专题 6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 正、余弦定理判定三角形形状
1．（23-24 高一下·北京通州·期末）在△ 中，角 , , 所对的边为 , , ，△ 的面积为 S，且 =
2+ 2 2
4 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 cos ，试判断△ 的形状，并说明理由．
【解题思路】（1）应用面积公式及余弦定理得出正切进而得出角；
π
（2）先应用正弦定理及两角和差的正弦公式化简得出 = 2 ，结合 = 4判断三角形形状即可.
2
1 △ = +
2 2 1
【解答过程】（ ）在 中，因为 4 ，则2 sin =
2 cos
4 ，
π
整理得tan = 1，且 ∈ 0, π ，所以 =
2 4
.
（2）由正弦定理得sin sin = 2sin cos ,
∵ sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ,
∴ sin cos + cos sin sin = 2sin cos ,
∴ sin cos cos sin = sin ,
于是sin( ) = sin ,
又 , ∈ (0,π)，故 π < < π，所以 = π ( )或 = ，因此 = π（舍去）或 = 2 ，所以
= 2 .
π π π
∵ = 4 , ∴ = 2 , = 4 ,
△ 是等腰直角三角形.
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知 △ 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 = (cos cos
)．判断 △ 的形状.
【解题思路】
先根据题目条件和正弦定理边化角得出sin sin = sin (cos cos )；再利用 + + = π及两角和的正
弦公式得出cos (sin sin ) = 0，进而可判断 △ 的形状.
【解答过程】 △ 为等腰三角形或直角三角形.
证明如下：
由 = (cos cos )及正弦定理得: sin sin = sin (cos cos )，
即sin( + ) sin( + ) = sin (cos cos )，
即sin cos + cos sin sin cos cos sin = sin cos sin cos ，
整理得:sin cos sin cos = 0，
所以cos (sin sin ) = 0，
故sin = sin 或cos = 0，
又因为 A、B、C 为 △ 的内角，
π
所以 = 或 = 2，
因此 △ 为等腰三角形或直角三角形．
3．（23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 △ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
( + + )( + ) = 3 .
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 2 ，试判断 △ 的形状.
【解题思路】（1）利用余弦定理求出cos 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值；
（2）利用余弦定理结合已知条件可得出 = ，利用（1）中的结果可判断出 △ 的形状.
【解答过程】（1）因为( + + )( + ) = 3 ，则( + )2 2 = 3 ，整理可得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理可得cos = 2 = 2 = 2，
π
又因为 ∈ (0,π)，故 = 3.
（2）因为 + = 2 = + ，则 2 ，
由余弦定可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
+ 2
即 = 2 + 2 2 ，整理可得( )
2 = 0，则 = ，
π
又 = 3，故 △ 为等边三角形.
4．（24-25 高一·上海·假期作业）（1）在 △ 中，若( cos )sin = ( cos )sin ,判断 △ 的形
状；
（2）在 △ 中，若 =60 ， 2 = ，判断 △ 的形状；
（3）在 △ 中，若lgsin lgcos lgsin = lg2，判断 △ 的形状.
【解题思路】（1）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状；
（2）利用余弦定理进行判断即可；
（3）利用正弦定理及余弦定理化角为边，即可判断形状.
2 2 2 2 2 2
【解答过程】（1）结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 + = + ，
2 2
整理，得( 2 + 2 2)( 2 2) = 0，所以 2 + 2 2 = 0或 2 2 = 0，
当 2 + 2 2 = 0时， 2 + 2 = 2，为直角三角形；
当 2 2 = 0时， = ，为直角三角形；
故三角形为等腰三角形或直角三角形.
（2）因为 2 = , =60 ，由余弦定理 2= 2+ 2 2 cos ，
得 2 + 2 = ，即( )2 = 0，所以 = .
又 =60 ，所以 △ 为等边三角形；
（3 sin ）由条件得cos sin = 2,即sin = 2cos sin ,
2+ 2 2
由正、余弦定理，得2 × 2 × = ，所以 = .
故 △ 为等腰三角形.
5．（24-25 高一下·北京·阶段练习）在 △ 中，2sin22 + cos( + ) = 0．
(1)求∠ 的大小；
(2)若 = 2 ，求证： △ 为直角三角形．
【解题思路】（1）在 △ 中，cos( + ) = cos ，结合降幂公式，化简即可得到答案；
（2）利用余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，结合 = 2 ，化简即可求证.
【解答过程】（1）由于在 △ 中， + = π ，则cos( + ) = cos(π ) = cos ，
所以2sin2 2 + cos
1 cos 1
( + ) = 0，可化简为：2 × 2 cos = 0，即cos = 2，
π
因为 ∈ (0,π)，所以∠ = 3.
π
（2）由（1）知∠ = 3，根据余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 cos ，
由于 = 2 ，则 2 = 4 2 + 2 2 2 = 3 2，所以 2 = 2 + 2，则 △ 是以∠ 为直角的直角三角形.
题型二 几何图形中的计算
用向量证明线段垂直
6．（24-25 高一下·重用向庆量证·阶明线段段垂练直习）如图，已知在平面四边形 中，∠ =45°， = 3， = 2．
(1)若该四边形 存在外接圆，且 = 2，求 ；
(2)若∠ = ∠ = 60°，求 ．
【解题思路】（1）根据外接圆得到∠ = 135°，在 △ 中，有余弦定理得 2 = 10，在 △ 中，利
6+ 34
用余弦定理求出 = ；
2
（2）设∠ = ∈ (0,60°) 6，则∠ = 60° ，由正弦定理得到方程组，求出sin = ，由正弦定理求出4
答案.
【解答过程】（1）因为四边形 存在外接圆，则∠ = 180° ∠ = 135°，
在 △ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 4 + 4 = 10，
在 △ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 +3 6 = 10，
解得 = 6+ 34；
2
（2）设∠ = ∈ (0,60°)，则∠ = 60° ，
分别在 △ 、 △ 中用正弦定理可得
3 =
sin(60° ) sin45° 3sin45° 2sin(120° )
2 = =
，则sin(60° ) = sin ，
sin sin(120° ) sin60°
3sin = 2 2sin(60° )sin(120° )，则 3sin = 2 24 (3cos
2 sin2 )，
4sin2 + 6sin 3 = 0 6 6，则sin = 或sin = （舍），4 2
= 2sin60°故 sin = 2 2.
7．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， // ， = 2 = 6 2，tan = 2，cos∠ =2
1
3．
(1)求cos∠ 的值；
(2)求 的长．
【解题思路】（1）计算出sin ,cos ,sin∠ ，利用两角和的余弦公式可求得cos∠ = cos∠ 的值；
（2）在 △ 中，利用正弦定理可求出 BD 的长，再在 △ 中利用余弦定理可求得 BC 的长.
sin 3 6
【解答过程】（1）因为tan = cos =
2，且sin2 + cos2 = 1，解得sin = ，cos = ．
2 3 3
cos∠ = 1而 3，所以sin∠ = 1 cos2∠ =
2 2
，
3
所以cos∠ = cos( ∠ ∠ ) = cos(∠ + ∠ )
= (cos cos∠ sin sin∠ )
6 1 3 2 2 6
= 3 × 3 + 3 × 3 = 9
// ∠ = ∠ cos∠ = cos∠ = 6因为 ，所以 ，所以 ．
9
2 （ ）在 △ 中，由正弦定理得sin = sin∠ ，
因为 = 6 2，所以 =
sin
sin∠ = 3 3．
在 △ 中，由余弦定理得
2 = 2 + 2 2 cos∠
= 27 + 18 2 × 3 3 × 3 2 × 6 = 33，9
所以 = 33．
8．（2024 高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形 中， ⊥ ， = 1， = 3，∠ =
2π 21
3 ，cos∠ = ．7
(1)求∠ 的值；
(2)求 的长．
【解题思路】（1）利用余弦定理可得出关于 的方程，解出 的长，判断出 △ 为等腰三角形，即可
求得∠ 的值；
（2）计算出∠ 的值，以及sin∠ ，利用两角和的正弦公式求出sin∠ 的值，再利用正弦定理可求得
的长.
