）设 ( , ), ∴ = ( , 6), ∵ ∥ , ∴ 3( 6) +6 = 0, ∴ 2 + 6 = 0
∵ = ( , ), =
6
(6,2), ∥ , ∴ 2 6 = 0, ∴ = 3 , ∴ 7 = 6, ∴ = 7．
∴ = 187 , ∴
18 , 6 ．
7 7
由题得 = (3,2)．
①当点 在 上时，设 ( ,0),(0 ≤ ≤ 6), ∴ = 18 , 6 ，
7 7
∴ 3 54 12
2 2
7 7 = 0, ∴ =
22 22
7 , ∴ ,0 , ∴ | | =
4 + 6 = 2 13；
7 7 7 7
②当点 在 上时，设 (6, ),(0 < ≤ 6), ∴ = 24 , 6 ，
7 7
∴ 727 +2
12 30
7 = 0, ∴ = 7 ，舍去．
22 2
综上，存在 ,0 ,| | = 7 13．7
题型三 用向量解决几何中的夹角问题
11．（23-24 高一下·山东菏泽·期末）如图，在 △ 中，已知 = 1， = 3，∠ = 60°，且 + +
= 0.求cos∠ .
【解题思路】根据向量线性运算结合已知 + + = 0可得故 = 13( + )
1
， = 3(2 )，平
方后利用数量积的运算法则求得| |,| |，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【解答过程】由题意得| | = 3,| | = 1， , 的夹角为∠ = 60°，
+ + = 0，则 + = ，
又 = , = ，所以 + = + = 3 ，
故 = 1 13( + )，同理 = 3( + ) =
1
3( + ) =
1
3(2 )
于是
2
| |2 = [ 1 ( + )] = 1( 29 +2 +
2) = 19(9 + 2 × 3 × 1 ×
1 +1) = 13
3 2 9 ，
∴ | | = 13，
3
1 2 1
| |2 = 3 (2 ) =
2
9 ( 4 + 4
2)
= 1(9 4 × 3 × 1 × 1 +4) = 7, ∴ | | = 79 2 9 ，3
1 1
3 ( + ) 3 (2 )∴ cos∠ = =
| | | | | | | |
1 (2 2+ 2
1
) (2+3×1×
1 9)
= 9 = 9 2
11
= = 11 91
| | | | 13 × 7 2 91
.
182
3 3
12．（23-24 高一下·福建福州·期中）已知梯形 中， // ， = 2 ，E 为 的中点，F 为 与
的交点， = + ．
(1)求 和 的值；
(2)若 = 2 2， = 6，∠ = 45°，求 与 所成角的余弦值．
3
【解题思路】（1）由向量的运算得出 = 2 +2 ，进而得出 和 的值；
（2）由向量的运算得出 = 12 + ， = +
1
2 ，进而得出| |，| |， ，再由数量积公
式求解即可.
【解答过程】（1）根据题意，梯形 中， // ， = 2 ，E 为 的中点
= + + = 1 + = 1 +2 = 1 +2( ) = 3则 2 2 2 2 +2
又由 = + 可得 = 32， = 2
（2）∠ 是 与 所成的角，设向量 与 所成的角为
= + = 12 + ，则| |
2 = 1 24 +
2 + = 9 + 8 12 = 5
= + = + 1 1，则| |2 = 2 + 22 4 + = 2 + 36 + 12 = 50
则| | = 5，| | = 50
因为 = 1 + + 1 = 1 + 1
2 2 2 2
1 1 3
= 2
2 + 2
2 + 4 = 18 + 4 + 9 = 5
cos =
5 10
所以 | || | = = 5×5 2 10
10
所以 与 所成角的余弦值为 .
10
13．（24-25 高一·全国·课后作业）已知 △ 是等腰直角三角形，∠ = 90°， 是 边的中点， ⊥ ，
垂足为 ，延长 交 于点 ，连接 ，求证：∠ = ∠ .
【解题思路】以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系，证明 , 的夹角与
, 的夹角相等，从而证得结论。
【解答过程】如图，以 为原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系.
设 0，2 ， 2， 0 ，则 1， 0 ， = 2， 2 .
设 = ，则 = + = 0，2 + 2 ， 2 = 2 ， 2 2 .
又因为 = 1， 2 ， ⊥ ，所以 = 0，
所以 2 + 2(2 2 )=0，解得 =
2 4 2
3，所以 = ， .3 3
1 2
所以 = = .
3 ， 3
又因为 = 1， 0 ，
所以cos∠ = = 5 cos∠ = | || | ， | || | =
5.
5 5
又因为∠ ，∠ ∈ 0， ，所以∠ = ∠ .
14．（23-24 高一下·福建厦门·期末）在四边形 中， = 2 2 ， = +3 ， = 2 ，其中 ，
为不共线的向量．
(1)判断四边形 的形状，并给出证明；
(2)若| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为60 ， 为 中点，求∠ ．
【解题思路】（1）根据向量线性运算判断 , 的关系即可；
（2）利用向量数量积先求| |，| |和 ，然后由向量夹角公式可得.
【解答过程】（1）因为 = +3 ， = 2 ，
所以 = = 2 + 3 = ，
又因为 = 2 2 ，所以 = 2 ，
又因为 , , , 四点不共线，所以 ∥ 且 ≠ ，所以四边形 为梯形．
（2）因为 = 2 2 ，
所以| | = 2 2 2 = 4 2 8 + 4 2 = 2 3，
因为 为 = 1中点，所以 2 + = ，
所以| | = | | = 2，所以 = 2 2 = 2 2 2 = 8 2 = 6，
6 3
所以cos∠ = | = = ， | | | 2×2 3 2
π
因为∠ ∈ [0,π]，所以∠ = 6．
15．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形 ABCD 中， 是 AB 的中点， 是 BC 边上靠近点 的
三等分点，AF 与 DE 交于点 .
