专题 7.5 复数全章十大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 复数的分类及辨析
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数 = ，那么 + ( + )i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果 = 0，那么 = + i是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【解答过程】对于 A 中，若 = = 0，那么 + ( + )i = 0 ∈ R，所以 A 错误；
对于 B 中，由复数的概念，可得实数是复数，所以 B 正确；
对于 C 中，若 = 0且 = 0时，复数 = + i = 0 ∈ R，所以 C 不正确；
对于 D 中，由虚数单位i2 = 1，可得 D 错误.
故选：B.
2．（23-24 高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（ ）
A．若 ∈ C，则 2 ≥ 0
B．若 , , ∈ C,( )2 + ( )2 = 0，则 = =
C．若 ∈ R，则( + 2)i是纯虚数
D．若 , ∈ C, > 0且 > 0，则 > 0且 + > 0
【解题思路】根据复数的概念和性质逐项进行检验即可判断.
【解答过程】对于A，当 = i时， 2 = 1 < 0，故选项A错误；
对于B，当 = i, = 1时，( )2 + ( )2 = 0，但 , , 并不相等，故选项B错误；
对于C，若 + 2 = 0，则( + 2)i并不是纯虚数，故选项C错误；
对于D，因为 , ∈ C, > 0且 > 0，所以 , 为正实数，则 > 0且 + > 0，故选项D正确，
故选：D.
3．（24-25 高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和
虚部分别是什么？
π π
5 + 6i、 2 + 2i、 3、i、0、cos5 + isin2 2 5．
【解题思路】直接利用复数的基本概念逐一分析得答案．
【解答过程】 3、0 是实数， 3的实部为 3，虚部为 0；0 的实部与虚部均为 0．
π π
5 + 6i、 2 + 2i、cos5 + isin5、i是虚数；i 为纯虚数.2 2
5 + 6i的实部为 5，虚部为 6； 2 + 2
π π π π
i的实部与虚部均为 2；cos5 + isin5的实部为cos5，虚部为sin5；i的2 2 2
实部为 0，虚部为 1．
4．（24-25 高一下·上海·课后作业）若 = ( 2 3 + 2) + ( 2 2)i( ∈ )为实数，求出复数 1 =
( 2 5 + 6) + ( + 1)i，并判断复数 1是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
【解题思路】根据复数的分类解出 m，再将 m 代入 z1即可得到答案.
【解答过程】因为 = ( 2 3 + 2) + ( 2 2)i( ∈ )为实数，所以 2 2 = 0 = 1或 m=2.
= 2时， 1 = 13i，是虚数，且是纯虚数；
= 1时， 1 = 12，是实数.
题型 2 已知复数的类型求参数
1．（23-24 高一下·福建福州·期末）若( 2 4) + ( 2 +3 + 2)i是纯虚数，则实数 = （ ）
A． ± 2 B． 2 C．2 D． 1
【解题思路】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可.
( 2 4) + ( 2 +3 + 2)i
2 4 = 0
【解答过程】因为 是纯虚数，所以 2 + 3 + 2 ≠ 0 ，解得： = 2，
故选：C.
2．（23-24 高一下·安徽安庆·期末）已知 a，b 均为实数，复数： = 2 + ( 2 )i，其中 i 为虚数单位，
若 < 3，则 a 的取值范围为（ ）
A．( 1,3) B．( ∞, 1) ∪ (3, + ∞) C．( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
D．( 3,1)
【解题思路】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
= 2 + ( 2 )i < 3 2 = 0【解答过程】由题 ，所以 为实数，即 2 < 3 ，
则有 2 2 3 < 0，解得 1 < < 3，即 a 的取值范围为( 1,3).
故选：A.
3．（23-24 高一下·甘肃定西·期末）已知复数 = 2 +6 7 + ( 2 )i．
(1)若复数 是纯虚数，求实数 的值；
(2)当非零复数 的实部和虚部互为相反数时，求实数 的值．
【解题思路】（1）由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案；
（2）由条件可得 2 +6 7 + 2 = 0可得答案.
