专题 7.2 复数的四则运算【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 复数的加、减运算】 ................................................................................................................................3
【题型 2 复数加、减法的几何意义的应用】 ........................................................................................................4
【题型 3 复数的乘、除运算 】 ...............................................................................................................................7
【题型 4 复数的乘方】 ............................................................................................................................................8
【题型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ........................................................................................................9
【题型 6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 ..............................................................................................11
【题型 7 复数范围内分解因式】 ..........................................................................................................................12
【题型 8 复数范围内方程的根】 ..........................................................................................................................14
【知识点 1 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设 ， (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意 ∈C，有
①交换律： ；
②结合律： .
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设 ， (a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ， ，则 =(a,b)，
=(c,d).以 ， 对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，
可得 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即 z=(a+c)+(b+d)i，即对角线 OZ 对应的向量就是与复数
(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数 a+bi(a,b∈R)减去复数 c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有 c+x=a，d+y=b，因此 x=a-c，y=b-d，所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数 ， (a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 ， ，那么这两个复
数的差 对应的向量是 ，即向量 .
如果作 ，那么点 Z 对应的复数就是 (如图所示).
这说明两个向量 与 的差 就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设 ， (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意 ∈C，有
①交换律： ；
②结合律： ；
③分配律： .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数 z，z1，z2和正整数 m,n，有
，
， .
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除
以复数 c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 (a,b,c,d∈R，且 c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= = = = + i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数 ， (a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是 Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数 =(a-c)+(b-d)i，则 .
故 ，即 表示复数 z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(2)常用公式
；
；
.
【题型 1 复数的加、减运算】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数(1 i) (2 + i) +3i +6等于（ ）
A．5 + i B．7 i C．6 + i D．6 i
【解题思路】根据复数的加减法运算法则求解.
【解答过程】由题意可得：(1 i) (2 + i) +3i +6 = (1 2 + 6) + ( 1 1 + 3)i = 5 + i.
故选：A.
【变式 1-1】（23-24 高一下·黑龙江绥化·期末）已知复数 = 1 + i，则3 + 2i = （ ）
A．1 + i B． 1 + i C．2 + i D．0
【解题思路】根据复数的减法计算即可.
【解答过程】由题意， = 1 + i时，3 + 2i = 2 + i.
故选：C.
【变式 1-2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）计算：
(1)(3 2 2i) ( 2 + 3i) + (4 2 + 3i)；
(2) 3 5 4i 5 + 2i ；
(3)(8 2i) ( 7 + 5i) + (3 3 + 7i)．
【解题思路】根据题意由复数的加减法运算法则，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）(3 2 2i) ( 2 + 3i) + (4 2 + 3i) = (3 2 + 2 + 4 2) + ( 2 3 + 3)i=8 2 2i；
（2） 3 5 4i 5 + 2i = 3 5 + 5 + ( 4 2)i=4 5 6i；
（3）(8 2i) ( 7 + 5i) + (3 3 + 7i) = (8 + 7 + 3 3) + ( 2 5 + 7)i=15+3 3.
【变式 1-3】（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
(1) 2 1 i + 1 2i ；
2 2
(2)(3 + 2i) + ( 3 2)i；
(3)(1 + 2i) + (i + i2) + |3 + 4i|；
(4)(6 3i) + (3 + 2i) (3 4i) ( 2 + i)．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可.
【解答过程】（1 2 1 i + 1
5 5
） 2i = 2 + 1 + 1 2 i = i；
2 2 2 2 2 2
（2）(3 + 2i) + ( 3 2)i = 3 + (2 + 3 2)i = 3 + 3i；
（3）(1 + 2i) + (i + i2) + |3 + 4i|
= (1 + 2i) + (i 1) + 32 + 42
= (1 + 2i) + (i 1) + 5
= (1 1 + 5) + (2 + 1)i = 5 + 3i；
（4）(6 3i) + (3 + 2i) (3 4i) ( 2 + i)
= [6 + 3 3 ( 2)] + [ 3 + 2 ( 4) 1]i
= 8 + 2i.
