专题 7.1 复数的概念【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 复数的分类及辨析】 ................................................................................................................................2
【题型 2 复数的相等】 ............................................................................................................................................3
【题型 3 已知复数的类型求参数 】 .......................................................................................................................4
【题型 4 复数的几何意义】 ....................................................................................................................................7
【题型 5 复数的向量表示】 ....................................................................................................................................8
【题型 6 共轭复数的求解】 ..................................................................................................................................10
【题型 7 复数的模的计算】 ..................................................................................................................................11
【题型 8 复数的模的几何意义】 ..........................................................................................................................12
【知识点 1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数 i，规定：
① ，即 i 是方程 的根；
②实数可以和数 i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数 a 与 i 相加，结果记作 a+i；实数 b 与 i 相乘，结果记作 bi；实数 a 与 bi 相加，结果
记作 a+bi.注意到所有实数以及 i 都可以写成 a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合 C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程 在复数集 C 中就有解 x=i 了.
(3)复数的表示
复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数 z=a+bi 都有 a,b∈R，其中的 a
与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，它叫做虚
数；当 a=0 且 b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 .
复数 z=a+bi 可以分类如下：
复数 ，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数 a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi 与 c+di 相等当且仅当
a=c 且 b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【题型 1 复数的分类及辨析】
【例 1】（24-25 高一下·湖南长沙·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若 2 +1 = 0，则 = i B．实部为零的复数是纯虚数
C． = ( 2 + 1)i可能是实数 D．复数 = 2 + i的虚部是i
【解题思路】根据复数的概念即可求解.
【解答过程】A. =± i，说法不正确；
B.实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
C.当 = i时， = ( 2 + 1)i是实数，说法正确；
D.复数 = 2 + i的虚部是 1，说法不正确.
故选：C.
【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数 = ，那么 + ( + )i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果 = 0，那么 = + i是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【解答过程】对于 A 中，若 = = 0，那么 + ( + )i = 0 ∈ R，所以 A 错误；
对于 B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以 B 正确；
对于 C 中，若 = 0且 = 0时，复数 = + i = 0 ∈ R，所以 C 不正确；
对于 D 中，由虚数单位i2 = 1，可得 D 错误.
故选：B.
【变式 1-2】（2024 高一下·江苏·专题练习）下列命题：
①若 ∈ R，则( + 1)i是纯虚数；
②若 ， ∈ R，且 > ，则 + i> +i；
③若( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i是纯虚数，则实数 =± 2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解题思路】对于①，当 = 1时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当 = 2时，
即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.
【解答过程】对于①，若 = 1，则( + 1)i不是纯虚数，则①错误；
对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若 = 2，则 2 4 = 0， 2 +3 + 2 = 0，此时( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i不是纯虚数，则③错误；
对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.
故选：D.
【变式 1-3】（23-24 高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（ ）
A．若 ∈ C，则 2 ≥ 0
B．若 , , ∈ C,( )2 + ( )2 = 0，则 = =
C．若 ∈ R，则( + 2)i是纯虚数
D．若 , ∈ C, > 0且 > 0，则 > 0且 + > 0
【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.
【解答过程】对于A，当 = i时， 2 = 1 < 0，故选项A错误；
对于B，当 = i, = 1时，( )2 + ( )2 = 0，但 , , 并不相等，故选项B错误；
对于C，若 + 2 = 0，则( + 2)i并不是纯虚数，故选项C错误；
对于D，因为 , ∈ C, > 0且 > 0，所以 , 为正实数，则 > 0且 + > 0，故选项D正确，
故选：D.
【题型 2 复数的相等】
【例 2】（23-24 高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知i为虚数单位， ， 为实数，若 2i = 3 + i，则 =
（ ）
A．1 B． 5 C．5 D． 1
【解题思路】根据复数相等的充要条件可得 = 3, = 2，即可求解.
【解答过程】由 2i = 3 + i可得 = 3, = 2，所以 = 5，
故选：C.
【变式 2-1】（23-24 高一下·湖南·期末）已知 x， ∈ C，则“ = = 1”是“ + i = 1 + i”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用复数相等的概念，以及条件的变化 , ∈ C，再用是否推出思想来判断充分不必要条件.