2
【解答过程】（1）由复数 = 2 +6 7 + ( 2 )i + 6 7 = 0是纯虚数，得 2 ≠ 0 ，解得 = 7；
（2）由复数 的实部和虚部互为相反数，得 2 +6 7 + 2 = 0，
化简得2 2 +5 7 = 0 7，解出 = 2或 = 1，
当 = 1时， = 0 7不符合题意， = 1（舍去），而 = 2满足，
7
所以实数 的值为 2．
2
4．（23-24 高一下·广东清远· 6期末）已知复数 = 2 +3 + ( 2 15)i，求当实数 为何值时；
(1) 为实数；
(2) 为纯虚数；
(3) 为虚数．
【解题思路】（1）根据复数 为实数的条件，列方程和不等式组 m 的值；
（2）根据复数 为纯虚数的条件，列方程和不等式求 m 的值；
（3）根据复数 为虚数的条件，列不等式组求 m 的值即可.
【解答过程】（1）当 2 2 15 = 0且 + 3 ≠ 0时，复数 为实数，解得 = 5，
所以 = 5时，复数 为实数；
2 6
（2）当 2 +3 = 0且 + 3 ≠ 0且 2 15 ≠ 0时，复数 为纯虚数，
解得 = 3或 = 2，
所以 = 3或 = 2时，复数 为纯虚数；
（3）当 + 3 ≠ 0且 2 2 15 ≠ 0时，复数 为虚数，解得 ≠ 3且 ≠ 5，
所以 ≠ 3且 ≠ 5时，复数 为虚数.
题型 3 复数的几何意义
1．（23-24 高一下·新疆巴音郭楞·期末）若 = 7 + 3i（i为虚数单位），则复数 的共轭复数 在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解题思路】首先得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.
【解答过程】因为 = 7 + 3i，所以 = 7 3i，
所以复数 在复平面内对应的点为( 7, 3)，位于第三象限.
故选：C.
2．（23-24 高一下·湖北· 3期末）当4 < < 1时，复数 (4 + i) (3 + i)在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3
【解题思路】根据复数的运算法则和复数的几何意义可得(4 3, 1)，结合4 < < 1即可下结论.
【解答过程】 (4 + i) (3 + i) = (4 3) + ( 1)i,
所以该复数在复平面所对应的点的坐标为(4 3, 1)，
3 1
又4 < < 1，所以0 < 4 3 < 1, 4 < 1 < 0，
所以点(4 3, 1)位于第四象限.
故选：D.
3．（23-24 高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知复数 = (3 2 2 1) + (6 2 + 5 + 1)i， ∈ ，i为虚数单
位.
(1)若复数 为纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面上对应的点在第一象限，求 的取值范围.
【解题思路】（1）首先判断复数的实部与虚部，根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可；
（2）根据实部、虚部均大于0得到不等式组，解得即可.
【解答过程】（1）复数 = (3 2 2 1) + (6 2 + 5 + 1)i， ∈ 的实部为3 2 2 1，虚部为6 2
+5 + 1，
3
2 2 1 = 0
因为复数 为纯虚数，则 6 2 + 5 + 1 ≠ 0 ，解得 = 1；
（2）因为复数 在复平面上对应的点为(3 2 2 1,6 2 + 5 + 1)，位于第一象限，
3 2 2 1 > 0
所以 6 2 + 5 + 1 > 0 ，解得 <
1
2或 > 1，
即 1的取值范围为 ∞, ∪ (1, + ∞).
2
4．（23-24 高一·上海·课堂例题）求实数 m 的值或取值范围，使得复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)
i在复平面上所对应的点 分别位于
(1)实轴上；
(2)虚轴上；
(3)第四象限．
【解题思路】（1）根据题意可得 2 5 14 = 0，运算求解即可；
（2）由 2 8 + 15 = 0求 m，代入 验证，即可得结果；
2 8 + 15 > 0
（3）由 2 5 14 < 0 求出 m 的范围即可.
【解答过程】（1）由题意可得： 2 5 14 = 0，解得 = 7或 = 2.
（2）由题设， 2 8 + 15 = ( 3)( 5) = 0，可得 = 3或 = 5，
当 = 3时， = 20i对应点在虚轴上；
当 = 5时， = 14i对应点在虚轴上；
综上， = 3或 = 5.
3
2 8 + 15 = ( 3)( 5) > 0
（ ）由题设 2 5 14 = ( 7)( + 2) < 0 ，
可得 ∈ ( 2,3) ∪ (5,7).
题型 4 复数的模的计算
1．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）已知复数 = i的实部与虚部相等，则| i| = （ ）
A． 2 B． 5 C．2 2 D． 10
【解题思路】由实部与虚部概念可得 = 1，代入计算可求出结果.