【题型 2 复数加、减法的几何意义的应用】
【例 2】（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）复数6 + 5i与 3 + 4i分别表示向量 与 ，则表示向量 的
复数为（ ）
A．3 + 9i B．2 + 8i C． 9 i D．9 + i
【解题思路】根据 = 及向量的复数表示，运算得到答案.
【解答过程】复数6 + 5i与 3 + 4i分别表示向量 与 ，
因为 = ，所以表示向量 的复数为(6 + 5i) ( 3 + 4i) = 9 + i.
故选：D.
【变式 2-1】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，
且 A，B，C 三点对应的复数分别为 z1，z2，z3，若 1 = 1, 3 = 2 + i，则 z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【解答过程】因为 O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，
又因为 1 = 1, 3 = 2 + i，
所以由复数加法的几何意义可得，
2 = 1 + 3 = 1 2 + i = 1 + i.
故选：C.
【变式 2-2】（23-24 高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形 ，顶点 , , 分别表示0,4 + 3i, 3 + 5
i，试求：
(1)对角线 所表示的复数；
(2)求 点对应的复数.
【解题思路】（1）先由向量运算得 = ，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接
转成复数减法运算即可得解.
（2）先由向量运算得 = + ，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转
化成复数加法运算即可得解.
【解答过程】（1）因为 = ，
所以 所表示的复数为(4 + 3i) ( 3 + 5i) = 7 2i.
（2）因为 = + = + ，
所以 所表示的复数为(4 + 3i) + ( 3 + 5i) = 1 + 8i，
即 点对应的复数为1 + 8i.
【变式 2-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知复数 = 2 + 3i，试在复平面上作出下列运算结果对应的向
量：
(1) 3i；
(2) (3 + i)．
【解题思路】（1）在复平面上作出 = 2 + 3i对应的向量 ，再作出3i对应的向量 1，根据减法的几何意
义及向量（复数）相等的定义， = 1 即为 3i
（2）再作出3 + i对应的向量 2，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义， = 2 即为
(3 + i)．
【解答过程】（1）设复数 = 2 + 3i对应的向量为 ．
图 1
设复数 1 = 3i对应的向量为 1，则两个复数的差 3i对应两个向量的差 1，如图①所示， 即为
3i
（2）设复数 2 = 3 + i对应的向量为 2，则两个复数的差 (3 + i)对应两个向量的差 2，如②所示，
即为 (3 + i)．
图 2
【题型 3 复数的乘、除运算 】
【例 3】（23-24 · 1+i高一下 四川巴中·期末）复数 满足 2 = 2+i，则 = （ ）
A 3 1 3 1． 5 15i B． 5 + 15i
C 1 1i D 1 + 1．15 5 ．15 5i
1+i
【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简2+i，设 = + i( , ∈ R)，表示出 2 ，再根据复数相等
的充要条件得到方程，解得 、 ，即可得解.
1+i (1+i)(2 i)= = 2 i+2i i
2
【解答过程】因为2+i (2+i)(2 i) 5 =
3
5 +
1
5i，
设 = + i( , ∈ R)，则 = i，
所以 2 = ( + i) 2( i) = + 3 i，
1+i =
3 = 3
又 2 = 2+i，所以
5 ，所以 5 ，
3 = 1 = 1
5 15
3 1
所以 = 5 + 15i.
故选：B.
【变式 3-1】（23-24 高一下·安徽合肥·期末）已知(1 + i)2 = 3 4i，则 = （ ）
A 3 3 3． 2 2i B．2 2i C． 2 2i D
3
．2 2i
【解题思路】由复数乘法可得2i = 3 4i，再结合除法运算分析求解.
【解答过程】因为(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 2i，由(1 + i)2 = 3 4i可得2i = 3 4i，
= 3 4i所以 2i = 2
3
2i.
故选：A.