【解答过程】当 = = 1时， + i = 1 + i显然成立，所以 = = 1是 + i = 1 + i的充分条件；
当 = i, = i时， + i = 1 + i，
则 = = 1是 + i = 1 + i的不必要条件；
故选：A.
【变式 2-2】（23-24 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数 1 = 2 i, 2 = 1 + 2i，（ , ∈ R，i为虚数
单位），且 1 = 2，则（ ）
A． = 1, = 1 B． = 2, = 3
C． = 2, = 3 D． = 2, = 3
【解题思路】根据题意，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.
【解答过程】由复数 1 = 2 i, 2 = 1 + 2i，（ , ∈ R，i为虚数单位），
2 = 1因为 1 = 2，可得2 i = 1 + 2i，则 = 2 ，解得 = 2, = 3.
故选：D.
【变式 2-3】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知 21 = 3 + 2i， 2 = 4 + (5 + 6)i，其中 为实数，
i为虚数单位，若 1 2 = 0，则 的值为（ ）
A．4 B． 1 C．6 D． 1或 6
【解题思路】根据复数相等联立方程求得 的值.
【解答过程】由 1 2 = 0得 1 = 2 22，即 3 + i = 4 + (5 + 6)i，
2 3 = 4
根据复数相等的充要条件可得 2 = 5 + 6 ，解得 = 1.
故选：B.
【题型 3 已知复数的类型求参数 】
【例 3】（23-24 高一下·河北唐山·期中）如果复数 = 2 2 ( + 1)i是纯虚数， ∈ ，i是虚数单位，
则（ ）
A． = 1 B． = 2 C． = 1或 = 2 D． ≠ 1且 ≠ 2
【解题思路】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【解答过程】解： = 2 2 ( + 1)i是纯虚数，
2 2 = 0
则 ( + 1) ≠ 0 ，解得 = 2．
故选：B．
【变式 3-1】（23-24 高一下·四川凉山·期末）若复数( 1) + ( 2 1)i( ∈ R)是实数，则 = （ ）
A．1 B． 1 C． ± 1 D． ± 2
【解题思路】由复数分类可得其虚部为 0，可得 =± 1.
【解答过程】根据题意可得其虚部为 2 1 = 0，解得 =± 1.
故选：C.
【变式 3-2】（23-24 高一下·上海·期末）“ = 1”是“ = ( 2 3 + 2) + ( 2)i是纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要
2 3 + 2 = 0
【解题思路】依题意得， 2 ≠ 0 即可求解．
【解答过程】解： = ( 2 3 + 2) + ( 2)i是纯虚数，
2 3 + 2 = 0
则 2 ≠ 0 ，得 = 1，
则“ = 1”是“ = ( 2 3 + 2) + ( 2)i是纯虚数”的充要条件，
故选：D.
【变式 3-3】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）若复数 2 2 + (| 1| 1)i( ∈ )是纯虚数，则（ ）
A． = 1 B． ≠ 1且 ≠ 2 C． ≠ 1 D． ≠ 2
【解题思路】根据实部为零，虚部不为零列式计算.
【解答过程】由题意可得： 2 2 = 0，解得 = 1或 = 2，又| 1| 1 ≠ 0，所以 = 1.
故选：A.
【知识点 2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数 z=a+bi 有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b) 平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi 可用点 Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集 C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数 z=a+bi 复平面内的
点 Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi，连接 OZ，显然向量 由点 Z 唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数 0 与零向量对应)，即复数 z=a+bi
平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果 b=0，那么 z=a+bi 是一个实数 a，它
的模等于|a|(就是 a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r= (r 0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0
的两个共轭复数也复数 z 的共轭复数用 z 表示，即若 z=a+bi，则 .特别地，实数 a 的共轭复数仍
是 a 本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
① .
②实数的共轭复数是它本身，即 z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数 z=a+bi 在复平面内对应的点 Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数 z 在复平面内对应的点为 Z，r 表示一个大于 0 的常数，则满足条件|z|=r 的点 Z 组成的集合是以
原点为圆心，r 为半径的圆，|z|r 表示圆的外部.