【解答过程】（1）解：在 △ 中， = 1， = 3，∠ =
2π
3 ，
由余弦定理可得3 = 2 + 2 2 cos2π3 = 1 +
2 2 × 1 × × 1 ，
2
整理可得 2 + 2 = 0， ∵ > 0，解得 = 1，则 = = 1，
π
故 △ π ∠ 为等腰三角形，故∠ = 2 = 6.
π π π π
（2）解：由（1）知，∠ = 6，又因为 ⊥ ，则∠ = 2 6 = 3，
因为cos∠ = 21，则∠ 为锐角，
7
2
且sin∠ = 1 cos2∠ = 1 21 = 2 7，
7 7
所以，sin∠ = sin(∠ + ∠ ) = sin∠ cos∠ + cos∠ sin∠
= 3 × 21 + 1 × 2 7 = 5 7，
2 7 2 7 14
在 △ 中，由正弦定理sin∠ = sin∠ ，
= sin∠
3× 3 3 7
可得 2sin∠ = 5 7 = .5
14
9．（23-24 高一下·河南开封·期中）已知四边形 是由 △ 与 △ 拼接而成，如图所示，
π
∠ = ∠ = 3，∠ =
5π
6 .
(1)求证： < 3 ；
(2)若 = 1， = 2，求 的长.
【解题思路】（1）求出∠ 的范围，利用正弦定理即可证明结论；
（2）写出 与∠ 的关系，进而求出∠ 的正弦值和余弦值，求出 的长，利用余弦定理即可求出
的长.
【解答过程】（1）由题意证明如下，
在 △ ∠ = 5π中， 6 ，
π
∴∠ < 6.
π
∵∠ = ∠ + ∠ = 3，
π
∴∠ > 6.
在 △ 中，由正弦定理得， sin = sin∠ ，
即 3 = sin∠ ， sin∠ =
3 ，
2 2
∴ 3 > 1 ，
2 2
∴ < 3 .
（2）由题意及（1）得
设 = ，∠ = ，
π π
∵ = 3，∠ = 3，∠ =
5π
6 ， = 1， = 2，
△ = 2
则在 中，由正弦定理得， πsin∠ sin ，即sin = sin ，3
可得 3 = sin ，①
在 △ 中，由正弦定理得，sin = sin(π ∠ ∠ )，
1
可得sin 5π =
6 sin
π π ，
6 3
1
可得 = 2sin π ，②
6
∴ 联立①② π，可得sin = 2 3sin ，
6
可得tan = 3，可得cos = 1 = 2 7 sin = 21， .
2 1+tan2 7 7
2×sin π
∴ 在 △ 中，由正弦定理得，sin = sin ，可得 =
3
21 = 7.
7
在 △ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
可得7 = 1 + 2 2 × 1 × × 3 ，
2
可得 2 + 3 6 = 0，解得 = 3或 2 3（舍），
∴ 的长为 3.
10．（23-24 高一下·河北衡水·期末）如图所示，在平面四边形 ABCD 中，∠ = 150°，∠ = 60°，
= 3， = 1， = 7．
(1)求 BD 的长；
(2)若 AC 与 BD 交于点 O，求 △ 的面积．
【解题思路】（1）根据余弦定理在 △ 中求解 = 7，进而根据和差角公式可得cos∠ = cos
(∠ + ∠ ) = 7，即可由余弦定理求解，14
（2 5 7）根据三角形边角关系，结合余弦定理和和差角公式即可求解 = ，利用面积公式即可求解.
8
【解答过程】（1）由题意，在 △ 中，∠ = 150°， = 3， = 1，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 3 + 1 2 × 3 × 1 × 3 = 7，
2
所以 = 7，
1+7 3
△ cos∠ = = 5 7在 中， 2 7 ，14
所以sin∠ = 21，
14
cos∠ = cos(∠ + ∠ ) = 5 7 ×
1
所以 2
21 × 3 = 7，
14 14 2 14
在 △ 中，由余弦定理可知 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1 + 7 2 × 1 × 7 × 7 = 7，14
所以 = 7．
（2）由（1）可知 = = 7，又因为∠ = 60°，所以 △ 为等边三角形，
所以∠ = 60°， = 7，
7+7 1
在 △ 中，cos∠ = = 1314，所以sin∠ =
3 3
2× 7× 7 ，14
在 △ 中，cos∠ = cos 1 13(∠ ∠ ) = × + 3 × 3 3 =
11
2 14 14，2 14
故sin∠ = 5 3，
14
所以cos∠ = cos 1(∠ + ∠ ) = 1 × 11 3 × 5 3 = ，
2 14 2 14 7
所以sin∠ = 4 3，
7
7
在 △ 5 7中，由正弦定理可知sin∠ = sin∠ ，即4 3 = 5 3，解得 = ，7 14 8
1 1 5 7
所以 △ = 2 sin∠ = 2 × ×8 7 ×
3 = 35 3．
2 32
题型三
证明三角形中的恒等式或不等式
11．（23-24 高二下·湖北咸宁·期末）在 △ 中，角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 = 2 ，且 ≠ .
(1)若2 = 3 ，求sin ；
(2) + 证明： = ;
3 7
【解题思路】（1）根据 = 2 ，sin = sin2 ，然后结合正弦定理以及二倍角公式解得sin = .
8
（2）根据（1） = 2 cos ，然后结合余弦定理证明即可；
【解答过程】（1）依题意， = 2 ，所以sin = sin2 ，即sin = 2sin cos ，
3
由正弦定理可知， = 2 cos ，即cos = 4，
从而cos = cos2 = 2cos2 1 = 18，
A 3 7为三角形内角，故sin = .
8
2+ 2 2
（2）由（1）可知， = 2 cos ，由余弦定理可得： = 2 2 ，
即 2 = 2 + 2 3，
则 2( ) = ( 2 2)，又 ≠ ，
故 2 = + 2，
+
从而 = .
12．（23-24 高一下·安徽·期中）已知锐角 △ , , , 分别为角 , , 的对边，若 2 + 2 2 = 2
(1 + cos ).
(1)求证： = 2 ；
(2) 求 的取值范围.
【解题思路】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得 cos = (1 + cos )，再由正弦定理可得sin cos sin
cos = sin 即sin( ) = sin ，再根据 △ 是锐角三角形，所以 = 即可得解；
π π
（2）由 △ 是锐角三角形，所以6 < < 4，由正弦定理可得 = =
1
3 4sin2 ,结合角 的范围即可得解.
2 2 2
【解答过程】（1） 2 + 2 2 = 2 (1 + cos ) + 2 = (1 + cos )
cos = (1 + cos ) cos = (1 + cos )
根据正弦定理sin = sin ，由 cos = (1 + cos )
sin cos = sin (1 + cos ) sin cos sin cos = sin ，
即sin( ) = sin .
∵△ 是锐角三角形，
∴ , ∈ 0, π ， ∴ ∈ π , π ，
2 2 2
因此有 = = 2
（2） △ 是锐角三角形， ∴ , , ∈ 0, π ，而 = π = π 3 ，
2
π
0 < < 2 ,π π π
∴ 0 < 2 < 2 , < <π 6 4
0 < π 3 < 2
sin sin
由正弦定理sin = sin ，得 = sin = sin3 ，
则sin3 = sin(2 + ) = sin2 cos + cos2 sin = 2sin cos2 + (1 2sin2 )sin ，
而1 sin2 = cos2 , ∴ sin3 = 3sin 4sin3
所以 = 1 = 3 4sin2 , ∵ ∈
π , π , ∴ sin ∈ 1 , 2 ，
6 4 2 2
∴ = ∈ 1 ,1
1
因此 的取值范围为 ,1 .2 2
13．（23-24 高一下·江苏连云港·期末）在 △ 中，AD 是 △ 的角平分线，AE 是边 BC 上的中线，点
D、E 在边 BC 上．
(1) 用正弦定理证明 = ；
(2)若 = 4， = 3，∠ = 60°，求 DE 的长．
【解题思路】（1）由正弦定理知，sin∠ = sin∠ ，sin∠ = sin∠ ，结合条件可得结论；
（2）由余弦定理可求得 = 13，进而利用（1）的结论可求 .