(1)设 = + ，求 + 的值；
(2)求∠ 的余弦值；
(3)求 ： 和 ： .
1 1
【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算可得 = 2 + 3 ，进而求解；
2 6 6 10（ ）如图，根据勾股定理和相似三角形的性质可得 = 3 57 = , = 7 = ，结合
2 2 =
7 7
2 = 2 2建立方程，解得 = 5 ，进而求解；
35
（3）由（2 ），根据 = 计算即可求解.
【解答过程】（1）由题意知， = + = 12 +
1
3 =
1
2 +
1
3 ，
又 = + 1 1 1 1 1，所以 = 2, = 3，故 + = 2 + 3 = 6；
（2）如图，过点 E 作 // 交于 AF 于点 N，过 A 作 ⊥ 于点 H，
1 1
设正方形 的边长为 ，则 = = 2 , = 3 ，
由 // ，得 // ， = 12 =
1
6 ，
= 2 + 2 = 5 , = 2 + 2 = 10所以 ，2 3
由 △ △ ，得 =
= = 6，
所以 = 67 =
3 5 , = 6 10
7 7
= ，
7
因为 ⊥ ，所以 2 2 = 2, 2 2 = 2，
2 2
所以 2 2 = 2 2 3 5，即 2 ( ) = ( 10 ) 27 7 ，
解得 = 5 ，
35
5
所以cos∠ = cos∠ = 35 2 = 10 = . 10
7
（3）由（2）知， △ △ = ，得 =
= 6，
10 3
故 7 = 6, = = 10 10 = . 4
3 7
题型四 用向量解决线段的长度问题
16．（23-24 高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°, , 边上的
两条中线 AM，BN 相交于点 .
(1)求 AM 的长度；
(2)求∠MPB 的正弦值.
【解题思路】（1）根据 AM = 1是中线，由 2 + 求解；
（2）易知∠ 为向量 , 的夹角 , ，然后利用平面向量的夹角公式求解.
【解答过程】（1）解：因为 AM 是中线，
1
所以 = 2 + ，
2 2 2
所以 = 1 1 1 394 + 2 + = 4 4 + 2 2 5 + 25 = 4 ，2
则| | = 39；2
（2）由图象知：∠ 为向量 , 的夹角 , ，
因为 = = 12 ，
2 2 2 2
所以 = = 1 = + 14 2 ，
= 4 2 5 1 25 212 + 4 = 4 ，则| | =
21，
2
= 1 1
2 2
又 2 +
1 = 2 +
1 1 ，
2 2 2
= 1 1 1 12 4 + 2 5 25 = 3，2 2 2
3 4
所以cos∠ = cos , = | | | | = 39 21 = ， 2 2 91
因为∠ ∈ (0,π)，
4 2 5 273
所以sin∠ = 1 = .
91 91
17．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，cos (tan + tan )
= 2sin .
(1)求角 的值；
(2)若 = 2, = 5，边 上的中点为 ，求 的长度.
【解题思路】（1）切化弦后，利用两角和的正弦公式求解；
（2）利用平面向量数量积可求出结果.
sin sin
【解答过程】（1） ∵ cos + = 2sin ∴ cos
sin cos +sin cos
，
cos cos cos cos
= 2sin ，
∴ sin( + ) sin cos = 2sin ， ∴ cos = 2sin ，
∵ sin ≠ 0， ∴ cos = 12，
π
∵ ∈ (0,π), ∴ = 3.
（2） ∵ 是 边上的中线，
∴ = 12 + ，
2 2 2
∴ = 1 1 394 + + 2 = 4 25 + 4 + 2 × 5 × 2 × cos
π = ，
3 4
∴ = 39.
2
18．（24-25 高一下·全国·课后作业）四边形 是正方形，P 是对角线 DB 上一点(不包括端点)，E，F 分
别在边 BC，DC 上，且四边形 是矩形，试用向量法证明： = .
【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得.
【解答过程】在正方形 中，建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形的边长为 1，则 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)，
由 P 是对角线 DB 上一点(不包括端点)，令 = (0 < < 1)，
而 = (1,1)，则 = ( , )，即 ( , )，由四边形 是矩形，得 (1, ), ( ,0)，
因此 = ( , 1), = (1 , )，
则| | = 2 + ( 1)2 = 2 2 2 + 1，| | = (1 )2 + 2 = 2 2 2 + 1，
于是| | = | |，
所以 = .
π
19．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图，在 △ 中， = 3, = 2,∠ = 3, 是 边的中点， ⊥ ,
与 交于点 .
(1)求 和 的长度；
(2)求cos∠ .
【解题思路】（1）利用三角函数定义即可求得 的长；利用向量法即可求得 的长度；
（2）利用向量夹角的余弦公式即可求得cos∠ 的值.
π π
【解答过程】（1） ∵ 是高， ∴ ∠ = 2，在 Rt △ 中， = 2,∠ = 3，
π
所以 = sin∠ = 2sin3 = 3.