【变式 3-2】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知复数 满足(2 i) = 5（i是虚数单位）， 的共轭复数为 ，
则 = （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解题思路】由复数的除法、乘法运算，结合共轭复数的概念即可求解.
5 5（2+i）
【解答过程】由(2 i) = 5，可得 = 2 i = (2 i) 2+i = 2 + i，所以 = 2 i（ ）
所以 = 5.
故选：B.
【变式 3-3】（23-24 高一下·广东东莞·期末）若(2 + i) = 1 i，则 = （ ）
A 2．5 B．2 C
8 8
．25 D．5
【解题思路】根据题意，由条件可得| |，再由 = | |代入计算，即可得到结果.
|1 i| |1 i|【解答过程】由(2 + i) = 1 i 2可得| | = = = ，2+i |2+i| 5
所以 = | |2 = 25.
故选：A.
【题型 4 复数的乘方】
2024
【例 4】（23-24 1 i高一下·广东深圳·期中）已知i为虚数单位，计算 =1+i （ ）
A．i B． 1 C． i D．1
【解题思路】根据复数代数形式的除法运算及乘方运算法则计算可得.
1 i (1 i)2
【解答过程】因为1+i = (1+i)(1 i) = i，
1 i 2024
所以 = ( i)2024 = i2024 = i4×506 = (i4)506 = 11+i .
故选：D.
2025
【变式 4-1】（23-24 高一下· 1+i河北张家口·期末）复数 = 1 i 的虚部为（ ）
A． 1 B． i C．1 D．i
1+i
【解题思路】根据复数代数形式的除法运算化简1 i，再根据复数的乘方化简复数 ，从而得到其虚部.
1+i (1+i)2
【解答过程】因为 2 31 i = (1 i)(1+i) = i，又i = 1，i = i，i
4 = 1，
1+i 2025
所以 = = i2025 = i506×4+1 = (i4)506 × i = i1 i ，
所以 = i，所以 的虚部为1.
故选：C.
1 i
【变式 4-2】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知 = ，则 100 + 50 +12 的值为（ ）
A．i B． i C．1 + i D．1 i
【解题思路】先计算 2，再由幂的运算求解即可.
2
(1 i)2 = 1 2i + i2 = 2i 2 = 1 i = (1 i)
2
【解答过程】因为 ，所以 2 = i，2
所以 100 + 50 +1 = ( 2)50 + ( 2)25 +1 = ( i)50 + ( i)25 +1 = i50 i25 +1 = i2 i +1 = i
故选：B.
【变式 4-3】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）计算：i2024
2
+ (1 i)2的结果是（ ）
A．1 + 2i B．1 2i C．1 i D．1 + i
【解题思路】根据复数的乘方及除法运算法则计算可得.
2 2
【解答过程】i2024 + 4×506(1 i)2 = i + 2i = (i
4)506 + i i2 = 1 + i.
故选：D.
【题型 5 根据复数的四则运算结果求参数】
【例 5】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数 = (1 2i)( + i)( ∈ R), 的实部与虚部互为相反数，则 =
（ ）
A． 3 B． 13 C．2 D．3
【解题思路】根据复数的乘法运算化简复数 z，根据实部与虚部互为相反数列式计算，即得答案.
【解答过程】 = (1 2i)( + i) = + 2 + (1 2 )i，
由已知得 + 2 + 1 2 = 0，解得 = 3，
故选：D.
【变式 5-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数(3 + i) (2 + i)对应的点在第四象限内，则实数 的取
值范围是（ ）
A 2 2． < 3 B． < 1 C．3 < < 1 D． > 1
【解题思路】利用复数对应点的性质求解即可.
【解答过程】由题意得(3 + i) (2 + i) = 3 + i 2 i = 1 + ( 1)i，
因为复数(3 + i) (2 + i)对应的点在第四象限，
所以 1 < 0，解得 < 1，故 B 正确.
故选：B.