【解答过程】（1）由正弦定理知，在 △ 中，sin∠ = sin∠ ，
△ 在 中，sin∠ = sin∠ ，
由∠ + ∠ = π，∠ = ∠ ，
所以sin∠ = sin∠ ,sin∠ = sin∠ ，
= 所以 ；
（2）在 △ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 · ·cos∠ = 16 + 9 2 × 4 × 3 × cos60° = 13，
= 4 4所以 13，由（1）可得 = = 3，所以 =
4 13
7 = ，7
因为 是 = 1 = 13边上的中线，所以 2 ，2
13
所以 = = .
14
14．（2024·全国·模拟预测）在 △ 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E
之间， = ．
(1)求证：sin∠ = sin∠ ．
2 2
(2)若 ⊥ ，求证： 2 +
2
2 = 1 sin∠ ．
【解题思路】（1）分别在 △ ， △ ， △ 中，利用正弦定理即可得证；
π π
（2）设∠ = ∠ = ，则0 < < 4，∠ = 2 2 ，在 △ ， △ 中，利用正弦定理即可得证.
sin
【解答过程】（1）如图．在 △ 中，由正弦定理，得sin = ．
△ sin 在 中，由正弦定理，得sin∠ = ．
△ sin 在 中，由正弦定理，得sin∠ = ．
sin∠ = sin = 所以sin∠ sin = 1，
所以sin∠ = sin∠ ．
（2）因为 ⊥ ，
π
所 + = 2，所以sin = cos ．
π
由∠ = 2可知∠ ，∠ 均为锐角．
由（1）知，∠ = ∠ ．
π π
设∠ = ∠ = ，则0 < < 4，∠ = 2 2 ．
sin∠ = cos2 = 1 2sin2 sin2 = 1 sin∠ 由 ，得 2 ．
△ = sin 在 中，由正弦定理，得 sin ．
在 △ sin cos 中，由正弦定理，得 = sin = sin ．
2 2 sin2 cos2 1 2
所以 2 + 2 = sin2 + sin2 = sin2 = 1 sin∠ ．
15．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）在 △ 中，内角 ， 都是锐角.
π
(1)若∠ = 3， = 2，求 △ 周长的取值范围；
(2)若sin2 + sin2 > sin2 ，求证：sin2 + sin2 > 1.
4 3 π
【解题思路】（1）根据正弦定理可得 + =
3 (sin + sin )，然后可得 + = 4sin + ，然后结合 6
的范围求出 + 的范围可得答案；
π
（2）由条件可得 为锐角，然后由 + > 2可得sin > cos ，即可证明.
π 2 4 3
【解答过程】（1）因为∠ = 3， = 2，所以sin = sin = sin = 3 = ，2 3
+ = 4 3所以
3 (sin + sin )，
因为sin + sin = sin + sin 1 + π = sin + 2sin +
3cos
3 2
3 3 π
= 2 sin + 2 cos = 3sin + 6
所以 + = 4sin + π ，
6
π
因为内角 ， 都是锐角，∠ = 3，
0 < < π π π π
所以 2 30 < = 2π < π ，即6 < < 2，所以sin + ∈ ,1 ，6 2
3 2
所以 + ∈ (2 3,4]，所以 △ 周长的取值范围为(2 3 + 2,6]，
（2）若sin2 + sin2 > sin2 ，则 2 + 2 > 2，所以 为锐角，
π π
所以 + > 2，所以 > 2 ，
π
π因为内角 ， 都是锐角，所以 ,2 ∈ 0, ，2
π
所以sin > sin = cos ，
2
所以sin2 + sin2 > cos2 + sin2 = 1.
题型四 求三角形面积的最值或范围
16．（23-24 高一下·浙江·阶段练习）在 △ 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin sin sin2
= sin2 sin2 .
(1)求角 ；
(2)若点 M 在边上 BC 满足 = 2 ，且 = 2，求 △ 面积的最大值.
【解题思路】（1）先利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）法一：先量化结合基本不等式求出 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.法二：利用双余弦
定理结合基本不等式求出 的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.
【解答过程】（1）由sin sin sin2 = sin2 sin2 ，
由正弦定理得 2 = 2 2，
即 = 2 + 2 2 1，所以cos = 2，
π
又 ∈ (0,π)，所以 = 3；
2 M BC = 2 = 1 + 2（ ）法一：由 在边 上满足 ，可得 3 3 ，
2 1 2 = + 4 + 4
2
两边平方可得 9 9 9 ，
1 2 4
所以4 = 2 + + 2，所以36 = 29 9 9 +2 + 4
2 ≥ 6 ，
当且仅当 = 2 时取“ = ”，
≤ 6 = 1 sin ≤ 3 3所以 ，所以 △ 2 ，2
3 3
即 △ 面积的最大值为 .
2
法二：由∠ + ∠ = π，则cos∠ + cos∠ = 0，
2+ 2 2 2+ 2 2
由余弦定理可得 2 + 2 = 0，
4+4 2 2 4+1 2 2
即 9 + 98 4 = 0，
3 3
可得2 2 3 2 6 2 +36 = 0，
又因为 2 = 2 + 2 ，
所以36 = 2 +2 + 4 2 ≥ 6 ，
当且仅当 = 2 时取“＝”，
所以 ≤ 6 1 3 3，所以 △ = 2 sin ≤ ，2
即 △ 3 3面积的最大值为 .
2
17．（23-24 高一下·甘肃·期中）已知 ， ， 分别为 △ 三个内角 A， ， 的对边， cos + 3 sin
= 0．
(1)求证：2 = + ；
(2)若 △ 为锐角三角形，且 2 + 2 = 2 +2 ，求 △ 面积的取值范围．
【解题思路】（1）根据题意利用正弦定理可得sin cos + 3sin sin = sin + sin ，利用三角恒等变换分
π
析可得 = 3，即可得结果；
（2 1 3）根据题意利用余弦定理可得 = 2 ， △ = ，利用正弦定理边化角，结合正弦函数可得 ∈2
[2,3)，即可得结果.
【解答过程】（1）因为 cos + 3 sin = 0，
由正弦定理可得sin cos + 3sin sin = sin + sin ，
又因为sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
代入整理得 3sin sin cos sin = sin ，
且 ∈ (0,π)，则sin ≠ 0，
可得 3sin cos = 1 π
1
，整理得sin = ，
6 2
π π π π
由 ∈ (0,π) ∈ π , 5π可知 6 ，则 6 6 6 = 6，解得 = 3，
+ = 2π可知 3 ，所以2 = + ．
（2）因为 2 + 2 = 2 +2 ，即 2 + 2 2 = 2 ，
2+ 2 2
由余弦定理可得cos = 2 =
2 1 1
2 = = 2，即 = 2 ，
所以 △ =
1
2 sin =
3 ，
2
2
由正弦定理可得sin = sin = sin = 3 = 3，2
2 2 2
则 = sin ， = sin = sin 2π3 3 3 ，3
1 2 2 2
则 = 2π2 × sin × sin3 3 =
2
3 sin sin
2π ，
3 3
3 2π 1 1
可得2 = sin sin = sin
3 cos + sin = 3sin cos + 2
3 2 2 2 2
sin
= 3sin2 14cos2 +
1 1 π 1
4 = 2sin 2 + 4，4 6
0 < < π π π
因为 △ 为锐角三角形，则 20 < 2π < π ，解得6 < < 2，
3 2
π π
则6 < 2 <
5π 1
6 6 ，可得2 < sin 2
π ≤ 1，
6
3 1 π 1 1 3
则2 = 2sin 2 + 4 ∈ , ，可知 ∈ [2,3)，6 2 4
1 3
所以 = sin = ∈ 3, 3 3△ 2 ．2 2
18．（23-24 高一下·天津·期中） △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 = 1.