【解答过程】易知 = i的实部为 ，虚部为 1，
由题意可知 = 1，
则| i| = | 1 i i| = | 1 2i| = ( 1)2 + ( 2)2 = 5.
故选：B.
2．（23-24 高一下·福建厦门·期末）若| | = | 3| = | i|，则| | = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【解题思路】设 = + i，x,y∈R，结合条件求出 , ，再求模即可．
【解答过程】设 = + i，x,y∈R，则 3 = 3 + i， i = + ( 1)i,
2 2 2 2
又| | = | 3| = | i|，则 + = ( 3) + ，
2 + 2 = 2 + ( 1)2
= 3
2 3 1
2 1 2
解得 1 ，即 = + i，故 = 3 = 1. = 2 2
| | ( ) + ( )
2 2
2
故选：A.
3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）若复数 = ( 1) + (2 1)i的模小于 10，求实数 x 的取值范围.
【解题思路】利用复数模的公式求解即可.
【解答过程】由题意，得 ( 1)2 + (2 1)2 < 10，
4
整理，得5 2 6 8 < 0，解得 5 < < 2,
4
所以实数 x 的取值范围是 ,2 .
5
4 24-25 · · = (4 3i)( 1+ 7i)．（ 高一 全国 随堂练习）已知 ，求| |．
2 i
【解题思路】根据复数模的定义及模的性质求解.
(4 3i)( 1+ 7i)
【解答过程】因为 = ，
2 i
2
= |(4 3i)( 1+ 7i)| |(4 3i)||( 1+ 7i)|
42+( 3)2 ( 1)2+( 7)
所以| | = = = 5×2 2 = 10 6| 2 i| | 2 i| .( 2)2+( 1)2 3 3
题型 5 复数的加、减运算
1．（23-24 高一下·贵州毕节·阶段练习）若 1 = 13 3i， 2 = 4 + i，则 1 2 = （ ）
A．9 4i B．9 2i C． 9 + 4i D． 9 + 2i
【解题思路】直接利用复数的减法运算求解.
【解答过程】若 1 = 13 3i， 2 = 4 + i，则 1 2 = 9 4i.
故选：A.
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）若 + 2 3i = 3 2i（i为虚数单位），则 = （ ）
A．5 5i B．1 + i C．1 + 5i D．5 i
【解题思路】移项化简可得 ．
【解答过程】 ∵ + 2 3i = 3 2i， ∴ = 3 2i 2 + 3i = 1 + i，
故选：B.
3．（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
(1) 2 1 i + 1 2i ；
2 2
(2)(3 + 2i) + ( 3 2)i；
(3)(1 + 2i) + (i + i2) + |3 + 4i|；
(4)(6 3i) + (3 + 2i) (3 4i) ( 2 + i)．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据复数的加减法法则直接求解即可.
1 1 1 1 5 5
【解答过程】（1） 2 i + 2i = 2 + + 2 i = i；
2 2 2 2 2 2
（2）(3 + 2i) + ( 3 2)i = 3 + (2 + 3 2)i = 3 + 3i；
（3）(1 + 2i) + (i + i2) + |3 + 4i|
= (1 + 2i) + (i 1) + 32 + 42
= (1 + 2i) + (i 1) + 5
= (1 1 + 5) + (2 + 1)i = 5 + 3i；
（4）(6 3i) + (3 + 2i) (3 4i) ( 2 + i)
= [6 + 3 3 ( 2)] + [ 3 + 2 ( 4) 1]i
= 8 + 2i.
4．（2024 高一下·全国·专题练习）计算
(1)(2 + 4i) + (3 4i)
(2)5 (3 + 2i)
(3)( 3 4i) + (2 + i) (1 5i)
(4)(2 i) (2 + 3i) +4i
【解题思路】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解.
【解答过程】（1）解：由复数的运算法则，可得(2 + 4i) + (3 4i) = 5.
（2）解：由复数的运算法则，可得5 (3 + 2i) = 2 2i.
（3）解：由复数的运算法则，可得( 3 4i) + (2 + i) (1 5i) = 2 + 2i.
（4）解：由复数的运算法则，可得(2 i) (2 + 3i) +4i = 0.