【题型 4 复数的几何意义】
【例 4】（23-24 1 1高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）2 2i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】根据复数的几何意义判断即可.
1 1 1 1
【解答过程】2 2i在复平面内对应的点为 , ，位于第四象限.2 2
故选：D.
【变式 4-1】（23-24 高一下·北京通州·期末）复平面内点 (1, 2)所对应复数的虚部为（ ）
A．1 B． 2 C．i D． 2i
【解题思路】根据题意，由复数的几何意义即可得到点 对应的复数，从而得到结果.
【解答过程】复平面内点 (1, 2)所对应复数为1 2i，其虚部为 2.
故选：B.
【变式 4-2】（23-24 高一下·广东清远·期中）已知复数 = 3 4i，则（ ）
A． 的虚部为 4i B．| | = 3 + 4i
C． = 3 + 4i D． 在复平面内对应的点在第三象限
【解题思路】根据复数虚部、共轭复数、模和对应点坐标所在象限的知识，选出正确选项.
【解答过程】复数 = 3 4i的虚部为 4，故 A 不正确；
| | = |3 4i| = 32 + ( 4)2 = 5，故 B 不正确；
= 3 + 4i，故 C 正确；
在复平面内对应的点的坐标为(3, 4)，位于第四象限，故 D 不正确.
故选：C.
【变式 4-3】（23-24 高一下·安徽亳州·期末）复数 = i2 2i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】化简复数后，利用复数对应象限内点的特征求解即可.
【解答过程】由题意得 = i2 2i = 1 2i，故 在复平面内对应的点为( 1, 2)，
该点位于第三象限，故 C 正确.
故选：C.
【题型 5 复数的向量表示】
【例 5】（23-24 高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数3 + 4i， 2 + i对应的向量分别是 ， ，其
中 是原点，则向量 对应的复数为（ ）
A． 5 3i B． 1 3i C．5 + 3i D．5 3i
【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解.
【解答过程】由题意可得 = (3,4)， = ( 2,1)，
所以 = = ( 2,1) (3,4) = ( 5, 3)，
所以向量 对应的复数为 5 3i.
故选：A.
【变式 5-1】（2024 高一下·全国·专题练习）在复平面内，O 为原点，向量 对应的复数为 1 2i，若点 A
关于虚轴的对称点为 B，则向量 对应的复数为（ ）
A． 2 i B．2 + i
C．1 2i D． 1 + 2i
【解题思路】由对称得点 B 的坐标，即可确定复数.
【解答过程】由题意可知，点 A 的坐标为( 1, 2)，则点 B 的坐标为(1, 2)，
故向量 对应的复数为1 2i.
故选：C.
【变式 5-2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，设向量 ， ， 所对应的复数为 1, 2, 3，那么（ ）
A． 1 2 3 = 0
B． 1 + 2 + 3 = 0
C． 2 1 3 = 0
D． 1 + 2 3 = 0
【解题思路】由向量加减法的运算法则，结合复数的几何意义，逐项验证即可.
【解答过程】对于 A，由题图可知， = + = 2 ≠ 0，
则 1 2 3 = 0不成立，故 A 错误；
对于 B， + + = 2 ≠ 0，则 1 + 2 + 3 = 0不成立，故 B 错误；
对于 C， = + + = 2 ≠ 0， 2 1 3 = 0不成立，故 C 错误；
对于 D， + = = 0，所以有 1 + 2 3 = 0，故 D 正确.
故选：D.
【变式 5-3】（24-25 高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数 1 = 1 i, 2 = 1 + 2i（i为虚数单位）在复平
面内对应的点分别为 , ，将向量 绕着点 （ 为复平面内的原点）逆时针旋转90 得到向量 ，则 +
对应的复数为（ ）
A． 1 + 2i B．2i C．3i D．1 2i
【解题思路】依题意可得 (1, 1)， ( 1,2)，向量 与向量 = (1, 1)关于 轴对称，即可求出 的坐标，
从而求出 + ，再写出其对应的复数即可.