π
(1)若 = 3, △ 的周长等于 3，求 , ；
(2)若 △ 为锐角三角形，且sin + 2 = sin( + )；
①求 ；
②求 △ 面积的取值范围.
【解题思路】（1）利用余弦定理求出 , 的关系，再结合三角形的周长即可得解；
（2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角 的范围，再利用正弦定理求
出边 ，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）由余弦定理及已知条件得， 2 + 2 = 1，
又因为 △ 的周长等于 3，
所以 + + = 3，得 + = 2。
2 + 2 = 1
联立方程组 + = 2 ，
解得 = 1, = 1；
2 ① + （ ） 根据题意sin 2 = sin( + )，
+
得sin 2 = 2sin
+ cos + 2 2 ，
π
因为0 < + 2 < 2，所以sin
+
2 > 0，
cos + = 1 +
π
所以 2 2，所以 2 = 3，
所以 + = 2π3 ，
π
所以 = 3；
②因为 △ 是锐角三角形，
π
由①知 = 3, + + = π得到 + =
2
3π，
0 < < π
故 2
π π
0 < 2π < π ，解得6 < < 2，
3 2
= = sin 由正弦定理sin sin ，得 sin ，
又 = 1 = sin ，所以 sin ，
= 1 sin = 1 sin 3 = 3 sin 所以 △ 2 2 sin 2 4 sin
= 3 sin
2π = 3
2π
sin cos cos
2π sin 3 1 3
3 3 3 = 8 4 sin 4 sin tan
+ ，
8
π π
又因6 < < 2,tan >
3
，
3
3 < 3 1故 + 3 < 3，
8 8 tan 8 2
3 3
所以 <
8 △
< ，
2
故 △ 的取值范围是 3 , 3 .8 2
19．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形 中， ⊥ , = = 2,∠ = ,120 ≤ <
180 .
(1)若 = 120 , = 6，求∠ 的大小；
(2) 若2 sin2 = 3 ，求四边形 面积的最大值.
【解题思路】（1）在 △ 中，先求出 ，再在 △ 利用正弦定理求出sin∠ ，利用大角对大边进行
取舍；
（2）把四边形 的面积用题干中给出的变量 进行表示，求解最值即可.
【解答过程】（1）解：由已知∠ = 120 , = = 2，得∠ = 30 ，
所以 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 4 8cos120 = 12，所以 = 2 3.
在 △ 中，因为 ⊥ ,∠ = 30 ，所以∠ = 60 ，又 = 6，
= sin∠ = sin∠ = 2 3sin60
1
由正弦定理得sin∠ sin∠ ，得 = ，6 2
因为 = 6 > = 2 3，所以∠ > ∠ ，所以0 < ∠ < 60 ，所以∠ = 30 .
（2）在 △ 中，由已知 = = 2,∠ = ,120 ≤ < 180 ，
1 1所以 △ = 2 sin∠ = 2 × 2 × 2 × sin = 2sin ，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 22 + 22 2 × 2 × 2cos = 8 8cos ，
在 △ ∠ = 90 ∠ = 90 180 中，因为 2 =
2，
又2 sin 2 =
3
3 ，所以 = 2sin ,
2
1
所以 △ = 2 sin∠ =
1 3 3 2
2 2sin sin2 = = 2 3 24 3cos ，2
所以四边形 的面积 ( ) = △ + △ = 2sin + 2 3 2 3cos = 2 3 +4sin( 60 )，
因为120 ≤ < 180 ，所以60 ≤ 60 < 120 ，当 60 = 90 ，即 = 150 时， ( )max = 2 3 +4，
故四边形 面积的最大值为2 3 +4.
20．（24-25 高二下·辽宁本溪·开学考试）在①( )sin( + ) = ( )(sin + sin )；②2 = 3 ；
③ cos = 3 sin ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中 S 为 △ 的面
3
积）.
问题：在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且______.
(1)求角 B 的大小；
(2)AC 边上的中线 = 2，求 △ 的面积的最大值.
1
【解题思路】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到 2 + 2 2 = ，再由余弦定理得到cos = 2，即可
求解；
若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到 sin = 3 cos ，得到tan = 3，
即可求解；
若选③：由正弦定理化简可得到sin cos 3sin sin = 0，求得tan = 3，即可求解.3
8
（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到 ≤ 3，结合面积公式，即可求解.
【解答过程】（1）解：若选①：在 △ 中，因为sin( + ) = sin(π ) = sin ，
由( )sin( + ) = ( )(sin + sin )，
可得( )sin = ( )(sin + sin )，
由正弦定理得 ( ) = ( )( + )，即 2 + 2 2 = ，
2
cos = +
2 2 1
则 2 = 2 = 2，
π
又因为0 < < π，故 = 3.
若选②：由2 = 3 ，可得 sin = 3 cos ，所以tan = 3，
因为0 < < π，所以 = 3.
3
若选③：因为 cos = sin ，
3
3
正弦定理得sin cos = sin sin sin ，
3
3
又因为 = ( + )，所以sin cos = sin( + ) sin sin ，3
3
即sin cos sin sin = 0，
3
因为0 < < π，sin ≠ 0，所以tan = 3，
π
又因为0 < < π，可得 = 3；
π
综上所述：选择①②③，都有 = 3.
2
（2）解：由2 = + ，可得4| | = 2 + 2 +2 cos ，
所以8 = 2 + 2 + ≥ 3 ≤ 8 2 6，可得 3，当且仅当 = = 时取等号， 3
1 3 2 3 2 6
则 △ = 2 sin = ≤ ，当且仅当 = = 时取等号，4 3 3
则 △ 2 3的面积的最大值为 .
3
题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围
21．（23-24 高一下·广东惠州·期中）已知 △ 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,( + )(sin sin ) =
( )sin .
(1)求角 ；
(2)若 △ 外接圆的直径为2 3，求 △ 周长的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，利用正弦定理化简得到 = 2 + 2 2，再由余弦定理，即可求解；
（2）方法一：由正弦定理求得 = 3，利用余弦定理和基本不等式，求得 + ≤ 6，进而求得 △ 周长的
取值范围；
方法二：根据题意，利用正弦定理求得 = 3，化简得到 + + = 3 + 6sin + π ，结合三角函数的性质，
6
即可求解.
【解答过程】（1）因为 , , ,( + )(sin sin ) = ( )sin ，
由正弦定理可得( + )( ) = ( ) ，即 = 2 + 2 2，
2+ 2 2 1 π
又由余弦定理得cos = 2 = 2，又因为 ∈ (0,π)，所以 = 3.
（2）方法一：因为 △ 外接圆的直径为2 3，
由正弦定理得sin = 2 3，则 = 2 3 ×
3 = 3，
2
由余弦定理得9 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
2
因为3 = ( + )2 9 ≤ 3 × ( + ) 1，所以 ( + )24 4 ≤ 9，即 + ≤ 6，
由三角形性质知3 < + ≤ 6，当且仅当 = 时，等号成立，
所以6 < + + ≤ 9，故 △ 周长的取值范围为(6,9].
方法二：因为 △ 外接圆的直径为2 3，
3
由正弦定理得sin = 2 3 = sin = sin ，则 = 2 3 × = 3，2
+ + = 3 + 2 3sin + 2 3sin = 3 + 2 3 sin + sin + π
3
= 3 + 2 3 sin + 1 sin + 3 cos = 3 + 2 3 3 sin + 3 cos = 3 + 6sin + π
2 2 2 2 6
2π π π
因为0 < < 3 ，可得6 < +
5π 1
6 < 6 ，所以2 < sin +
π ≤ 1，
6
所以6 < + + ≤ 9，故 △ 周长的取值范围为(6,9].