【变式 5-2】（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数 1 = + 3i， 2 = 4 + i， , 为实数，若 1 + 2为
实数， 1 2为纯虚数，则 + = （ ）
A． 7 B．7 C． 1 D．1
【解题思路】由 1 + 2为实数， 1 2为纯虚数列方程求出 , ，进而可得 + 值.
【解答过程】因为 1 + 2 = 4 + (3 + )i为实数，所以3 + = 0，即 = 3，
又 1 2 = + 4 + (3 )i
+ 4 = 0
为纯虚数，所以 3 ≠ 0 ，即 = 4且 ≠ 3，
= 4
综上可知 = 3 ，所以 + = 7.
故选：A.
【变式 5-3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部
” 3+ i复数 ，若 i 为“等部复数”，则实数 的值为（ ）
A． 1 B．0 C．3 D． 3
3+ i
【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简 i ，再根据等部复数的定义列方程计算即得.
3+ i i(3+ i)
【解答过程】因 i =
2
i2 = 3i i = 3i，依题意得， = 3.
故选：D.
【题型 6 根据复数的四则运算结果求复数特征】
【例 6】（24-25 1+ i高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数 z 满足 1 i = 1 + 2i，则复数 z 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．
∵ 1+ i【解答过程】解： 复数 满足 1 i = 1 + 2i，
∴ 1 + i = (1 + 2i)(1 i)=1 i +2i 2i2=3 + i，
∴ i = 2 + i
∴ = 2+i = 2i+i
2
i i2 = 1 2i在复平面内所对应的点(1, 2)位于第四象限．
故选：D．
【变式 6-1】（23-24 高一下·湖南邵阳·期末）实数 > 1时，复数 (3 + i) (2 + i)在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】先将复数化为一般形式，结合 的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.
【解答过程】 ∵ (3 + i) (2 + i) = (3 2) + ( 1)i,
又 > 1，故3 2 > 1 > 0, 1 > 0,
故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【变式 6-2】（24-25 高二下· 2 4i江西九江·阶段练习）设复数 z 的共轭复数为 、复数 z 满足1 + i = （i 为虚
数单位），则 的虚部为（ ）
A．3 B． 3 C．3i D． 3i
【解题思路】求出复数 z，进而求出复数 z 的共轭复数为 ，即可得到答案.
2 4i (2 4i)(1 i) 2 6i
【解答过程】 = 1+i = (1+i)(1 i) = 2 = 1 3i，则 = 1 + 3i.则 的虚部为 3.
故选：A.
6-3 23-24 · · z i = 1【变式 】（ 高二下 江西景德镇 期中）已知复数 满足 1+i，则复数 z 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1 1
【解题思路】利用复数的乘除法运算化简求得 = 2 2i，利用共轭复数的概念写出复数 z，进而判断.
1
∵i = 1 ∴ = = 1
1 i 1 1
【解答过程】 1+i， (1+i)i 1+i = ( 1+i)( 1 i) = 2 2i，
∴ = 1 + 1i 1 12 2 ，对应点为 , ，为第二象限点，2 2
故选：B.
【知识点 2 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0，且 a,b,c∈R)，则当 时，方程有两个不相等的实根
， ；
当 时，方程有两个相等的实根 ；
当 时，方程有两个虚根 ， ，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【题型 7 复数范围内分解因式】
【例 7】（24-25 高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1) 4 +6 2 +9；
(2) 4 2 2 8．
【解题思路】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.
【解答过程】（1）由于( + 3i)( 3i) = 2 +3，
2 2
所以 4 +6 2 +9 = ( 2 + 3)2 = ( 3i) ( + 3i) .
（2）由于( + 2i)( 2i) = 2 +2，
所以 4 2 2 8 = ( 2 + 2)( 2 4) = ( + 2i)( 2i)( + 2)( 2).
【变式 7-1】（24-25 高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式：
(1) 2 + 2；
(2)2 2 +2 + 3.