【解答过程】依题意可得 (1, 1)， ( 1,2)， = ( 1,2)，
由图知，向量 与向量 = (1, 1)关于 轴对称， ∴ = (1,1)，
∴ + = (1,1) + ( 1,2) = (0,3)，
所以 + 对应的复数为3i.
故选：C.
【题型 6 共轭复数的求解】
【例 6】（23-24 高一下·浙江绍兴·期末）复数1 2i的共轭复数是（ ）
A．1 2i B．1 + 2i C． 1 + 2i D． 1 2i
【解题思路】根据共轭复数的定义可以求得.
【解答过程】由共轭复数的定义可得，复数1 2i的共轭复数为1 + 2i，
故选：B.
【变式 6-1】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数 = 1 + 2i，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A．2i B． 2i C． 2 D．2
【解题思路】由共轭复数定义以及复数的虚部概念可直接得解.
【解答过程】由题 = 1 2i，所以 的共轭复数 的虚部为 2.
故选：C.
【变式 6-2】（24-25 高一下·四川遂宁·阶段练习）复数 = 2 + 3i，下列说法不正确的是（ ）
A． 的实部为 2 B． 的虚部为3i
C． = 2 3i D．| | = 13
【解题思路】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案
【解答过程】因为 = 2 + 3i，
所以实部为 2，虚部为 3， = 2 3i，| | = 13.
故选：B.
【变式 6-3】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知复数 = 1 + i（i为虚数单位），则其共轭复数 在复平
面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】先求出其共轭复数，然后可求出结果.
【解答过程】由 = 1 + i，
得 = 1 i，
所以其共轭复数 在复平面内对应的点( 1, 1)位于第三象限.
故选：C.
【题型 7 复数的模的计算】
【例 7】（23-24 高一下·北京丰台·期末）设复数 = 1 + i，则| | = （ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4
【解题思路】利用复数模的定义计算即得.
【解答过程】复数 = 1 + i，则| | = 12 + 12 = 2.
故选：B.
【变式 7-1】（23-24 高一下·广东茂名·期中）若复数z = 2 i( ∈ R)的实部与虚部互为相反数，则|z|的值为
（ ）
A．0 B．2 C．8 D．2 2
【解题思路】根据复数的有关概念即可得到结论
【解答过程】因为复数2 i( ∈ R)的实部为 2，虚部为 ，
由题意可得 + 2 = 0，解得 = 2,| | = 22 + ( 2)2 = 2 2，
故选：D.
【变式 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 = (2 1) + ( + 1)i( ∈ )，则“| | = 2”是“ =
2
5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由| | = 2建立 的等量关系，求解 ，从而判断选项.
2
【解答过程】因为| | = (2 1)2 + ( + 1)2 = 2，化简得5 2 2 = 0，解得 = 0或 = 5，故“| | = 2”是
“ = 25”的必要不充分条件.
故选：B．
【变式 7-3】（24-25 高一下·新疆和田·阶段练习）设复数 = ( + 1) + ( 3)i, ∈ ，则| |的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2 2 D．4
【解题思路】先求出| |= 2 ( 1)2 + 4，再利用二次函数的图象和性质求解.
【解答过程】由题得| | = ( + 1)2 + ( 3)2 = 2 2 4 + 10 = 2 2 2 + 5
= 2 ( 1)2 + 4
当 = 1时，| |的最小值为2 2.
故选：C.
【题型 8 复数的模的几何意义】
【例 8】（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数 满足| 1| = 1，则| + 2 + 4i|（i是虚数单位）的最小值
为（ ）
A． 17 1 B．4 C． 17 +1 D．6
【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果.
【解答过程】设 = + i，则由| 1| = 1 ( 1)2 + 2 = 1，
所以复数 在复平面内对应的点坐标在(1,0)为圆心，1 为半径的圆上，如下图所示：
而| + 2 + 4i| = ( + 2)2 + ( + 4)2，
即求复平面内点( , )到( 2, 4)距离的最小值，
由圆的几何性质可知当点( , )位于( 2, 4)与圆心(1,0)点连线交点时，取到最小值，
即 ( 2 1)2 + ( 4 0)2 1 = 4
故选：B.