∵ 1是中线， ∴ = 2 + ，
1 22 1 2 2
∴ = 2 + = 4 + 2 +
= 1 194 3
2 + 2 × 3 × 2cos π + 22 = 194 ， ∴ =3 2
19
∴ = 3, = 2
π
（2） ∵ = cos3 = 1 =
1
3 , ∴ =
1
3 ，
1
∴ = = 3
1 1
∴ = 2 + 3
1 2 2 1 2 1 2 π 1 3
= 2 + 3 3 = 2 2
2 + 3 × 3 × 2cos × 3
2
3 3 = 2
3
∴ cos∠ = cos , = 2 57| = = . | | | 19 × 3 19
2
另解：过 D 作 // 交 于 ，
∵ 是 的中点， ∴ 是 的中点，
∴ = = = 1, 是 △ 的中位线， 是 △ 的中位线，
∴ = 12 =
1
4 =
3, = 1 = 19，
4 2 4
3
cos∠ = cos∠ = 4 57 = 19 = .19
4
20 1 1 1．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在 △ 中， = 4, = 6, = 2 , = 2 , = 2
, = 4.
(1)求 的长；
(2)求 的长.
1
【解题思路】（1）确定 = 3 ， =
2
3 ， = 18，| | =
2
，计算得到答案.
2 = 2 + 1
2
（ ） 3 3 ，| | =
2 + 1 ，计算得到答案.
3 3
1 1 1 1 1
【解答过程】（1） = + = 3 3 = 3 3 = 3 ；
= + = 2 23 + 3 =
2 2
3 + 3 =
2
3 ，
= 29 = 4，故 = 18，
| | = 2 = 2 2 + 2 = 16 + 36 + 36 = 2 22.
2 = + = + 1 = + 1 2 1（ ） 3 3 = 3 + 3 ，
2
| | 2 1 4 4 1 = 3 + 3 =
2
9 + 9 +
2
9
= 4 × 16 4 × 18 + 1 × 36 = 2 7.
9 9 9 3
题型五 向量与几何最值（范围）问题
21．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形 中， // ，∠ = 90 ， = 2 = 2 = 4，
点 是 边上的中点.
(1)若点 满足 = 2 ，且 = + ，求 + 的值；
(2)若点 是线段 上的动点（含端点），求 的取值范围.
【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以 , 为基底表示出 得出 , 的取值可得结论；
（2）法 1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出 的取值范围；
2
法 2：利用极化恒等式得出 = 1，即可得出结果.
【解答过程】（1）如下图所示：
由 = 2 1可得 = 3 ，
所以 = + = 1 + 1 = 1 + 1 1 53 2 6 2 = 12
1
2 2
，
又 = + ，可得 = 512, =
1
2
+ = 1所以 12；
（2）法 1：以点 为坐标原点，分别以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
则 (0,0), (0,2), (4,0), (2,2)，则 (3,1)，
由点 是线段 上的动点（含端点），可令 = , ∈ [0,1]，
所以 = = (3 , )，则 = = (3 , 2)，
所以 = 10 2 2 , ∈ [0,1]，
= 1 1由二次函数性质可得当 10时取得最小值 10；
当 = 1时取得最大值8；
1
可得 ∈ ,8
10
法 2：取 中点 ，作 ⊥ 垂足为 ，如下图所示：
2
则 = = + + = + + +
2 2 2
= = 1
显然当点 位于点 3时， 取到最大值 3，当点 位于点 时， 取到最小值10 10，
可得 ∈ 1 ,8 .
10
π
22．（23-24 高一下·江西九江·期末）已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ = 3，P 为平面 ABCD 内
一点，AC 与 BP 相交于点 Q．
(1)若 = ， = + ，求 x，y 的值；
(2)求 + 最小值．
【解题思路】（1）建立直角坐标系，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次型多项式的特征即可求解最值.
【解答过程】（1）当 = 时，则 为 的中点，
由于 △ △ , = = 1所以 2,
1 1 1 1
= 3 = 3 + = 3 + 3 ,
所以 = 13, =
1
3
π
（2）由于四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，且∠ = 3，建立如图所示的直角坐标系，
则 (2,0), (0,0), (1, 3),
取 中点为 ，连接 , ,则 (1,0), + = 2
设 ( , )
= (1 , ), = 1 , 3 ，
+ = 2 = 2 (1 ) (1 ) 3 = 2 2 + 2 2 3 + 1
2
= 2 ( 1)2 + 3 _
3
，
2 2
故当 = 1, = 3 3时，取最小值 .
2 2
23．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC 中，已知 = 2， = 1， = 1， =
(0 ≤ ≤ 1)，Q 为线段 CA 延长线上的一点，且 = ( < 0).
(1) 1当 = 1且 = 2，设 PQ 与 AB 交于点 M，求线段 CM 的长；
(2)若 +3 = ，求 t 的最大值.
【解题思路】（1）用 , 表示 ，结合向量的模公式，即可求得本题答案；
（2）结合题目条件和向量积的公式，逐步化简，可得到7 2 +2 4 + 1 = 5 1，然后分离变量，利用
函数的单调性即可求得本题答案.
【解答过程】（1）因为 = 1且 = 12，所以 是 的中点， 是 的中点，则 M 是 △ 的重心，
设 = ， =
1 1 1 1
所以 = 3 + = 3 2 = 3 = 3 ，
| 2 | = 1 = 1 2 2 + 2 = 4 + 2 + 1 = 19；
3 9 3 9 3 3
（2）因为 = (0 ≤ ≤ 1)， = ( < 0)，
所以 = + = + = +(1 ) = +(1 ) ，
= = + (1 ) = +( + 1) ，
= + (1 ) = 2 + (1 ) = 5 1，
= + ( 1) + ( + 1) = 7 2 +2 4 + 1，
由 +3 = ，得：7 2 +2 4 + 1 = 5 1，
所以 (1 2 ) = 7 2 9 + 5，因为 < 0，7 2 9 + 5 > 0，
1 2
所以2 < ≤ 1 =
7 9 +5
， 1 2 ，
7 (1 )2 9
令 = 1 2 ∈ [ 1,0)，则 = (1 )+5
7 9
4 2 =
4
+ 4 +1在[ 1,0)单调递减，所以当 = 1时， 有最大
值－3.