题型 6 复数的乘、除运算
1．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）复数 = (1 + i)2 (1 i) = （ ）
A．2 + 2i B．2 2i C． 2 + 2i D． 2 2i
【解题思路】利用复数的运算法则即可得出．
【解答过程】 = (1 + i)2 (1 i) = 2i(1 i) = 2 + 2i．
故选：A．
2．（23-24 高一下· 2陕西商洛·期末）已知复数 满足 i = 1 i，则 = （ ）
A．1 + 2i B．1 2i C． 1 + 2i D． 1 2i
2
【解题思路】由题意可得 = 1 i+i，再根据复数的四则运算计算即可.
i = 2【解答过程】因为 1 i，
2 2(1+i)
所以 = 1 i+i=(1 i)(1+i)+i=1+2i.
故选：A.
3．（23-24 高一下·广东佛山·期中）计算：
(1)( 3 4i) + (2 + i) (1 5i)
(2)( 3 + 2i)( 3 + 2i)
(3)3+2i 3 2i2 3i 2+3i
【解题思路】（1）根据复数的加、减法运算求解；
（2）根据复数的乘法运算求解；
（3）根据复数的除法运算求解.
【解答过程】（1）由题意可得：( 3 4i) + (2 + i) (1 5i) = ( 3 + 2 1) + ( 4 + 1 + 5)i = 2 + 2i.
2 2
（2）由题意可得：( 3 + 2i)( 3 + 2i) = ( 3) + ( 2) i2 = 3 2 = 5.
3+2i 3 2i (3+2i)(2+3i) (3 2i)(2 3i) 2 2
（3 6+13i+6i 6 13i+6i）由题意可得：2 3i 2+3i = (2 3i)(2+3i) (2+3i)(2 3i) = 13 13 = 2i.
4．（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
(1)( 1+i)(2+i)i3 ；
(2)(1+2i)
2+3(1 i)
2+i ；
6
(3) 1+i + 2+ 3i1 i .3 2i
【解题思路】根据复数除法的运算法则，结合复数乘方、加减法的运算法则对（1）（2）（3）进行求解即
可.
1 ( 1+i)(2+i) = 2 i+2i 1 = 3+i = ( 3+i)i【解答过程】（ ） i3 i i i2 = 1 3i；
2 i(2 i)
2 (1+2i) +3(1 i) = 1+4i 4+3 3i = i = = 1 + 2（ ） 2+i 2+i 2+i (2+i)(2 i) 5 5i；
6 2 6
3 1+i + 2+ 3i = (1+i) +( 2+ 3i)( 3+ 2i) = 1+2i 1
6
+ 6+2i+3i 6（ ） 1 i 3 2i (1 i)(1+i) ( 3 2i)( 3+ 2i) 2 5
= i6 + i = i2 + i = 1 + i.
题型 7 根据复数的四则运算结果求参数
1．（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数 1 = + 3i， 2 = 4 + i， , 为实数，若 1 + 2为实数， 1
2为纯虚数，则 + = （ ）
A． 7 B．7 C． 1 D．1
【解题思路】由 1 + 2为实数， 1 2为纯虚数列方程求出 , ，进而可得 + 值.
【解答过程】因为 1 + 2 = 4 + (3 + )i为实数，所以3 + = 0，即 = 3，
又 1 2 = + 4 + (3 )i
+ 4 = 0
为纯虚数，所以 3 ≠ 0 ，即 = 4且 ≠ 3，
= 4
综上可知 = 3 ，所以 + = 7.
故选：A.
2．（2024·河南·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数 = +i1+i( ∈ )的实部是虚部的 2 倍，则 = （ ）
A 1 B 1 1 1． 3 ．3 C． 2 D．2
【解题思路】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.
( +i)(1 i) +1 1 +1 1
【解答过程】 = (1+i)(1 i) = 2 + 2 i，所以 2 = 2 × 2 ，
1
解得 = 3，
故选：B.
3 i 3．（24-25 高一·全国·随堂练习）设复数 = 1 i( > 0)，若复数 = ( + i)的虚部减去其实部的差等于2，
求复数 ．
【解题思路】先化简复数 ，再化简复数 ，再由 的虚部减去其实部，即可求得 ，再将 代入 求解即可.
i ( i)(1+i) = = = +( 1)i i
2
= ( +1)+( 1)i +1 1【解答过程】由已知， 1 i (1 i)(1+i) 1 i2 2 = 2 + 2 i，
∴ = ( + i) = +1 + 1 i +1 + 1 i + i = +1 + 1 i +1 + +1 i
2 2 2 2 2 2 2 2
= ( +1)
2 ( +1)2 2 2
4 + 4 i+
1
4 i +
1i2 2 2 2 24 =
( +1) 1 + ( +1) + 1 i
4 4 4 4
2 2
∴ ( +1) 1 ( +1)
2
+
2 1
复数 的实部为 4 4 ，虚部为 4 4 ，
( +1)2 2 1 ( +1)2 2 1 2 1 3由已知 + =
4 4 4 4 2
= 2，
∵ > 0，∴解得 = 2.