22．（23-24 高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 , , ，向量 = (
sin ,cos )， = (2sin cos , sin )，且 ⊥ .
(1)求角 C 的值；
(2)若 = 4，求 + 的取值范围.
【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示，方法一：利用正弦定理和余弦定理角化边可得；方法二：利用
和差公式化简即可得解.
（2）方法一：利用正弦定理将 + 表示为关于角 的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得；
方法二：利用正弦定理将 b 表示为关于角 的函数，利用正切函数性质求出 b 的范围，由余弦定理用 b 表示
c，然后表示出 + ，根据函数单调性可解.
【解答过程】（1）因为 ⊥ ，
所以 = sin (2sin cos ) cos sin
= 2sin sin (sin cos + cos sin ) = 0，
方法一：利用正弦定理角化边得2 sin ( cos + cos ) = 0，
2 2 2 2 2 2
又cos = + ,cos = + 2 2 ，
∴ 2 sin = 0 1，则sin = 2，
π
又 △ 为锐角三角形，故 = 6.
方法二：由和差公式可得2sin sin sin( + ) = 2sin sin sin = 0，
又因为 ∈ 0, π ,sin ≠ 0
1
，所以sin = 2，2
π
又 △ 为锐角三角形，故 = 6.
2 = sin = 4sin
5 π = 2cos +2 3sin （ ）由正弦定理得 6sin = 2 +
2cos
sin sin
3 sin ，
= sin 2sin = sin ，
由于 △ 为锐角三角形，则 ∈ 0, π ，
2
π
又0 < = 5π6 < 2，解得 ∈
π , π ，
3 2
4cos2
方法一：所以 + = 2 2cos 2 2cos +23 + + = 2 3 + = 2 3 + 2sin sin sin 2sin cos
2 2
4cos2 2
= 2 3 + 2 = 2 3 + tan 2sin cos ，
2 2 2
π
而2 ∈ ,
π
，即tan ∈ 32 ,1 ，6 4 3
1
∴ tan ∈ (1, 3)，故 + 的取值范围为(2 + 2 3,4 3).
2
方法二：所以tan > 13，所以 3tan ∈ 0, ，3
= 2 + 2cos 2又 3 sin = 2 3 + tan ，所以 ∈ 2 3,
8 3 ，
3
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos = 2 4 3 + 16，
记 ( ) = + = 2 4 3 + 16 + = ( 2 3)2 + 4 + ，
易知 ( )在 2 3, 8 3 上单调递增，
3
所以 (2 3) < ( ) < 8 3 ，即2 + 2 3 < + < 4 3，
3
所以 + 的取值范围为(2 + 2 3,4 3).
cos +123．（23-24 高一下·广东惠州·期中）在① = 3sin ，②2 sin = tan ，③( )sin + sin( + ) = sin
，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若__________.
(1)求角 B；
(2)若 + = 4，求 △ 周长的最小值.
【解题思路】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；
（2）由余弦定理可得 2 = 16 3 ，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积
公式求出面积
cos +1
【解答过程】（1）选① = 3sin ，
sin 1+cos
由正弦定理可得sin = ,sin > 03sin ，即得 3sin = 1 + cos ，
π π π π
即有sin =
1
2，由于0 < < π，可得 6 =6 6，即 = 3.
选②2 sin = tan ，
由正弦定理可得2sin sin = sin tan ，
sin 1
因为sin > 0，sin > 0，所以2sin = cos ，即cos = 2.
π
由于0 < < π，可得 = 3.
选③( )sin + sin( + ) = sin ，
由正弦定理和诱导公式可得( ) + 2 = 2，即为 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 π
由余弦定理可得cos = 12 = 2. 由于0 < < π，可得 = 3.
π
（2）由（1）知 = 3，由余弦定理可得
2 + 2 2 = 2 cos = ，
即为( + )2 2 = 3 ，而 + = 4，即 2 = 16 3 .
若 + = 4，则4 ≥ 2 ，可得 ≤ 4（当且仅当 = = 2时取得等号），
则 ≥ 16 3 × 4 = 2，所以 △ 周长的最小值为 6.
24．（23-24 高一下·辽宁·期中）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = 2 3，
(sin sin )(2 3 + ) = ( )sin .
(1)求角 B 的大小；
(2)若 > ，求 2 + 1 22 的取值范围.
π
【解题思路】（1）根据正弦定理得到 2 + 2 2 = ，由余弦定理得到 = 3；
（2）由正弦定理得到 = 4sin ， 2 + 2 12 = 1，故 2 + 22 = 12
1
2
2，由 > ∈ π 2π得到 , ，进
3 3
而得到 ∈ 0, π ，求出答案.
3
【解答过程】（1）因为 = 2 3，(sin sin )(2 3 + ) = ( )sin ，
由正弦定理得( )( + ) = ( )，即 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
由余弦定理得cos = 2 = 2 = 2，
π
因为 ∈ (0,π)，所以 = 3；
2 3
（2 ）由正弦定理得sin = sin = sin π = 4，3
所以 = 4sin ，
由（1）得 2 + 2 12 = ，
1
故 2 + 2 = 2 22
2 +12 + 1 2 1 22 = 12 2
π π 2π
因为 > ，所以 > = 3，故 ∈ , ，3 3
所以 = π ∈ 0, π ，sin ∈ 0, 3 ，
3 2
故 = 4sin ∈ (0,2 3)，
则 2 + 1 2 = 12 12 2
2 ∈ (6,12).
25．（23-24 高一下·北京大兴·期末）记 △ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin = 3 cos
．
(1)求∠ ；
(2)若 = 3．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求 △
的面积．
条件①： = 6；条件②： = 2
1
；条件③：sin = 3．
（ii）求 △ 周长的取值范围．
【解题思路】（1）利用正弦定理边化角化简得tan = 3，计算即得．
（2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积
公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等
式计算即可.
【解答过程】（1）由 sin = 3 cos 可得sin sin = 3sin cos ,
因为在 △ 中sin > 0,sin > 0,，所以sin = 3cos > 0，
π
即tan = 3，因为 ∈ (0,π)，所以∠ = 3.
π
（2）（i）若选条件① = 6，结合（1）∠ = 3及 = 3，
= , sin = sin =
6sin π
由正弦定理 3sin sin 可得 =
6 > 1，
3 2
则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，
π
若选条件②： = 2 ，结合（1）∠ = 3及 = 3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，可得3 = 4 2 + 2 2 2 = 3 2，解得 = 1，
易知 = 2 = 2，故此时满足条件的三角形唯一.
1 π
所以 △ = 2 sin =
1 3
2 × 2 × 1 × sin3 = .2
1 π
若选条件③：sin = 3，结合（1）∠ = 3及 = 3，
因为sin = 13 < sin =
3,所以 为锐角,
2
sin = 1 > 0 2 2
由 3
sin2 + cos2
,可得cos = ，
= 1 3
因为在 △ 中 + = π
所以sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 3 × 2 2 +
1 × 1 = 2 6+1
2 3 2 3
.
6
易知满足条件的三角形唯一.
= sin
3× 2 6+1 2 6+1
由正弦定理 6sin sin ,可得 = sin = = ,sin π 3
3
= 1 sin = 1 × 2 6+1 × 3 × sin = 6 2+ 3所以 △ 2 2 .3 18
（ii）由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得3 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
≤ +
2 2
结合基本不等式 ，可得3 ≥ ( + )2 3 + 2 2 ，
解得： + ≤ 2 3,当且仅当 = = 3，原式取等.
又在 △ 中易得 + > = 3.
所以 △ 周长 △ = + + = + + 3 ∈ (2 3,3 3].