24．（24-25 高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ = 90°， = 3， = 4， =
， = ，其中 ， ∈ (0,1)，设 DE 中点为 M，AB 中点为 N．
(1)若 = ，求证：C、M、N 三点共线；
(2)若 + = 1，求| |的最小值．
【解题思路】（1）根据平面向量基本定理，化简得 = 证明即可；
1
（2）根据 = ，代入 + = 1化简可得| |2 = 4(25
2 18 + 9)，再根据二次函数的最值分
析最小值即可
1 1
【解答过程】（1）当 = 时， = 2 + = 2 + =
1
2 + ， = 2 + ，
故 = ，故 C、M、N 三点共线，即得证；
1 1 1 1
（2）当 + = 1时， = 2 + = 2 + ， = 2 + ，故 = = 2 +
1 12 + = 2 + ，
故| |2 = 14| + |
2 = 14 9
2 + 16 2 + 2 =
1 1 1
4(9
2 + 16 2) = 9(1 )24 + 16
2 = 4
(25 2 18 + 9)，
18 9 1 9 2 9 36 6
故当 = 22×25 = 25时，| | 取得最小值4 25 × 18 × + 9 =25 25 25，即| |的最小值为5.
25．（23-24 高一下·江苏苏州·期中）在锐角 △ 中，cos = 2，点 为 △ 的外心.
2
(1)若 = + ，求 + 的最大值；
(2)若 = 2，
（i）求证： + sin2 cos2 = 0；
（ii）求|3 + 2 + |的取值范围.
【解题思路】（1）由cos = 2推出∠ = 2，即 = 0，由 = + 推出 + = ( + 1)2
1，两边平方得到 = + 2，根据不等式知识，结合 + < 1，可得 + ≤ 2 2；
（2）（i）延长 交圆 于 ，则 = ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，根据平
行四边形法则可证结论成立；
（ii）延长 至 ，使得| | = 2，以 , 为邻边作矩形 ，延长 至 ，使得| | = 3| | = 3，将
|3 + 2 + |转化为| + |，结合图形可求出结果.
【解答过程】（1）因为cos = 2，所以 = 4，2
因为点 为 △ 的外心，所以∠ = 2 = 2，即 ⊥ ， = 0，
因为 = + ，所以 = ( ) + ( )，
所以 + = ( + 1) ，
设三角形 的外接圆的半径为 ，则| | = | | = | | = ，
2 2
由 + = ( + 1) 得 2 2 + 2 2 +2 = ( + 1)2 2，
1
所以 2 + 2 = ( + 1)2，所以 = + 2，
≤ ( + )
2
因为 4 ，当且仅当 = 时，等号成立，
+ 1 ≤ ( + )
2
所以 22 4 ，即( + ) 4( + ) + 2 ≥ 0，
得( + 2)2 ≥ 2，得 + ≥ 2 + 2或 + ≤ 2 2.
因为三角形 为锐角三角形，其外心必在三角形 内，
由 = + 可知 > 0, > 0，
再由 + = ( + 1) 可知 + < 1，
所以 + ≥ 2 + 2应舍去，所以 + ≤ 2 2，
所以 + 的最大值为2 2.
（2）（i）延长 交圆 于 ，则 = ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，过 作 ⊥ ，垂足为 ，如图：
因为∠ = 2 ，所以∠ = 2 ，
因为∠ = 2，且| | = = 2，所以| | = | | = | | = | | = 1，
所以| | = | | cos( 2 ) = cos2 ，| | = | | = | |sin( 2 ) = sin2 ，
所以 = + = sin2 cos2 ，
所以 = sin2 cos2 ，
所以 + sin2 cos2 = 0.
（ii）延长 至 ，使得| | = 2，则 = 2 ，以 , 为邻边作矩形 ，
则 = + = 2 + ，且| | = 1 + 4 = 5，
延长 至 ，使得| | = 3| | = 3，则 = 3 ，如图：
所以|3 +2 + | = | + |，
所以当 , , 三点共线时， |3 +2 + | = | + |取最小值，最小值为3 5，
+ = 3
4
因为三角形 为锐角三角形，且 = 4，所以 0 < <
2 ，可得 4
< < 2，
0 < <
2
所以∠ = 2 ∈ (2, )，
当∠ = 2时，| + | = ( + )2 = 9 + 5 + 2 × 3 × 5 cos(
+ ∠ )
2
= 14 6 5 sin∠ = 14 6 5 × 2 = 2，
5
当∠ = 时，| + | = ( + )2 = 9 + 5 + 2 × 3 × 5 cos( + ∠ )
2
= 14 6 5sin∠ = 14 6 5 × 1 = 2 2，
5
所以| + | ∈ [3 5,2 2)，即|3 + 2 + |的取值范围是[3 5,2 2).
题型六 向量在物理中的应用
26．（24-25 高一·上海·课堂例题）已知质点 受到三个力 1、 2、 3的作用，若它们的大小分别为
| 1| = 20N，| 2| = 30N，| 3| = 40N，且三个力之间的夹角都为 120°，求合力的大小和合力与 2所成
角的大小.
【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即得.
【解答过程】如图，以质点 为坐标原点，向量 3所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 1 = (20cos240°,20sin240°)， 2 = (30cos120°,30sin120°)， 3 = (40,0)，
于是合力 = 1 + 2 + 3 = (15,5 3)
2
，| | = 152 + (5 3) = 10 3，∠ 3 = 30°，∠ 2
= 90°，
所以合力的大小为10 3N，与 2所成角的大小为90°.