【变式 8-1】（24-25 高一·全国·随堂练习）设 ∈ ，则满足1 ≤ | | ≤ 3的复数在复平面上的对应点构成图形
的面积是（ ）
A．π B．4π C．8π D．9π
【解题思路】设 = + i， , ∈ R，依题意可得1 ≤ 2 + 2 ≤ 9，即可得到复数 在复平面内的点所在的区
域，从而求出其面积.
【解答过程】设 = + i， , ∈ R，则| | = 2 + 2，
因为1 ≤ | | ≤ 3，所以1 ≤ 2 + 2 ≤ 3，则1 ≤ 2 + 2 ≤ 9，
所以复数 在复平面内的点位于以坐标原点为圆心，半径为1到半径为3之间的圆环部分（包括圆上的点），
所以复数 在复平面上的对应点构成图形的面积 = 32 × π 12 × π = 8π.
故选：C.
【变式 8-2】（24-25 高一·全国·课堂例题）设： ∈ ，点 对应复数 ，在复平面内满足下列条件的点 的集
合是什么图形？
(1)| | = 2；
(2)2 ≤ | | ≤ 3．
【解题思路】（1）根据复数模长的几何意义求解即可.
（2）根据复数模长的几何意义求解即可.
【解答过程】（1）复数 的模等于 2，这表明，复数 对应的向量 之的长度等于 2，
即点 到原点 的距离等于 2，
因此满足条件| | = 2点 的集合是以原点 为圆心，以 2 为半径的圆．
2 | | ≤ 3,（ ）不等式2 ≤ | | ≤ 3可以化为不等式组 | | ≥ 2.
不等式| | ≤ 3的解集是圆| | = 3和该圆内部所有的点构成的集合，
不等式| | ≥ 2的解集是圆| | = 2和该圆外部所有的点构成的集合，
这两个集合的交集，即上述不等式组的解集，也就是满足条件2 ≤ | | ≤ 3的点 的集合．
所求的集合是以原点 为圆心，以 2 和 3 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
【变式 8-3】（24-25 高一·全国·单元测试）已知复数 满足| + 2 2i| = 2，且复数 在复平面内的对应点为
．
(1)确定点 的集合构成图形的形状；
(2)求| 1 + 2i|的最大值和最小值．
【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点 的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
【解答过程】（1）设复数 2 + 2i在复平面内的对应点为 ( 2,2)，
则| + 2 2i| = | ( 2 + 2i)| = | | = 2，
故点 的集合是以点 为圆心，2 为半径的圆，如下图所示．
（2）设复数1 2i在复平面内的对应点为 (1, 2)，则| 1 + 2i| = | |,如下图所示，
| | = (1 + 2)2 + ( 2 2)2 = 5，
则| 1 + 2i|的最大值即| |的最大值是| | + 2 = 7；
| 1 + 2i|的最小值即| |的最小值是| | 2 = 3．专题 7.1 复数的概念【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 复数的分类及辨析】 ................................................................................................................................2
【题型 2 复数的相等】 ............................................................................................................................................2
【题型 3 已知复数的类型求参数 】 .......................................................................................................................3
【题型 4 复数的几何意义】 ....................................................................................................................................5
【题型 5 复数的向量表示】 ....................................................................................................................................5
【题型 6 共轭复数的求解】 ....................................................................................................................................6
【题型 7 复数的模的计算】 ....................................................................................................................................7
【题型 8 复数的模的几何意义】 ............................................................................................................................7
【知识点 1 数系的扩充和复数的概念】
1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数 i，规定：
① ，即 i 是方程 的根；
②实数可以和数 i 进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数 a 与 i 相加，结果记作 a+i；实数 b 与 i 相乘，结果记作 bi；实数 a 与 bi 相加，结果
记作 a+bi.注意到所有实数以及 i 都可以写成 a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合 C={a+bi|a,b∈R}叫
做复数集.这样，方程 在复数集 C 中就有解 x=i 了.
(3)复数的表示
复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数 z=a+bi 都有 a,b∈R，其中的 a
与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，它叫做虚
数；当 a=0 且 b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集 R 是复数集 C 的真子集，即 .