△ 周长的取值范围为(2 3,3 3].
题型六 距离、高度、角度测量问题
26．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图， ， ， ， 都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），
， 为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于 处测得点 和点 的仰角分别为75°，30°，于 处测得点 和点
的仰角均为60°， = 1km，求点 ， 间的距离（提示：sin15° = 6 2）．
4
【解题思路】方法一：通过仰角以及三角形外角定理，用正弦求出 AD，以及 AB，再在 △ 中用余弦定
理求解即可；
方法二：通过说明△AMC≌△DMC，先求 AB，再利用正弦定理求 BD.
【解答过程】方法一 在 △ 中，∠ = 60° ∠ = 60° 30° = 30°，∠ = 180° 60° = 120°，
= sin120°由正弦定理，得 sin30° = 3(km)．
在 △ 中，∠ = 60°，∠ = 75° 60° = 15°，
sin60°
由正弦定理，得 = = 3 2+ 6sin15° ．2
在 △ 中，∠ = 180° 75° 30° = 75°，
2
由余弦定理，得 = 2 + 2 2 cos75° = 3 2+ 6 + 3 2 × 3 2+ 6 × 3cos75° = 3 2+ 6
2 2 2
(km)．
即点 ， 间的距离为3 2+ 6km．
2
方法二 如图，过点 作 垂直水平线于点 ，过点 作 垂直水平线于点 ，记 与 的交点为 ．
由外角定理，得∠ = 60° ∠ = 60° 30° = 30°，
所以 = ．
又易知∠ = ∠ = 60°，
所以 △ ≌ △ ，所以 为 的中点，所以 = ，
= sin60°又 3 2+ 6sin15° = 2 (km)，
所以 = 3 2+ 6
2 (km)．
所以点 ， 间的距离为3 2+ 6km．
2
27．（24-25 高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的 5G 网络，无论是大山深处还是广袤
平原，处处都能见到 5G 基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 5G 基站 ，
已知基站高 = 50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置 处（眼睛所在位置）
测得基站底部 的仰角为37°，测得基站顶端 的仰角为45°，求出山高 （结果保留整数）．（参考数据：
sin8° ≈ 0.14，sin37° ≈ 0.6，sin45° ≈ 0.7，sin127° ≈ 0.8， 2 ≈ 1.4）
【解题思路】在 △ 中利用正弦定理求出 ，再在Rt △ 中利用锐角三角函数求出 ，即可得解.
【解答过程】依题意可得∠ = 45° 37° = 8°，∠ = 45°，
50
在 △ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，即sin8° = sin45°，
≈ 50×0.7所以 0.14 = 250(m)，
Rt △ sin∠ = sin37° = 在 中， ，即 250，
所以 ≈ 250 × 0.6 = 150(m)，
所以山高 = + = 150 + 1.5 = 151.5 ≈ 152(m)．
28．（24-25 高一下·全国·单元测试）已知 ， 是两个小区的所在地， ， 到一条公路 的垂直距离分别
为 = 1km， = 2km， ， 两地之间的距离为4km．如图所示，某移动公司将在 ， 之间找一点 ，
在 处建造一个信号塔，使得 对 ， 的张角与 对 ， 的张角相等，试确定点 到点 的距离．
【解题思路】设 = km，∠ = ，则 = (4 )km，∠ = ，∠ = π 2 ，依题意用 表
示出tan ,tan2 ，由二倍角的正切公式求得 ，即可求解．
【解答过程】设 = km，∠ = ，
则 = (4 )km，∠ = ，∠ = π 2 ．
1 2
依题意得tan = ，tan2 = tan(π 2 ) = 4 ，
2
由tan2 = 2tan 2 11 tan2 得， 24 = 1 ，解得 =1 4，
1
故点 到点 的距离为4km．
29．（23-24 高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在 A 处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离
为 60 海里 处有毒贩正驾驶小船以每小时15( 3 1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船
以每小时15 6海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
【解题思路】（1）设缉毒船经过 t 小时恰好能将毒贩抓捕，可知∠ = 120°，利用余弦定理运算求解；
（2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得∠ = 45°，进而可得结果.
【解答过程】（1）设缉毒船经过 t 小时恰好能将毒贩抓捕，
由题意可知：∠ = 180° 75° + 15° = 120°, = 60, = 15 6 , = 15( 3 1) ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
2
即(15 6 ) = 602
2
+ 15( 3 1) 2 × 60 × 15( 3 1) × 1 ，
2
整理可得( 2) ( 3 + 1) + 4 = 0，解得 = 2，
所以缉毒船经过 2 小时恰好能将毒贩抓捕.
（2）由（1）可知：∠ = 120°, = 60, = 30 6, = 30( 3 1)，
sin∠ 60× 3
由正弦定理sin∠ = sin∠ 可得sin∠ = 2
2
= = ，30 6 2
且∠ 为锐角，则∠ = 45°，可得∠ = 180° 120 45° = 15°，
所以缉毒船的行驶方向为北偏东75° 15° = 60°.
30．（23-24 高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个
测量基点 C 与 D．现测得∠ = 60°，∠ = 75°， = 60m，并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角
∠ = 30°.
(1)求 B 与 D 两点间的距离；
(2)求塔高 .
【解题思路】（1）根据正弦定理即可得到答案；
（2）首先根据正弦定理求出 ，再根据三角函数定义即可得到答案.
【解答过程】（1）在 △ 中， ∵ ∠ = 60°,∠ = 75°, ∴ ∠ = 45°.
由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
= sin∠
60× 3
sin∠ =
2
2 = 30 6(m)，
2
（2）sin75 = sin(45 + 30 ) = sin45 cos30 + cos45 sin30 = 2 × 3 + 2 ×
1 6+ 2
2 2 2 2
= .
4
在 △ 中，由正弦定理得
sin∠ = sin∠ ，
60× 6+ 2
= sin∠ 4sin∠ = 2 = 30 + 30 3(m)，
2
3
在Rt △ 中， = tan∠ = tan30 = × 30( 3 +1) = 30 + 103 3(m).
题型七 解三角形与三角函数性质的综合应用
31．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 .
(1)求函数 = log2 ( )的定义域和值域；
(2)已知锐角 △ 的三个内角分别为 A，B + ，C，若 = 0，求 的最大值.2
【解题思路】（1）先化简 ( ) π 1，然后利用真数大于 0 可得sin 2 > 2，即可求出定义域，继而求出值域；6
π π π
（2）先利用（1）可得 = 3，结合锐角三角形可得6 < < 2，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【解答过程】（1） ( ) = 2 3sin cos 2cos2 = 3sin2 cos2 1 = 2sin 2 π 1，
6
所以要使 = log2 ( ) = log2 2sin 2 π 1 有意义，6
π π 1
只需2sin 2 1 > 0，即sin 2 > ，
6 6 2
π π π π
所以6 +2 π < 2 6 <
5π
6 +2 π, ∈ Z，解得6 + π < < 2 + π, ∈ Z
= log ( ) π所以函数 2 的定义域为 + π, π + π , ∈ Z，6 2
由于0 < 2sin 2 + π 1 ≤ 1，所以log2 ( ) ≤ log21 = 0，6
所以函数 = log2 ( )的值域为( ∞,0]；
（2）由于 = 2sin π 1 = 0，所以sin
1
π =
2 6 6 2
，
π π π π π π π
因为0 < < 2，所以 6 < 6 < 3，所以 6 = 6即 = 3，
0 < < π π π
由锐角 △ 可得 20 < = 2π < π ，所以6 < < 2，
3 2
+ = sin +sin
2 2
由正弦定理可得 sin = 3 sin + sin
π + = 3 sin + 3 cos = 3sin + cos = 2sin
3 3 2 2
+ π ，
6
π π π π 2π +
因为6 < < 2，所以3 < + 6 < 3 ,所以 3 < ≤ 2，
+
所以 的最大值为 2.