【解题思路】（1）先应用求根公式再写成两个因式相乘；
（2）先应用求根公式再写成两个因式相乘.
【解答过程】（1）由方程可知Δ = 1 8 = 7 < 0，
1 7
所以方程有两个共轭虚根为 = 2 ± i，2
故 2 + 2 = 1 7 i 1 + 7 i .
2 2 2 2
（2）由方程可知Δ = 4 4 × 2 × 3 = 20 < 0，
1
所以方程有两个共轭虚根为 = 2 ±
5i，
2
2 2 +2 + 3 = 2 1 5 i 1 + 5 i .
2 2 2 2
【变式 7-2】（24-25 高一·湖南·课后作业）利用公式 2 + 2 = ( + i)( i)，把下列各式分解为一次因式
的乘积：
(1) 2 +9；
(2) 4 4；
(3) 2 +2 + 2 + 2；
(4) 2 +5 + 6．
【解题思路】（1）根据所给等式 2 + 2 = ( + i)( i)，直接可得答案；
（2）利用平方差公式结合所给等式，可得答案；
（3）先用完全平公式化简，再利用已知等式，可得答案；
（4）先配方变为平方和形式,再利用已知等式分解可得答案.
【解答过程】（1） 2 +9 = 2 + 32 = ( + 3i)( 3i);
（2） 4 4 = ( 2 + 2)( 2 2) = ( + i)( i)( + )( )；
（3） 2 +2 + 2 + 2 = ( + )2 + 2 = ( + + i)( + i)；
2 2
（4） 2 +5 + 6 = ( + 5 ) + ( 1 i) = ( + 5 + 12 2i)( +
5 1
2 2 2
2i).
【变式 7-3】（24-25 高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式：
(1) 2 +2 + 2 + 2；
(2) 2 +5 2；
(3)2 2 6 + 5．
【解题思路】（1）直接根据复数范围的要求分解因式即可.
（2）直接根据复数范围的要求分解因式即可.
（3）先应用求根公式再写成两个因式相乘；
【解答过程】（1） 2 +2 + 2 + 2 = ( + )2 + 2 = ( + + i)( + i)；
（2） 2
2
+5 2 = 2 5 i = + 5 i 5 i ；
（3）令2 2 6 + 5 = 0，Δ = 36 4 × 2 × 5 = 4，
3+i
解方程可得： 1 = 2 ，
3 i
2 = 2 ，
所以2 2 6 + 5 = 2 3+i 3 i .
2 2
【题型 8 复数范围内方程的根】
【例 8】（24-25 高一下·全国·课前预习）已知1 + i是方程 2 + + = 0（b，c 为实数）的一个根．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断1 i是不是方程的根．
【解题思路】（1）利用方程根的定义，结合复数相等求出 , .
（2）把1 i代入方程，计算判断方程成立.
【解答过程】（1）由1 + i是方程 2 + + = 0的根，得(1 + i)2 + (1 + i) + = 0，即 + + ( + 2)i
= 0，
b c + = 0而 ， 为实数， 2 + = 0 ，解得 = 2, = 2，
所以 = 2, = 2.
（2）由（1）知方程为 2 2 + 2 = 0，
把1 i代入方程左边，得(1 i)2 2(1 i) + 2 = 0，因此方程成立，
所以1 i是方程的根．
【变式 8-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）在复数范围内解下列方程：
(1) 2 4 + 8 = 0；
(2)3 2 +2 3 = 0．
【解题思路】（1）先计算一元二次方程的判别式，再利用求根公式及i2 = 1求解即可；
（2）先计算一元二次方程的判别式，再利用求根公式求解即可.
【解答过程】（1）由判别式得Δ = ( 4)2 4 × 8 = 16 = 16i2，
所以利用求根公式得 = 4± 16i21,2 = 2 ± 2i，2
所以方程的解为 1 = 2 + 2i, 2 = 2 2i.