∴ (2+1)
2 22 1 3 (2+1)2 22 1
复数 的实部为 4 4 = 2，虚部为 4 + 4 = 3，
∴ 3复数 = 2 +3i.
4．（23-24 2高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数 对应的点在第四象限，设 + = ( ∈ C)．
(1)若 = 2，求 ；
(2)若 ∈ R，求| |．
【解题思路】（1）设 = + i( > 0, < 0)，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类
列出方程组，解之即可；
（2）根据 ∈ R，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出 , 关系，再根据复数的模的计算公式即
可得解.
【解答过程】（1）设 = + i( > 0, < 0)，
由 + 2 = ，得 + i +
2
+ i = ，
2( i)
即 + i + 2 2 ( + i)( i) = ，整理得 + 2+ 2 + i = ， 2+ 2
因为 = 2 2 2 ，即 + 2+ 2 + i = 2， 2+ 2
+ 2
2
= 2
所以 +
2 = 1
2
，解得 = 1 ，
2
= 0
+ 2
所以 = 1 i；
（2）由（1）结合 ∈ R，
2
可得 2+ 2 = 0，所以
2 + 2 = 2，
所以| | = 2 + 2 = 2.
题型 8 求辅角主值
1．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）复数cos4 isin4的辐角主值是（ ）
A B 3 C 5 D 7 ．4 ． 4 ． 4 ． 4
【解题思路】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值．
【解答过程】复数cos4 isin =
2 24 i2 2
= cos7 4 + isin
7
4 ，
所以复数cos4 isin
7
4的辐角主值是 4 ．
故选：D.
2．（23-24 高三上·福建泉州·期中）任意复数 = + i（ 、 ∈ ，i为虚数单位）都可以写成 = (cos + isin )
的形式，其中 = 2 + 2(0 ≤ < 2 ) 3该形式为复数的三角形式，其中 称为复数的辐角主值.若复数 = 2
+ 12i，则 的辐角主值为（ ）
A B 2 5 ．6 ．3 C． 3 D． 6
【解题思路】将复数写成三角形式，可得结果.
3 1 3 1
【解答过程】复数 = + 2i = cos6 + isin6，因此，复数 = + i的辐角主值为 .2 2 2 6
故选：A.
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值
(1)-4
(2)2i
(3) 3 3i
(4)2 cos π isin π
3 3
【解题思路】利用复数的辐角求主值的方法求解即可.
【解答过程】（1） 4 = 4(cosπ + isinπ)，所以arg = π；
π
（2）2i = 4 cos π +isin π ，所以arg = 2；2 2
（3） 3 3i= 6 cos 5π +isin 5π ，所以arg =
5π
4 4 4
；
（4 π π）2 cos isin = 2 cos 5π
5π
+isin 5π ，所以arg = .
3 3 3 3 3
4．（2024 高一下·上海·专题练习）已知 ( ) = 1，且 ( 1 2) = 4 + 4i，若 1 = 2 2i．
(1)求复数 1 = 2 2i的三角形式，并且复数 1的辐角主值arg 1；
(2) | 1 2求 + |．1 2
【解题思路】（1）直接利用三角变换可得复数 1的三角形式及辐角主值arg 1.
（2）设 2 = + i( , ∈ R)，结合 ( ) = 1求得 2，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模
的计算公式求解．
【解答过程】（1） 1 = 2 2i = 2 2( 2 2i) = 2 2(cos
7
4 + isin
7
4 )，2 2
则arg = 7 1 4 ；
（2）设 2 = + i( , ∈ R)，而 1 = 2 2i，则 1 2 = (2 ) ( + 2)i，
又 ( ) = 1，于是 ( 1 2) = (1 ) + ( + 2)i = 4 + 4i，
1 = 4
则 + 2 = 4 ，解得 = 3， = 2，即 2 = 3 + 2i，
1 2 5 4i 1 2
因此 2 2 + = 1 = 5 + 4i，所以| + | = ( 5) + 4 = 41．1 2 1 2
题型 9 复数的代数形式与三角形式的互化
1．（24-25 高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）：
(1) 3 + i；
(2)1 i；
(3)-1
【解题思路】求出模及幅角，即可将复数的代数形式化为三角形式．
2 3 1 π
【解答过程】（1）因为 = ( 3) + 1 = 2，cos = ，sin = 2，所以 = ，2 6
于是 3 + i = 2 cos π + isin π ．
6 6
7π
（2）因为 = 1 + ( 1)2 = 2，cos = 2，sin = 2，所以 = 4 ，2 2
于是1 i = 2 cos 7π + isin 7π ．
4 4
（3）因为 = ( 1)2 + 0 = 1，cos = 1，sin = 0，所以 = π，
于是 1 = cosπ + isinπ．
2．（24-25 高一上·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示：
(1)1 12 2i；
(2) 1 3i.