32．（23-24 高一下·广东清远·期中）已知函数 ( ) = sin ( > 0).
(1)当 = 23时，求函数 ( )的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
(2)设 = 2，在 △ A 2中， ，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ( ) = 3sin , = 2，求 △ 面积的最大
值.
2π
【解题思路】（1）利用 = | |求出最小正周期，并求出图象相邻两条对称轴距离；
（2）由正弦二倍角公式得到cos = 1 2 + 2 = 2 3，由余弦定理求出 3 +4，由基本不等式求出 ≤ 3，从而得
到面积最大值.
2 2π
【解答过程】（1） ( ) = sin3 的最小正周期为 = 2 = 3π，3
1 3
它的图象相邻两条对称轴的距离为2 = 2π；
（2）由题意得sin2 = 23sin ，即2sin cos =
2
3sin ，
因为 ∈ (0,π)，所以sin > 0，故cos =
1
3，
2+ 2 4
由余弦定理得 2 =
1
3，即
2 + 2 = 2 3 +4，
由基本不等式得 2 + 2 ≥ 2 ，当且仅当 = 时，等号成立，
2
故 3 +4 ≥ 2 ，解得 ≤ 3，
其中sin = 1 cos2 = 2 2，3
1
故 △ 面积2 sin ≤
3
2 ×
2 2 = ，
3 2
故 △ 面积的最大值为 2.
33．（23-24 高二下·浙江温州·期末）已知函数 ( ) = 2sin cos + 3cos2 .
（Ⅰ）求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角 △ 中，设角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ( ) = 0且 = 3，求 + 的取值范围.
【解题思路】（Ⅰ）化简函数 ( ) = 2sin 2 + ，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
3
（Ⅱ）由（1）及 ( ) = 0，求得 = 3，根据正弦定理得到 = 2 3sin ， = 2 3sin ，得到 + = 2 3(sin
+ sin ) = 6sin + ，结合6 < < 2，即可求解.6
【解答过程】（Ⅰ）由题意，函数 ( ) = 2sin cos + 3cos2 = sin2 + 3cos2 = 2sin 2 + ，
3
2
所以函数 ( )的最小正周期为 = 2 = ，
令2 2 ≤ 2 + 3 ≤ 2 + , ∈
5
2 ，解得 12 ≤ ≤ + 12, ∈ ，
5
所以函数的单调递增区间是 , + ， ∈ .
12 12
（Ⅱ）由（1）可得 ( ) = 2sin 2 + = 0 ，因为 ∈ 0, ，可得 = ，
3 2 3
=
3
由正弦定理可知sin sin = sin = 3 = 2 3，所以 = 2 3sin ， = 2 3sin ，2
0 < <
由 = 3及 △ 为锐角三角形
2
0 < 2 < ，解得6 < < 2，
3 2
则 + = 2 3(sin + sin ) = 2 3[sin + sin( + )]
= 2 3 sin + 1 sin + 3 cos = 2 3 3sin + = 6sin + .
2 2 6 6
2 3
因为6 < < 2，可得3 < + 6 < 3 ，所以 < sin + ≤ 1，2 6
所以 + = 6sin + ∈ (3 3,6].
6
34．（23-24 高一下·四川巴中·期末）已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, < < 的部分图象如图所示．
2 2
（1）求函数 ( )的解析式；
（2）在锐角 △ 3 3中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ( ) = 3， = 2，且 △ 的面积为 ，2
求 ．
【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得 = 2 5 ，代入点 ,2 可求得 ；
12
（2）根据 ( ) = 3求得 = 3，根据面积求出c，即可由余弦定理求得a.
3 5 3
【解答过程】解：（1）据图象可得 4 = 12 = 4 ，故 = ，3
由 = 2 = 得： = 2．
5 5 5
由 = 2sin 2 × + = 2得：sin + = 1．
12 12 6
5 4
由 2 < < 2知，3 < 6 + < 3 ，
∴ 5
6 + = 2，解得 = 3，
∴ ( ) = 2sin 2 ；
3
（2） ∵ ( ) = 2sin 2 = 3， ∴ sin 2 = 3，
3 3 2
∵ ∈ (0,2)，2 3 ∈
, 2 ，
3 3
∴ 2 3 = 3， ∴ = 3，
△ 1 × 2 × × sin = 3 3由题意得 的面积为2 3 ，解得 = 3，2
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 22 + 32 2 × 2 × 3cos3 = 7，解得： = 7.
35．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知函数 ( ) = sin( + ) > 0,0 < < 6,| | < π 的最大值是 4，
2
π 7π
函数 ( )图象的一条对称轴是 = 3，一个对称中心是 ,0 ．12
(1)求 ( )的解析式；
(2)已知 △ 中， 是锐角，且 = 2， 边长为 3，求 △ 的面积的最大值．
2
【解题思路】（1）根据三角函数性质可确定解析式；
（2）根据余弦定理，基本不等式可得面积最大值．
【解答过程】（1）设 ( )的最小正周期为 ，
π
∵ ( ) 7π图象的一条对称轴是 = 3，一个对称中心是 ,3 ，12
π
∴7π12 3 =
4 × (2 1), ∈ N
，
π
∴ = 2 1, ∈ N ，解得 = 4 2, ∈ N
，
∵0 < < 6，则 = 2，
π
∵ ( )图象的一条对称轴为 = 3，
∴2π
π π
3 + = 2 + π, ∈ Z, = 6 + π, ∈ Z，
π π
∵| | < 2，∴ = 6，
又∵ ( )的最大值是 4，
∴ = 4，则 ( ) = 4sin 2 π ．
6
（2）∵ = 2，∴4sin π = 2，
2 6
π π π π
又 ∈ 0, ，∴
2 6
= 6，即 = 3，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 2 cos ≥ 2 = ，
当且仅当 = = 3时取等号，则 ≤ 9，
1 1 3 9 3
则 △ 的面积为2 sin ≤ 2 × 9 × = ，2 4
△ 9 3所以 的面积的最大值为 ．
4专题 6.8 解三角形的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 正、余弦定理判定三角形形状
1．（23-24 高一下·北京通州·期末）在△ 中，角 , , 所对的边为 , , ，△ 的面积为 S，且 =
2+ 2 2
4 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 cos ，试判断△ 的形状，并说明理由．
2．（2025 高一·全国·专题练习）已知 △ 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 = (cos cos
)．判断 △ 的形状.
3．（23-24 高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知 △ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
( + + )( + ) = 3 .
(1)求角 的大小；
(2)若 + = 2 ，试判断 △ 的形状.
4．（24-25 高一·上海·假期作业）（1）在 △ 中，若( cos )sin = ( cos )sin ,判断 △ 的形
状；
（2）在 △ 中，若 =60 ， 2 = ，判断 △ 的形状；
（3）在 △ 中，若lgsin lgcos lgsin = lg2，判断 △ 的形状.
5．（24-25 高一下·北京·阶段练习）在 △ 中，2sin22 + cos( + ) = 0．
(1)求∠ 的大小；
(2)若 = 2 ，求证： △ 为直角三角形．
题型二 几何图形中的计算
用向量证明线段垂直
6．（24-25 高一下·重用向庆量证·阶明线段段垂练直习）如图，已知在平面四边形 中，∠ =45°， = 3， = 2．
(1)若该四边形 存在外接圆，且 = 2，求 ；
(2)若∠ = ∠ = 60°，求 ．
7．（2024·全国·模拟预测）如图，四边形 为梯形， // ， = 2 = 6 2，tan = 2，cos∠ =2
1
3．
(1)求cos∠ 的值；
(2)求 的长．
8．（2024 高一下·山东临沂·期中）如图，在平面四边形 中， ⊥ ， = 1， = 3，∠ =
2π 21
3 ，cos∠ = ．7
(1)求∠ 的值；
(2)求 的长．
9．（23-24 高一下·河南开封·期中）已知四边形 是由 △ 与 △ 拼接而成，如图所示，
π
∠ = ∠ = 5π3，∠ = 6 .