（2）由判别式得Δ = (2)2 4 × 3 × ( 3) = 40，
2± 40 1± 10
所以利用求根公式得 1,2 = = ，2×3 3
所以方程的解为 = 1+ 101 , 1 103 2 = .3
【变式 8-2】（23-24 高一下·上海·期末）已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.
(1)若方程有一个根1 + 2i（i是虚数单位），求 的值；
(2)若方程有两虚根 1, 2，且| 1 2| = 3，求 的值.
【解题思路】（1）由已知条件得1 2i是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解.
（2）先设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知1 2i是方程的另一复数根，
2
所以(1 2i)(1 + 2i) = 1 ( 2i) = 1 + 2 = 3 = ，
所以 = 3.
（2）设 1 = + i, 2 = i, 、 ∈ R，
则由题意 1 + 2 2 2 2 22 = 2 = 2, 1 2 = i = + = 且Δ = 4 4 < 0，
所以 = 1, 2 = 1, > 1，
所以| 1 2| = |2 i| = (2 )2 = 4 2 = 4( 1) = 3，
13
解得 = 4 .
【变式 8-3】（23-24 高一下·上海·期末）设i是虚数单位， 2 ∈ . 是关于 的方程 (2 + i) + = 0
的两根，且满足| | + | | = 3.
(1)若 = 2 + 5i，求 与 的值；
(2)若 = 0，求 的值.
2
【解题思路】（1）由| | = 22 + 5 = 3，及| | + | | = 3，得| | = 0，即可求解；
（2）当 = 0时，则 ， 是关于 的方程 2 2 + = 0的两根，则 △= 4 4 ，进行分类讨论，即可求解.
2
【解答过程】（1）解：由 = 2 + 5i，得| | = 22 + 5 = 3，
而| | + | | = 3，得| | = 0，
因为 ， 是关于 的方程 2 (2 + i) + = 0的两根，
2 + 5i+ =2+ i
所以 2 + 5i = ，
得 = 5 i，由| | = 0，得 = 5，
得 = 0，则 = 0；
（2）当 = 0时，则 ， 是关于 的方程 2 2 + = 0的两根，
则 △= 4 4 ，
当 = 1时，则 = = 1，不满足| | + | | = 3，
当 < 1时，得 △= 4 4 > 0
+ =2
得 = ，
由| | + | | = 3得(| | + | |)2 = 9，
得 2 + 2 +2| | = 9，
得( + )2 2 + 2| | = 9，
得 2 + 2| | = 5，
当0 ≤ < 1 5时，不成立，当 < 0时，得 = 4，
当 > 1时，得 △= 4 4 < 0，
不妨记 = 1 1i, = 1 + 1i，
由| | + | | = 3得 1 + 1 + 1 + 1 = 3，
9
得 = 4，
5 9
综上， 的值为： 4或4.专题 7.2 复数的四则运算【八大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 复数的加、减运算】 ................................................................................................................................3
【题型 2 复数加、减法的几何意义的应用】 ........................................................................................................4
【题型 3 复数的乘、除运算 】 ...............................................................................................................................5
【题型 4 复数的乘方】 ............................................................................................................................................6
【题型 5 根据复数的四则运算结果求参数】 ........................................................................................................6
【题型 6 根据复数的四则运算结果求复数特征】 ................................................................................................7
【题型 7 复数范围内分解因式】 ............................................................................................................................7
【题型 8 复数范围内方程的根】 ............................................................................................................................8
【知识点 1 复数的四则运算】
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设 ， (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么 =(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律
对任意 ∈C，有
①交换律： ；
②结合律： .
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设 ， (a,b,c,d∈R)对应的向量分别为 ， ，则 =(a,b)，
=(c,d).以 ， 对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，
可得 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即 z=(a+c)+(b+d)i，即对角线 OZ 对应的向量就是与复数
(a+c)+(b+d)i 对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数 a+bi(a,b∈R)减去复数 c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有 c+x=a，d+y=b，因此 x=a-c，y=b-d，所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数 ， (a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是 ， ，那么这两个复
数的差 对应的向量是 ，即向量 .