【解题思路】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解.
2 2
【解答过程】（1） = 1 + 1 = 2，cos = 2，sin = 2，
2 2 2 2 2
设 为复数的辐角主值， 7π为第四象限的角，故 = 4 .
因为cos7π = 2 7π 24 ，sin2 4 = ，2
1 1i = 2 cos 7π + isin 7π所以2 2 .2 4 4
（2） 1 3i = 2 1 3 i = 2 cos 4π + isin 4π .
2 2 3 3
3．（24-25 高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式．
(1)12 cos
π isin π ；
4 4
(2) 1 i
(3) 1 cos π2 + isin
π
；
3 3
(4) i( < 0)
【解题思路】根据复数的三角表示公式，可得答案.
【解答过程】（1 1 1）2 cos
π isin π = 2 2 i = 2 2i，
4 4 2 2 2 4 4
2 2 2 2 = = 1 1其中 + ，故三角形式为 2 2
1 7π 7π
4 4 2 2
i = 2 cos + isin ；2 2 4 4
（2）由 1 i，则 = ( 1)2 + ( 1)2 = 2，cos = 2，2
5π
显然复数对应的点在第三象限，所以 1 i的辐角 = 4 ，
所以 1 i = 2 cos 5π + isin 5π .
4 4
3 1 π π 1 1 1 3（ ） 2 cos + isin = +
3
2 i = i，3 3 2 2 4 4
1 2 2 1 1 1 1 4π 4π
其中 = + 3 = 2，故三角形式为
3
2 i = 2 cos + isin ；4 4 2 2 3 3
π
（4）因为 < 0，所以 = 0 + 2 = | | = ，复数对应的点在 轴的负半轴上，取 = 2，
所以 i = cos π + isin π .
2 2
4．（24-25 高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 3i；
(4) 3 + 1i．
2 2
【解题思路】对（1）（2）（3）（4）中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其
三角形式.
【解答过程】（1）设复数的模为 ，辐角主值为 ．
6 对应的向量如下图中 1，
∵ = 6，cos = 1，sin = 0，又 ∈ [0,2π)，
∴ = 0，∴6 = 6(cos0 + isin0)．
（2）设复数的模为 ，辐角主值为 ．
1 + i对应的向量如下图中 2，
∵ = 2，cos = 2，sin = 2，2 2
π
又 ∈ [0,2π)，∴ = 4，
∴1 + i = 2(cos4 + isin4)．
（3）设复数的模为 ，辐角主值为 ．
1 3i对应的向量如下图中 3，
∵ = 11 + 3 = 2，cos = 32，sin = ，2
5π
又 ∈ [0,2π)，∴ = 3 ，
∴1 3i = 2(cos
5
3 + isin
5
3 )．
（4）设复数的模为 ，辐角主值为 ．
3 + 1
2 2
i对应的向量如下图中 4，
∵ = 1，cos = 3，sin = 1
2 2
，
又 ∈ [0,2π)，
∴ = 5π6 ，
∴ 3 + 12i = cos
5
6 + isin
5
2 6
．
题型 10 复数乘、除运算的三角表示
9
1．（2024·辽宁·模拟预测）(cos75° + isin75°) × 2 2 i =2 2 （ ）
A 3 + 1i B 3 1．
2 2
．
2 2
i
C 1 3 1 3．2 + i D．2 i2 2
【解题思路】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案.