复数 z=a+bi 可以分类如下：
复数 ，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数 a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi 与 c+di 相等当且仅当
a=c 且 b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【题型 1 复数的分类及辨析】
【例 1】（24-25 高一下·湖南长沙·阶段练习）已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A．若 2 +1 = 0，则 = i B．实部为零的复数是纯虚数
C． = ( 2 + 1)i可能是实数 D．复数 = 2 + i的虚部是i
【变式 1-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数 = ，那么 + ( + )i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果 = 0，那么 = + i是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【变式 1-2】（2024 高一下·江苏·专题练习）下列命题：
①若 ∈ R，则( + 1)i是纯虚数；
②若 ， ∈ R，且 > ，则 + i> +i；
③若( 2 4) + ( 2 + 3 + 2)i是纯虚数，则实数 =± 2；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式 1-3】（23-24 高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（ ）
A．若 ∈ C，则 2 ≥ 0
B．若 , , ∈ C,( )2 + ( )2 = 0，则 = =
C．若 ∈ R，则( + 2)i是纯虚数
D．若 , ∈ C, > 0且 > 0，则 > 0且 + > 0
【题型 2 复数的相等】
【例 2】（23-24 高一下·新疆克孜勒苏·期中）已知i为虚数单位， ， 为实数，若 2i = 3 + i，则 =
（ ）
A．1 B． 5 C．5 D． 1
【变式 2-1】（23-24 高一下·湖南·期末）已知 x， ∈ C，则“ = = 1”是“ + i = 1 + i”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 2-2】（23-24 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知复数 1 = 2 i, 2 = 1 + 2i，（ , ∈ R，i为虚数
单位），且 1 = 2，则（ ）
A． = 1, = 1 B． = 2, = 3
C． = 2, = 3 D． = 2, = 3
【变式 2-3】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知 2 21 = 3 + i， 2 = 4 + (5 + 6)i，其中 为实数，
i为虚数单位，若 1 2 = 0，则 的值为（ ）
A．4 B． 1 C．6 D． 1或 6
【题型 3 已知复数的类型求参数 】
【例 3】（23-24 高一下·河北唐山·期中）如果复数 = 2 2 ( + 1)i是纯虚数， ∈ ，i是虚数单位，
则（ ）
A． = 1 B． = 2 C． = 1或 = 2 D． ≠ 1且 ≠ 2
【变式 3-1】（23-24 高一下·四川凉山·期末）若复数( 1) + ( 2 1)i( ∈ R)是实数，则 = （ ）
A．1 B． 1 C． ± 1 D． ± 2
【变式 3-2】（23-24 高一下·上海·期末）“ = 1”是“ = ( 2 3 + 2) + ( 2)i是纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要
【变式 3-3】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）若复数 2 2 + (| 1| 1)i( ∈ )是纯虚数，则（ ）
A． = 1 B． ≠ 1且 ≠ 2 C． ≠ 1 D． ≠ 2
【知识点 2 复数的几何意义】
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数 z=a+bi 有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b) 平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 z=a+bi 可用点 Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集 C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数 z=a+bi 复平面内的
点 Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3)复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi，连接 OZ，显然向量 由点 Z 唯一确定；反过来，点
Z(相对于原点来说)也可以由向量 唯一确定.
因此，复数集 C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数 0 与零向量对应)，即复数 z=a+bi
平面向量 ，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量 的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果 b=0，那么 z=a+bi 是一个实数 a，它
的模等于|a|(就是 a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r= (r 0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0
的两个共轭复数也复数 z 的共轭复数用 z 表示，即若 z=a+bi，则 .特别地，实数 a 的共轭复数仍
是 a 本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
① .
②实数的共轭复数是它本身，即 z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数 z=a+bi 在复平面内对应的点 Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数 z 在复平面内对应的点为 Z，r 表示一个大于 0 的常数，则满足条件|z|=r 的点 Z 组成的集合是以
原点为圆心，r 为半径的圆，|z|r 表示圆的外部.