如果作 ，那么点 Z 对应的复数就是 (如图所示).
这说明两个向量 与 的差 就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向
量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设 ， (a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把 i2换成-1，并且把实部与
虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意 ∈C，有
①交换律： ；
②结合律： ；
③分配律： .
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数 z，z1，z2和正整数 m,n，有
，
， .
4．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除
以复数 c+di 的商，记作(a+bi)÷(c+di)或 (a,b,c,d∈R，且 c+di≠0).
(2)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= = = = + i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数.
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义
设复数 ， (a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是 Z1(a,b)，Z2(c,d)，则
，又复数 =(a-c)+(b-d)i，则 .
故 ，即 表示复数 z1，z2在复平面内对应的点之间的距离.
6．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ .
(2)常用公式
；
；
.
【题型 1 复数的加、减运算】
【例 1】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数(1 i) (2 + i) +3i +6等于（ ）
A．5 + i B．7 i C．6 + i D．6 i
【变式 1-1】（23-24 高一下·黑龙江绥化·期末）已知复数 = 1 + i，则3 + 2i = （ ）
A．1 + i B． 1 + i C．2 + i D．0
【变式 1-2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）计算：
(1)(3 2 2i) ( 2 + 3i) + (4 2 + 3i)；
(2) 3 5 4i 5 + 2i ；
(3)(8 2i) ( 7 + 5i) + (3 3 + 7i)．
【变式 1-3】（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
(1) 2 1 i + 1 2i ；
2 2
(2)(3 + 2i) + ( 3 2)i；
(3)(1 + 2i) + (i + i2) + |3 + 4i|；
(4)(6 3i) + (3 + 2i) (3 4i) ( 2 + i)．
【题型 2 复数加、减法的几何意义的应用】
【例 2】（24-25 高一下·河南郑州·阶段练习）复数6 + 5i与 3 + 4i分别表示向量 与 ，则表示向量 的
复数为（ ）
A．3 + 9i B．2 + 8i C． 9 i D．9 + i
【变式 2-1】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，
且 A，B，C 三点对应的复数分别为 z1，z2，z3，若 1 = 1, 3 = 2 + i，则 z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【变式 2-2】（23-24 高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形 ，顶点 , , 分别表示0,4 + 3i, 3 + 5
i，试求：
(1)对角线 所表示的复数；
(2)求 点对应的复数.
【变式 2-3】（24-25 高一·全国·课后作业）已知复数 = 2 + 3i，试在复平面上作出下列运算结果对应的向
量：
(1) 3i；
(2) (3 + i)．
【题型 3 复数的乘、除运算 】
3 23-24 · · 2 = 1+i【例 】（ 高一下 四川巴中 期末）复数 满足 2+i，则 = （ ）
A 3 1 i B 3 + 1． 5 15 ． 5 15i
C 1 1 1 1．15 5i D．15 + 5i
【变式 3-1】（23-24 高一下·安徽合肥·期末）已知(1 + i)2 = 3 4i，则 = （ ）
A． 2 32i B
3
．2 2i C．
3 3
2 2i D．2 2i
【变式 3-2】（23-24 高一下·江苏常州·期末）已知复数 满足(2 i) = 5（i是虚数单位）， 的共轭复数为 ，
则 = （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式 3-3】（23-24 高一下·广东东莞·期末）若(2 + i) = 1 i，则 = （ ）
A 2．5 B．2 C
8 8
．25 D．5