(1)求证： < 3 ；
(2)若 = 1， = 2，求 的长.
10．（23-24 高一下·河北衡水·期末）如图所示，在平面四边形 ABCD 中，∠ = 150°，∠ = 60°，
= 3， = 1， = 7．
(1)求 BD 的长；
(2)若 AC 与 BD 交于点 O，求 △ 的面积．
题型三
证明三角形中的恒等式或不等式
11．（23-24 高二下·湖北咸宁·期末）在 △ 中，角 ， ， 的对边为 ， ， ，已知 = 2 ，且 ≠ .
(1)若2 = 3 ，求sin ；
(2) + 证明： = ;
12．（23-24 高一下·安徽·期中）已知锐角 △ , , , 分别为角 , , 的对边，若 2 + 2 2 = 2
(1 + cos ).
(1)求证： = 2 ；
(2) 求 的取值范围.
13．（23-24 高一下·江苏连云港·期末）在 △ 中，AD 是 △ 的角平分线，AE 是边 BC 上的中线，点
D、E 在边 BC 上．
(1) 用正弦定理证明 = ；
(2)若 = 4， = 3，∠ = 60°，求 DE 的长．
14．（2024·全国·模拟预测）在 △ 中，点 D，E 都是边 BC 上且与 B，C 不重合的点，且点 D 在 B，E
之间， = ．
(1)求证：sin∠ = sin∠ ．
2 2(2)若 ⊥ 2，求证： 2 + 2 = 1 sin∠ ．
15．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）在 △ 中，内角 ， 都是锐角.
π
(1)若∠ = 3， = 2，求 △ 周长的取值范围；
(2)若sin2 + sin2 > sin2 ，求证：sin2 + sin2 > 1.
题型四 求三角形面积的最值或范围
16．（23-24 高一下·浙江·阶段练习）在 △ 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若sin sin sin2
= sin2 sin2 .
(1)求角 ；
(2)若点 M 在边上 BC 满足 = 2 ，且 = 2，求 △ 面积的最大值.
17．（23-24 高一下·甘肃·期中）已知 ， ， 分别为 △ 三个内角 A， ， 的对边， cos + 3 sin
= 0．
(1)求证：2 = + ；
(2)若 △ 为锐角三角形，且 2 + 2 = 2 +2 ，求 △ 面积的取值范围．
18．（23-24 高一下·天津·期中） △ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 = 1.
π
(1)若 = 3, △ 的周长等于 3，求 , ；
(2) △ + 若 为锐角三角形，且sin 2 = sin( + )；
①求 ；
②求 △ 面积的取值范围.
19．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形 中， ⊥ , = = 2,∠ = ,120 ≤ <
180 .
(1)若 = 120 , = 6，求∠ 的大小；
(2)若2 sin 2 = 3 ，求四边形 面积的最大值.
20．（24-25 高二下·辽宁本溪·开学考试）在①( )sin( + ) = ( )(sin + sin )；②2 = 3 ；
③ cos = 3 sin ；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中 S 为 △ 的面
3
积）.
问题：在 △ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且______.
(1)求角 B 的大小；
(2)AC 边上的中线 = 2，求 △ 的面积的最大值.
题型五 求三角形中的边长或周长的最值或范围
21．（23-24 高一下·广东惠州·期中）已知 △ 的内角 , , 所对的边分别是 , , ,( + )(sin sin ) =
( )sin .
(1)求角 ；
(2)若 △ 外接圆的直径为2 3，求 △ 周长的取值范围.
22．（23-24 高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别为 , , ，向量 = (
sin ,cos )， = (2sin cos , sin )，且 ⊥ .
(1)求角 C 的值；
(2)若 = 4，求 + 的取值范围.
cos +123．（23-24 高一下·广东惠州·期中）在① = 2 sin = tan sin + sin = sin3sin ，② ，③( ) ( + )
，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若__________.
(1)求角 B；
(2)若 + = 4，求 △ 周长的最小值.
24．（23-24 高一下·辽宁·期中）在 △ 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = 2 3，
(sin sin )(2 3 + ) = ( )sin .
(1)求角 B 的大小；
(2) 1若 > ，求 2 + 2
2的取值范围.
25．（23-24 高一下·北京大兴·期末）记 △ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin = 3 cos
．
(1)求∠ ；
(2)若 = 3．
（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求 △
的面积．
1
条件①： = 6；条件②： = 2 ；条件③：sin = 3．
（ii）求 △ 周长的取值范围．
题型六 距离、高度、角度测量问题
26．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图， ， ， ， 都在同一个铅垂面内（与水平面垂直的平面），
， 为海岛上两座灯塔的塔顶．测量船于 处测得点 和点 的仰角分别为75°，30°，于 处测得点 和点
的仰角均为60°， = 1km，求点 ， 间的距离（提示：sin15° = 6 2）．
4
27．（24-25 高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的 5G 网络，无论是大山深处还是广袤
平原，处处都能见到 5G 基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 5G 基站 ，
已知基站高 = 50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置 处（眼睛所在位置）
测得基站底部 的仰角为37°，测得基站顶端 的仰角为45°，求出山高 （结果保留整数）．（参考数据：
sin8° ≈ 0.14，sin37° ≈ 0.6，sin45° ≈ 0.7，sin127° ≈ 0.8， 2 ≈ 1.4）
28．（24-25 高一下·全国·单元测试）已知 ， 是两个小区的所在地， ， 到一条公路 的垂直距离分别
为 = 1km， = 2km， ， 两地之间的距离为4km．如图所示，某移动公司将在 ， 之间找一点 ，
在 处建造一个信号塔，使得 对 ， 的张角与 对 ， 的张角相等，试确定点 到点 的距离．
29．（23-24 高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在 A 处巡逻，发现在北偏东75°方向、距离
为 60 海里 处有毒贩正驾驶小船以每小时15( 3 1)海里的速度往北偏东15°的方向逃跑，缉毒船立即驾船
以每小时15 6海里的速度前往缉捕．
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕；
(2)试确定缉毒船的行驶方向．
30．（23-24 高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高 时，可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个
测量基点 C 与 D．现测得∠ = 60°，∠ = 75°， = 60m，并在点 C 处测得塔顶 A 的仰角
∠ = 30°.
(1)求 B 与 D 两点间的距离；
(2)求塔高 .
题型七 解三角形与三角函数性质的综合应用
31．（2024·湖南·模拟预测）已知函数 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 .
(1)求函数 = log2 ( )的定义域和值域；
(2)已知锐角 △ + 的三个内角分别为 A，B，C，若 = 0，求 的最大值.
2
32．（23-24 高一下·广东清远·期中）已知函数 ( ) = sin ( > 0).
(1)当 = 23时，求函数 ( )的最小正周期以及它的图象相邻两条对称轴的距离；
(2)设 = 2，在 △ 2中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ( ) = 3sin , = 2，求 △ 面积的最大
值.
33．（23-24 高二下·浙江温州·期末）已知函数 ( ) = 2sin cos + 3cos2 .
（Ⅰ）求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角 △ 中，设角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，若 ( ) = 0且 = 3，求 + 的取值范围.
34．（23-24 高一下·四川巴中·期末）已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, < < 的部分图象如图所示．
2 2
（1）求函数 ( )的解析式；
2 3 3（ ）在锐角 △ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ( ) = 3， = 2，且 △ 的面积为 ，2
求 ．
35．（23-24 高一下·湖北武汉·期中）已知函数 ( ) = sin( + ) > 0,0 < < 6,| | < π 的最大值是 4，
2
π
( ) 7π函数 图象的一条对称轴是 = 3，一个对称中心是 ,0 ．12
(1)求 ( )的解析式；
(2) 已知 △ 中， 是锐角，且 = 2， 边长为 3，求 △ 的面积的最大值．
2