9 2 2 2
2 2 i = 2 2 2 2【解答过程】 i × i × 2 22 2 2 2 2 2 i2 2
2
= 1 i 1 × 1 i 1 × 2 2 i = 2 2i2 2 2 2 ，2 2 2 2
2 2
(cos75° + isin75°) × 2 2 i
= (cos75° + isin75°) × (cos315 + isin315 )
= cos(75 + 315 ) + isin(75 + 315 )
3 1
= cos390 + isin390 = cos30 + isin30 = 2 + 2 i
故选：A.
2．（24-25 高一下· π π全国·课后作业）已知复数 1 = 2 cos + isin 对应的向量绕原点逆时针旋转6后得到12 12
的向量对应的复数为 2，且 = 1 2，则 = （ ）
A．2 + 2 3i B．1 + 3i
C． 2 2 3i D． 1 3i
【解题思路】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可.
【解答过程】
π π π π π π π
逆时针旋转6后得 2 = 2 cos + isin ，所以 = 1 2 = 2 cos + isin × 2 cos + isin = 44 4 12 12 4 4
cos π + isin π =2 + 2 3i.
3 3
故选：A.
3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：
(1) 3 cos π + isin π 5 cos π + isin π ；
4 4 6 6
(2)(1 + i) ÷ 3 cos 3π + isin 3π ．
4 4
【解题思路】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可.
【解答过程】（1） 3 cos π + isin π 5 cos π +isin π
4 4 6 6
π π π π
= 3 × 5 cos 4 + 6 + isin 4 + 6
5π 5π
= 15 cos 12 + isin 12
= 3 10 30 + 3 10+ 30i．
4 4
（2）(1 + i) ÷ 3 cos 3π + isin 3π
4 4
π π 3π 3π
= 2 cos 4 + isin 4 ÷ 3 cos 4 + isin 4
= 2 cos π 3π + isin π 3π = 6i．
3 4 4 4 4 3
4．（24-25 高一·全国·课后作业）计算：
(1)3 cos π + isin π × 2 cos π isin π
6 6 6 6
(2) 6 cos π + isin π ÷ 3 cos π isin π
3 3 6 6
(3) 1 + 3 i × cos π isin π
2 2 6 6
(4)(1 i) ÷ cos π + isin π
6 6
【解题思路】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.
π π π π π π π π
【解答过程】（1）3 cos + isin × 2 cos isin = 6 cos + isin × cos +isin
6 6 6 6 6 6 6 6
π π π π
= 6 cos 6 6 + isin 6 6 = 6
2 π（ ） 6 cos + isin π ÷ 3 cos π isin π
3 3 6 6
= 2 cos π + isin π ÷ cos π + isin π = 2 cos π + isin π = 2i.
3 3 6 6 2 2
（3 1） + 3 i × cos π isin π = cos 2π + isin 2π × cos π +isin π
2 2 6 6 3 3 6 6
π π
= cos 2 + isin 2 = i
（4）(1 i) ÷ cos π + isin π = 2 cos π + sin π ÷ cos π + isin π
6 6 4 4 6 6
π π π π
= 2 cos 4 6 + sin 4 6
= 2 2 × 3 2 × 1 2 × 3 + 2 × 1 i = 3 1 3+1i.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2专题 7.5 复数全章十大基础题型归纳（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
题型 1 复数的分类及辨析
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数 = ，那么 + ( + )i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果 = 0，那么 = + i是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
2．（23-24 高一下·上海浦东新·期中）下列命题一定成立的是（ ）
A．若 ∈ C，则 2 ≥ 0
B．若 , , ∈ C,( )2 + ( )2 = 0，则 = =
C．若 ∈ R，则( + 2)i是纯虚数
D．若 , ∈ C, > 0且 > 0，则 > 0且 + > 0
3．（24-25 高一·上海·课堂例题）在下列复数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？各数的实部和
虚部分别是什么？
π π
5 + 6i、 2 + 2i、 3、i、0、cos5 + isin2 2 5．
4．（24-25 高一下·上海·课后作业）若 = ( 2 3 + 2) + ( 2 2)i( ∈ )为实数，求出复数 1 =
( 2 5 + 6) + ( + 1)i，并判断复数 1是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
题型 2 已知复数的类型求参数
1．（23-24 高一下·福建福州·期末）若( 2 4) + ( 2 +3 + 2)i是纯虚数，则实数 = （ ）
A． ± 2 B． 2 C．2 D． 1
2．（23-24 高一下·安徽安庆·期末）已知 a，b 均为实数，复数： = 2 + ( 2 )i，其中 i 为虚数单位，
若 < 3，则 a 的取值范围为（ ）
A．( 1,3) B．( ∞, 1) ∪ (3, + ∞) C．( ∞, 3) ∪ (1, + ∞)
D．( 3,1)
3．（23-24 高一下·甘肃定西·期末）已知复数 = 2 +6 7 + ( 2 )i．
(1)若复数 是纯虚数，求实数 的值；
(2)当非零复数 的实部和虚部互为相反数时，求实数 的值．
2
4．（23-24 6高一下·广东清远·期末）已知复数 = 2 +3 + ( 2 15)i，求当实数 为何值时；
(1) 为实数；
(2) 为纯虚数；
(3) 为虚数．
题型 3 复数的几何意义
1．（23-24 高一下·新疆巴音郭楞·期末）若 = 7 + 3i（i为虚数单位），则复数 的共轭复数 在复平面内
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（23-24 高一下·湖北· 3期末）当4 < < 1时，复数 (4 + i) (3 + i)在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（23-24 高一下·新疆巴音郭楞·期末）已知复数 = (3 2 2 1) + (6 2 + 5 + 1)i， ∈ ，i为虚数单
位.