【题型 4 复数的乘方】
1 i 2024
【例 4】（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知i为虚数单位，计算 =1+i （ ）
A．i B． 1 C． i D．1
1+i 2025
【变式 4-1】（23-24 高一下·河北张家口·期末）复数 = 1 i 的虚部为（ ）
A． 1 B． i C．1 D．i
1 i
【变式 4-2】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知 = 100 + 50 +12，则 的值为（ ）
A．i B． i C．1 + i D．1 i
2
【变式 4-3】（23-24 高一下·江苏连云港·期中）计算：i2024 + (1 i)2的结果是（ ）
A．1 + 2i B．1 2i C．1 i D．1 + i
【题型 5 根据复数的四则运算结果求参数】
【例 5】（2024·陕西安康·模拟预测）设复数 = (1 2i)( + i)( ∈ R), 的实部与虚部互为相反数，则 =
（ ）
A 1． 3 B． 3 C．2 D．3
【变式 5-1】（24-25 高一下·全国·课后作业）复数(3 + i) (2 + i)对应的点在第四象限内，则实数 的取
值范围是（ ）
A． < 2 23 B． < 1 C．3 < < 1 D． > 1
【变式 5-2】（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数 1 = + 3i， 2 = 4 + i， , 为实数，若 1 + 2为
实数， 1 2为纯虚数，则 + = （ ）
A． 7 B．7 C． 1 D．1
【变式 5-3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部
3+ i
复数”，若 i 为“等部复数”，则实数 的值为（ ）
A． 1 B．0 C．3 D． 3
【题型 6 根据复数的四则运算结果求复数特征】
【例 6】（24-25 1+ i高一下·安徽安庆·阶段练习）已知复数 z 满足 1 i = 1 + 2i，则复数 z 在复平面内对应的点
位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 6-1】（23-24 高一下·湖南邵阳·期末）实数 > 1时，复数 (3 + i) (2 + i)在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式 6-2】（24-25 高二下· 2 4i江西九江·阶段练习）设复数 z 的共轭复数为 、复数 z 满足1 + i = （i 为虚
数单位），则 的虚部为（ ）
A．3 B． 3 C．3i D． 3i
1
【变式 6-3】（23-24 高二下·江西景德镇·期中）已知复数 z 满足i = 1+i，则复数 z 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识点 2 复数范围内方程的根】
1．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0，且 a,b,c∈R)，则当 时，方程有两个不相等的实根
， ；
当 时，方程有两个相等的实根 ；
当 时，方程有两个虚根 ， ，且两个虚数根互为共轭
复数.
2．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【题型 7 复数范围内分解因式】
【例 7】（24-25 高一·全国·课后作业）在复数范围内分解因式：
(1) 4 +6 2 +9；
(2) 4 2 2 8．
【变式 7-1】（24-25 高一上·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式：
(1) 2 + 2；
(2)2 2 +2 + 3.
【变式 7-2】（24-25 高一·湖南·课后作业）利用公式 2 + 2 = ( + i)( i)，把下列各式分解为一次因式
的乘积：
(1) 2 +9；
(2) 4 4；
(3) 2 +2 + 2 + 2；
(4) 2 +5 + 6．
【变式 7-3】（24-25 高一·上海·课堂例题）在复数范围内分解因式：
(1) 2 +2 + 2 + 2；
(2) 2 +5 2；
(3)2 2 6 + 5．
【题型 8 复数范围内方程的根】
【例 8】（24-25 高一下·全国·课前预习）已知1 + i是方程 2 + + = 0（b，c 为实数）的一个根．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断1 i是不是方程的根．
【变式 8-1】（23-24 高一·上海·课堂例题）在复数范围内解下列方程：
(1) 2 4 + 8 = 0；
(2)3 2 +2 3 = 0．
【变式 8-2】（23-24 高一下·上海·期末）已知关于 的实系数一元二次方程 2 2 + = 0.
(1)若方程有一个根1 + 2i（i是虚数单位），求 的值；
(2)若方程有两虚根 1, 2，且| 1 2| = 3，求 的值.
【变式 8-3】（23-24 高一下·上海·期末）设i是虚数单位， ∈ . 是关于 的方程
2 (2 + i) + = 0
的两根，且满足| | + | | = 3.
(1)若 = 2 + 5i，求 与 的值；
(2)若 = 0，求 的值.