27．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，重为4N的匀质球，半径 = 6cm，放在墙与均匀木板 之间，A
端固定在墙上，B 端用水平绳索 拉住，板长 = 10cm，木板 与墙夹角为 ，如果不计木板重，当 为60°
时，求绳的拉力大小．
【解题思路】设球的重力为 ，球对板 的压力为 1，绳 对板的拉力为 2，根据力矩平衡可得出| 2|cos60
= | 1| ，再由| 1|cos30 = | |，tan30 = 可求得| 2|的值，即可得解．
【解答过程】设球的重力为 ，球对板 的压力为 1，绳 对板的拉力为 2，令球心为 ， 与球的切点
为 ，
则 ⊥ ，∠ = 30°，
依题意，| | = 4N，由 处于平衡状态，以 为杠杆支点，有| 2|cos60 = | 1| ，
4×6
| |
又| |cos30 = | | tan30 = 11 ， ，| 2| = cos30 tan30 2 = = 9.6（N），cos60 1 ×10
2
所以绳的拉力为9.6N.
28．（23-24 高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度 = 1km，一艘游船从南岸
码头 点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 1，水流速度 2的大小为| 2| = 4km/h.设 1和 2的夹角
为 (0 < < 180 )，北岸上的点 ′在点 的正北方向.
(1)若游船沿 ′到达北岸 ′点所需时间为6min，求 1的大小和cos 的值；
(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
【解题思路】（1）设游船的实际速度为| |km/h，由速度合成得 = + ，根据| |2 = | |2 + | 21 2 1 2| 求得
结果.
（2）设到达北岸 点所用时间为 h，根据 2 = | |2 = 2( 1 + 2)2计算 长度，得出结果.
【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为| |km/h，
由 ′ = 1km,6min = 0.1h，得| | = 10km/h，| 2| = 4km/h.
如图所示速度合成示意图，由| |21 = | |2 + | |22 = 102 + 42 = 116，得| 1| = 2 29km/h，
| |
cos = 2 2 29| | = .1 29
所以 1的大小为2 29km/h,cos 2 29的值为 .29
（2）当 = 60 ,| 1| = 10km/h时，设到达北岸 点所用时间为 h，作出向量加法示意图如图所示，
2 = | |2 = 2( 1 + 2)2 = 2(102 + 42 + 2 × 10 × 4 × cos60 ) = 156 2，则 = 2 39 ，
1 1
在 Rt △ ′ 中， | 1|cos30 = 1，从而 = h = × 25 3 ，因此 5 3 39 =
2 13
，
5
2 13
故游船的实际航程为 km.
5
29．（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，质量 = 2.0kg的木块，在平行于斜面大小为 10N 向上的拉力 F
的作用下，沿倾角 = 30°的光滑斜面向上滑行 2.0m 的距离．( = 9.8N/kg)
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
【解题思路】（1）分析物体受力，按功的定义式求解每个力做的功；
（2）将（1）中各值累加即可;
（3）计算物体所受合外力对物体所做的功，与物体所受各力对物体做功的代数和比较即可.
【解答过程】（1）木块受三个力的作用，重力 ，拉力 和支持力 ，如图所示.
拉力 与位移 方向相同，
所以拉力对木块所做的功为 = | | cos0° = 20(J).
支持力 与位移方向垂直，不做功，所以 = | | cos90° = 0.
重力 对物体所做的功为 = | | cos(90° + ) = | | | |cos(90° + ) = 19.6(J).
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为 = 20 + 0 19.6 = 0.4(J).
（3）设物体所受合外力的大小为| 1|，
则| 1| = | | | |sin30° = 0.2(N),
故合外力做功为 = 0.2 × 2 = 0.4.
故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等.
30．（24-25 高一·全国·课后作业）有一艘在静水中速度大小为 10 km/h 的船，现船沿与河岸成60°角的方向
向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均
匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为 , ，河水的流速为 ，求 , , 之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
【解题思路】（1）根据题意可得 与 的夹角为30°，则 , , 三条有向线段构成一个直角三角形，其中 =
, = , = = ，再根据向量的加法法则即可得解；
（2）结合图象，求出| |即可.
【解答过程】（1）如图， 是垂直到达河对岸方向的速度， 是与河岸成60°角的静水中的船速，
则 与 的夹角为30°，
由题意知， , , 三条有向线段构成一个直角三角形，其中 = , = , = = ，
由向量加法的三角形法则知， = + ，即 = + ；
（2）因为| | = | | = 10km/h，而| | = | |sin30° = 10 × 12 = 5km/h，
所以这条河河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下．
题型七 向量与解三角形综合
31．（23-24 高一下·福建厦门·期中）在 △ 中 , , 分别为角 , , 所对的边，向量 = ( + , )， =
( + , )且 // ．
(1)求 ；
(2)若 = 4， △ 的面积为 3，求 △ 的周长．
【解题思路】（1）根据条件得到 2 = 2 + 2 + ，再由余弦定理即可求出结果；
（2）根据条件，利用面积公式得到 = 1，进而求出 = 21，即可求解.
【解答过程】（1）因为 = ( + , )， = ( + , )且 // ，所以( + )( ) + ( + ) = 0，
即 2 2 + + 2 = 0，得到 2 = 2 + 2 + ，
又由余弦定理知 2 = 2 + 2 2 cos ，所以 2cos = 1 1，得到cos = 2，
又 ∈ = 2π(0,π)，所以 3 .
（2 1）因为 = 2 sin =
3 = 3，得到 = 4，4
又 = 4，得到 = 1，所以 2 = 16 + 1 + 4 = 21，得到 = 21，
所以 △ 的周长为5 + 21.