【题型 4 复数的几何意义】
4 1 1【例 】（23-24 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）2 2i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 4-1】（23-24 高一下·北京通州·期末）复平面内点 (1, 2)所对应复数的虚部为（ ）
A．1 B． 2 C．i D． 2i
【变式 4-2】（23-24 高一下·广东清远·期中）已知复数 = 3 4i，则（ ）
A． 的虚部为 4i B．| | = 3 + 4i
C． = 3 + 4i D． 在复平面内对应的点在第三象限
【变式 4-3】（23-24 高一下·安徽亳州·期末）复数 = i2 2i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型 5 复数的向量表示】
【例 5】（23-24 高一下·安徽芜湖·期末）在复平面内，复数3 + 4i， 2 + i对应的向量分别是 ， ，其
中 是原点，则向量 对应的复数为（ ）
A． 5 3i B． 1 3i C．5 + 3i D．5 3i
【变式 5-1】（2024 高一下·全国·专题练习）在复平面内，O 为原点，向量 对应的复数为 1 2i，若点 A
关于虚轴的对称点为 B，则向量 对应的复数为（ ）
A． 2 i B．2 + i
C．1 2i D． 1 + 2i
【变式 5-2】（24-25 高一·全国·课后作业）如图，设向量 ， ， 所对应的复数为 1, 2, 3，那么（ ）
A． 1 2 3 = 0
B． 1 + 2 + 3 = 0
C． 2 1 3 = 0
D． 1 + 2 3 = 0
【变式 5-3】（24-25 高一下·河北张家口·阶段练习）已知复数 1 = 1 i, 2 = 1 + 2i（i为虚数单位）在复平
面内对应的点分别为 , ，将向量 绕着点 （ 为复平面内的原点）逆时针旋转90 得到向量 ，则 +
对应的复数为（ ）
A． 1 + 2i B．2i C．3i D．1 2i
【题型 6 共轭复数的求解】
【例 6】（23-24 高一下·浙江绍兴·期末）复数1 2i的共轭复数是（ ）
A．1 2i B．1 + 2i C． 1 + 2i D． 1 2i
【变式 6-1】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数 = 1 + 2i，则 的共轭复数 的虚部为（ ）
A．2i B． 2i C． 2 D．2
【变式 6-2】（24-25 高一下·四川遂宁·阶段练习）复数 = 2 + 3i，下列说法不正确的是（ ）
A． 的实部为 2 B． 的虚部为3i
C． = 2 3i D．| | = 13
【变式 6-3】（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知复数 = 1 + i（i为虚数单位），则其共轭复数 在复平
面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型 7 复数的模的计算】
【例 7】（23-24 高一下·北京丰台·期末）设复数 = 1 + i，则| | = （ ）
A．1 B． 2 C．2 D．4
【变式 7-1】（23-24 高一下·广东茂名·期中）若复数z = 2 i( ∈ R)的实部与虚部互为相反数，则|z|的值为
（ ）
A．0 B．2 C．8 D．2 2
2
【变式 7-2】（2024·全国·模拟预测）已知 = (2 1) + ( + 1)i( ∈ )，则“| | = 2”是“ = 5”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式 7-3】（24-25 高一下·新疆和田·阶段练习）设复数 = ( + 1) + ( 3)i, ∈ ，则| |的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．2 2 D．4
【题型 8 复数的模的几何意义】
【例 8】（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数 满足| 1| = 1，则| + 2 + 4i|（i是虚数单位）的最小值
为（ ）
A． 17 1 B．4 C． 17 +1 D．6
【变式 8-1】（24-25 高一·全国·随堂练习）设 ∈ ，则满足1 ≤ | | ≤ 3的复数在复平面上的对应点构成图形
的面积是（ ）
A．π B．4π C．8π D．9π
【变式 8-2】（24-25 高一·全国·课堂例题）设： ∈ ，点 对应复数 ，在复平面内满足下列条件的点 的集
合是什么图形？
(1)| | = 2；
(2)2 ≤ | | ≤ 3．
【变式 8-3】（24-25 高一·全国·单元测试）已知复数 满足| + 2 2i| = 2，且复数 在复平面内的对应点为
．
(1)确定点 的集合构成图形的形状；
(2)求| 1 + 2i|的最大值和最小值．