32．（23-24 高一下·山西晋城·阶段练习）在 △ 中， ， ， 分别是角 , , 所对的边，且满足 2 + 2 2
= ．
(1)求角 的大小；
(2)设向量 = (3sin ,32)，向量 = (1, 2cos )，且 ⊥ ， = 2，求 △ 的面积．
【解题思路】（1）由余弦定理即可求得；
（2）由向量的数量积等于 0 列出方程，可求得角 ，利用三角函数的定义求得边 ，最后运用三角形面积公
式计算即得.
2+ 2 2 π
【解答过程】（1）由余弦定理，cos = 2 = 2 =
1
2，因0 < < π，则 = 3；
2 3（ ）由 = (3sin ,2) (1, 2cos ) = 3sin 3cos = 0，
π
因 = 3，则sin =
1
2，
π π π
因0 < < π，且 = 3，则 = 6，故 = 2，
2
因 = 2 = 4 3，则 cos = 3 = ，2 3
△ = 1 1则 的面积为 2 sin = 2 ×
4 3 × 2 × 1 2 3
3 2
= .
3
33．（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 ⊥ ，其中 =
( 3 ,sin ), = (cos , )，
(1)求角 的大小；
(2)若 < , = 2 7, △ 的面积为3 3．
①求 , 的值；
②求sin(2 + )的值．
π
【解题思路】（1）由 ⊥ 便得到 = 0，进行数量积的坐标运算便可得到tan = 3，从而得出 = 3；
（2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求 , ；②利用正弦定理求得sin ，再由三角恒等变换计算
可求sin(2 + )的值.
【解答过程】（1）因为 ⊥ ，则 = 0，
又 = ( 3 ,sin ), = (cos , )，
所以 = 3 cos sin = 0，
由正弦定理得 3sin cos sin sin = 0，
即 3sin cos = sin sin ，
又 是 △ 内角，则sin ≠ 0,
所以 3cos = sin ，即tan = 3,
π
又 是 △ 内角，则 = 3.
（2）①在 △ 中， = 2 7，由（1）及余弦定理得
2 + 2 2 cos = 2 2 + 2 = 28，
又 1△ = 2 sin = 3 3 = 12， < ，
联立解得 = 2, = 6，或 = 2, = 6（舍去）；
② sin 由正弦定理可得sin = = 3 21 ，sin =
sin
=
21，
14 14
π π
因为 < , + + = π， = 3，所以 < 3，
sin 1所以 (2 + ) = sin 5π 2 = 3cos2 2sin2 ，3 2
由sin = 21可知cos = 5 7，
14 14
所以sin2 = 2sin cos = 5 3,cos2 = 1 2sin2 = 11，
14 14
故sin 11 1(2 + ) = 3 × 5 3 4 32 14 2 × = .14 7
→
34．（23-24 高一下·内蒙古·阶段练习）在 △ 中， + + = 0．
(1)证明： 为△ABC 的重心．
(2)设 = 4, = 6．
①证明： 2 + 2为定值．
②求 + 3 的最大值，并求此时 AB 的长．
→
【解题思路】（1）作出辅助线，利用 + + = 0得到 G 为△ABC 三条中线的交点，即 G 为△ABC 的
重心；
（2）①在（1）基础上，求出 EG＝2，BE＝CE＝3，设∠ = ，则∠ = π ，cos∠ = cos ，
又余弦定理得到 2 + 2 = 26；
②设 = 26cos ， = 26sin ∈ 0, π π， ，利用三角恒等变换得到 + 3 = 2 26sin + ，故
2 6
π
= 133时， + 3 取得最大值，且最大值为2 26，并求出cos = 24，此时 AB 的长．
【解答过程】（1）证明：设 BC 的中点为 E，则 + = 2 ，
→
因为 + + = 0，所以 = 2 ．
设 AC 的中点为 F，AB 的中点为 H，同理可得 = 2 ， = 2 ，
所以 A，G，E 三点共线，B，G，F 三点共线，C，G，H 三点共线，
从而 G 为△ABC 三条中线的交点，即 G 为△ABC 的重心．
（2）①证明：由（1）知 = 2 ，因为 = 4，所以 = 2．
因为 = 6，所以 = = 3，
设∠ = ，则∠ = π ，cos∠ = cos ，
由余弦定理，得 2 = 22 + 32 2 × 2 × 3cos ，
2 = 22 + 32 +2 × 2 × 3cos ，则 2 + 2 = 26，为定值．
②设 = 26cos ， = 26sin ， ∈ 0, π ，
2
所以 + 3 = 26(cos + 3sin ) = 2 26sin + π ，
6
π π π
当 + 6 = 2，即 = 3时， + 3 取得最大值，且最大值为2 26，
π 13
此时 = 26cos3 = 13 + 12cos ，解得cos = 24，
此时 = 2 + 2 2 cos∠ = 32 + 62 36 × 13 = 51 = 102．
24 2 2
35．（23-24 高一下·江苏无锡·期末）三角形 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知 ( + )(sin sin )
= ( )sin , △ = 3，点 D 是 的中点，点 E 在线段 上，且 = 2 ，线段 与线段 交于点4
M.
(1)求角 B 的大小;
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)若点 G 是三角形 的重心，求 | |的最小值.
【解题思路】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得；
（2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得 , 的值；
1
（3）结合图形和条件将 化简成12 2 ，通过两边取平方，将144| |
2化为4 2 2 + 2，结合基
本不等式即可求解.
【解答过程】（1）因为( + )(sin sin ) = ( )sin ,，
所以由正弦定理可得( + )( ) = ( ) ，整理得 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2 = = 1故 2 2 2，
π
因为 ∈ (0,π)，所以 = 3.
（2）如图，
2 1
由题意可得 = 3 , = 2 ，
, , = + = 2
+ = 2
因为 三点共线，故可设 (1 ) 3 (1 ) 3 +2(1 ) , ∈ R ，
2 3
又因 , , 三点共线，故3 + 2(1 ) = 1 = 4，
所以 = 12 +
1 1 1 3
4 ，故 + = 2 + 4 = 4.
3 2（ ）因为 = + = + 3 = +
2 1
3 =
1 + 13 3 ,2
1
所以 = = 2 +
1
4
1 1 1 1 + 1 = 6 12 = 12 2 ，3 3
= 1 3因为 △ 2 sin = ，所以 = 1，4
于是| | = 1 |2 |，两边平方化简得：12
2 2 2 π
144| |2 = (2 ) = 4 4 + = 4 2 4 cos + 2 23 = 4 2 +
2
≥ 4 2 = 2 = 2，当且仅当2 = 时取等号，
所以144| |2 ≥ 2 2，即| | ≥ = 2.
144 12
所以| |的最小值为 2.12专题 6.7 平面向量的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 向量坐标的线性运算解决几何问题
1．（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系 中，点 ( 1,2)， (1,1)，记 = ， =
．
(1)设 在 上的投影向量为 （ 是与 同向的单位向量），求 的值；
(2)若四边形 为平行四边形，求点 C 的坐标．
2．（24-25 高一上·安徽马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系 中，| | = 2| | = 2，∠ =
2
3 ，
= ( 1, 3).
（1）求点 ，点 的坐标；
（2）求四边形 的面积.
3．（23-24 高一下·湖北荆州·期中）在直角梯形 中， ⊥ ， ∥ ， = = 1， = 2， ，
分别为 ， 的中点，点 在以 为圆心的圆弧 上运动，若 = + ，求2 的取值范围．
4．（24-25 高一·湖南·课后作业）如图，已知 A（－2，1），B（1，3）．
(1)求线段 AB 的中点 M 的坐标；
(2)若点 P 是线段 AB 的一个三等分点，求点 P 的坐标．
5．（24-25 高一下·湖北十堰·阶段练习）某公园有三个警卫室 A B C，互相之间均有直道相连， = 2千米，
= 2 3千米， = 4千米，保安甲沿 CB 从警卫室 C 出发前往警卫室 B，同时保安乙沿 BA 从警卫室 B 出
发前往警卫室 A，甲的速度为 2 千米/小时，乙的速度为 1 千米/小时.
(1)保安甲从 C 出发 1.5 小时后达点 D，若 = + ，求实数 x y 的值；
(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过 2 千米，试问有多长时间两人不能
通话？
题型二 用向量证明线段垂直
用向量证明线段垂直
6．（23-24 高一·上海用向·课量证堂明线例段垂题直）如图，在正方形 中，P 是对角线 AC 上一点， 垂直 于点 E，
垂直 于点 F．求证： ⊥ ．
7．（23-24 高一下·河南信阳·期中）已知在 △ 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在 边上，
且 = ，设 与 相交于点 ．记 = ， = ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2) 1若| | = 2| |，设 ， 的夹角为 ，若cos = 4，求证： ⊥ ．
8．（24-25 高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中， △ 的三个顶点坐标分别为 (0, )，
( ,0)， ( ,0)(且 ≠ 0)，D 为 AB 的中点，E 为 △ 的重心，F 为 △ 的外心．
(1)求重心 E 的坐标；
(2)用向量法证明： ⊥ ．
9．（23-24 高一下·山东德州·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 4,∠ = 60°, , 分别为 ,
1 1
上的点，且 = 2 , = 3 .
(1)求| |；
(2)求证： ⊥ ；
(3)若线段 上一动点 满足2 + + = 0，试确定点 的位置.
10．（24-25 高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形 的边长为6, 是 的中点， 是 边上靠近点
的三等分点， 与 交于点 ．
(1)求∠ 的余弦值．
(2)若点 自 点逆时针沿正方形的边运动到 点，在这个过程中，是否存在这样的点 ，使得 ⊥ ？若存
在，求出 的长度，若不存在，请说明理由．
题型三 用向量解决几何中的夹角问题
11．（23-24 高一下·山东菏泽·期末）如图，在 △ 中，已知 = 1， = 3，∠ = 60°，且 + +
= 0.求cos∠ .
12．（23-24 高一下·福建福州·期中）已知梯形 中， // ， = 2 ，E 为 的中点，F 为 与
的交点， = + ．
(1)求 和 的值；
(2)若 = 2 2， = 6，∠ = 45°，求 与 所成角的余弦值．
13．（24-25 高一·全国·课后作业）已知 △ 是等腰直角三角形，∠ = 90°， 是 边的中点， ⊥ ，
垂足为 ，延长 交 于点 ，连接 ，求证：∠ = ∠ .
14．（23-24 高一下·福建厦门·期末）在四边形 中， = 2 2 ， = +3 ， = 2 ，其中 ，
为不共线的向量．
(1)判断四边形 的形状，并给出证明；
(2)若| | = 2，| | = 1， 与 的夹角为60 ， 为 中点，求∠ ．
15．（23-24 高一下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形 ABCD 中， 是 AB 的中点， 是 BC 边上靠近点 的
三等分点，AF 与 DE 交于点 .
(1)设 = + ，求 + 的值；
(2)求∠ 的余弦值；
(3)求 ： 和 ： .
题型四 用向量解决线段的长度问题
16．（23-24 高一下·广西河池·阶段练习）如图，在 △ 中，已知 = 2, = 5,∠ = 60°, , 边上的
两条中线 AM，BN 相交于点 .
(1)求 AM 的长度；
(2)求∠MPB 的正弦值.
17．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在 △ 中，角 , , 所对的边分别为 , , ，cos (tan + tan )
= 2sin .
(1)求角 的值；
(2)若 = 2, = 5，边 上的中点为 ，求 的长度.
18．（24-25 高一下·全国·课后作业）四边形 是正方形，P 是对角线 DB 上一点(不包括端点)，E，F 分
别在边 BC，DC 上，且四边形 是矩形，试用向量法证明： = .
π
19．（23-24 高一下·广东广州·期中）如图，在 △ 中， = 3, = 2,∠ = 3, 是 边的中点， ⊥ ,
与 交于点 .
(1)求 和 的长度；
(2)求cos∠ .
20．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在 △ 中， = 4, = 6, = 12 , =
1 1
2 , = 2
, = 4.
(1)求 的长；
(2)求 的长.
题型五 向量与几何最值（范围）问题
21．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形 中， // ，∠ = 90 ， = 2 = 2 = 4，
点 是 边上的中点.
(1)若点 满足 = 2 ，且 = + ，求 + 的值；
(2)若点 是线段 上的动点（含端点），求 的取值范围.
π
22．（23-24 高一下·江西九江·期末）已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠ = 3，P 为平面 ABCD 内
一点，AC 与 BP 相交于点 Q．
(1)若 = ， = + ，求 x，y 的值；
(2)求 + 最小值．
23．（24-25 高一下·四川成都·阶段练习）在△ABC 中，已知 = 2， = 1， = 1， =
(0 ≤ ≤ 1)，Q 为线段 CA 延长线上的一点，且 = ( < 0).
(1)当 = 1 1且 = 2，设 PQ 与 AB 交于点 M，求线段 CM 的长；
(2)若 +3 = ，求 t 的最大值.
24．（24-25 高一下·上海长宁·阶段练习）如图，在直角三角形 ABC 中，∠ = 90°， = 3， = 4， =
， = ，其中 ， ∈ (0,1)，设 DE 中点为 M，AB 中点为 N．
(1)若 = ，求证：C、M、N 三点共线；
(2)若 + = 1，求| |的最小值．
25．（23-24 高一下·江苏苏州·期中）在锐角 △ 中，cos = 2，点 为 △ 的外心.
2
(1)若 = + ，求 + 的最大值；
(2)若 = 2，
（i）求证： + sin2 cos2 = 0；
（ii）求|3 + 2 + |的取值范围.
题型六 向量在物理中的应用
26．（24-25 高一·上海·课堂例题）已知质点 受到三个力 1、 2、 3的作用，若它们的大小分别为
| 1| = 20N，| 2| = 30N，| 3| = 40N，且三个力之间的夹角都为 120°，求合力的大小和合力与 2所成
角的大小.
27．（24-25 高一·全国·课后作业）如图，重为4N的匀质球，半径 = 6cm，放在墙与均匀木板 之间，A
端固定在墙上，B 端用水平绳索 拉住，板长 = 10cm，木板 与墙夹角为 ，如果不计木板重，当 为60°
时，求绳的拉力大小．
28．（23-24 高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度 = 1km，一艘游船从南岸
码头 点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是 1，水流速度 2的大小为| 2| = 4km/h.设 1和 2的夹角
为 (0 < < 180 )，北岸上的点 ′在点 的正北方向.
(1)若游船沿 ′到达北岸 ′点所需时间为6min，求 1的大小和cos 的值；
(2)当 = 60 ,| 1| = 10km/h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
29．（24-25 高一·全国·随堂练习）如图，质量 = 2.0kg的木块，在平行于斜面大小为 10N 向上的拉力 F
的作用下，沿倾角 = 30°的光滑斜面向上滑行 2.0m 的距离．( = 9.8N/kg)
(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；
(2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和；
(3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？
30．（24-25 高一·全国·课后作业）有一艘在静水中速度大小为 10 km/h 的船，现船沿与河岸成60°角的方向
向河的上游行驶．由于受水流的影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均
匀．
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为 , ，河水的流速为 ，求 , , 之间的关系式；
(2)求这条河河水的流速．
题型七 向量与解三角形综合
31．（23-24 高一下·福建厦门·期中）在 △ 中 , , 分别为角 , , 所对的边，向量 = ( + , )， =
( + , )且 // ．
(1)求 ；
(2)若 = 4， △ 的面积为 3，求 △ 的周长．
32．（23-24 高一下·山西晋城·阶段练习）在 △ 中， ， ， 分别是角 , , 所对的边，且满足 2 + 2 2
= ．
(1)求角 的大小；
(2)设向量 = (3sin ,32)，向量 = (1, 2cos )，且 ⊥ ， = 2，求 △ 的面积．
33．（23-24 高一下·天津南开·阶段练习）在 △ 中，角 , , 的对边分别为 , , ，若 ⊥ ，其中 =
( 3 ,sin ), = (cos , )，
(1)求角 的大小；
(2)若 < , = 2 7, △ 的面积为3 3．
①求 , 的值；
②求sin(2 + )的值．
→
34．（23-24 高一下·内蒙古·阶段练习）在 △ 中， + + = 0．
(1)证明： 为△ABC 的重心．
(2)设 = 4, = 6．
①证明： 2 + 2为定值．
②求 + 3 的最大值，并求此时 AB 的长．
35．（23-24 高一下·江苏无锡·期末）三角形 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，已知 ( + )(sin sin )
= ( )sin , △ = 3，点 D 是 的中点，点 E 在线段 上，且 = 2 ，线段 与线段 交于点4
M.
(1)求角 B 的大小;
(2)若 = + ，求 + 的值；
(3)若点 G 是三角形 的重心，求 | |的最小值.