(1)若复数 为纯虚数，求 的值；
(2)若复数 在复平面上对应的点在第一象限，求 的取值范围.
4．（23-24 高一·上海·课堂例题）求实数 m 的值或取值范围，使得复数 = ( 2 8 + 15) + ( 2 5 14)
i在复平面上所对应的点 分别位于
(1)实轴上；
(2)虚轴上；
(3)第四象限．
题型 4 复数的模的计算
1．（23-24 高一下·浙江宁波·期末）已知复数 = i的实部与虚部相等，则| i| = （ ）
A． 2 B． 5 C．2 2 D． 10
2．（23-24 高一下·福建厦门·期末）若| | = | 3| = | i|，则| | = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）若复数 = ( 1) + (2 1)i的模小于 10，求实数 x 的取值范围.
4 24-25 (4 3i)( 1+ 7i)．（ 高一·全国·随堂练习）已知 = ，求| |．
2 i
题型 5 复数的加、减运算
1．（23-24 高一下·贵州毕节·阶段练习）若 1 = 13 3i， 2 = 4 + i，则 1 2 = （ ）
A．9 4i B．9 2i C． 9 + 4i D． 9 + 2i
2．（24-25 高一下·全国·课后作业）若 + 2 3i = 3 2i（i为虚数单位），则 = （ ）
A．5 5i B．1 + i C．1 + 5i D．5 i
3．（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
(1) 2 1 i + 1 2i ；
2 2
(2)(3 + 2i) + ( 3 2)i；
(3)(1 + 2i) + (i + i2) + |3 + 4i|；
(4)(6 3i) + (3 + 2i) (3 4i) ( 2 + i)．
4．（2024 高一下·全国·专题练习）计算
(1)(2 + 4i) + (3 4i)
(2)5 (3 + 2i)
(3)( 3 4i) + (2 + i) (1 5i)
(4)(2 i) (2 + 3i) +4i
题型 6 复数的乘、除运算
1．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）复数 = (1 + i)2 (1 i) = （ ）
A．2 + 2i B．2 2i C． 2 + 2i D． 2 2i
2．（23-24 2高一下·陕西商洛·期末）已知复数 满足 i = 1 i，则 = （ ）
A．1 + 2i B．1 2i C． 1 + 2i D． 1 2i
3．（23-24 高一下·广东佛山·期中）计算：
(1)( 3 4i) + (2 + i) (1 5i)
(2)( 3 + 2i)( 3 + 2i)
(3)3+2i 3 2i2 3i 2+3i
4．（2024 高一下·全国·专题练习）计算：
(1)( 1+i)(2+i)i3 ；
(2)(1+2i)
2+3(1 i)
2+i ；
1+i 6(3) + 2+ 3i1 i .3 2i
题型 7 根据复数的四则运算结果求参数
1．（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）复数 1 = + 3i， 2 = 4 + i， , 为实数，若 1 + 2为实数， 1
2为纯虚数，则 + = （ ）
A． 7 B．7 C． 1 D．1
2．（2024· +i河南·模拟预测）已知i是虚数单位，若复数 = 1+i( ∈ )的实部是虚部的 2 倍，则 = （ ）
A 1 B 1 1 1． 3 ．3 C． 2 D．2
3．（24-25 · · i 3高一 全国 随堂练习）设复数 = 1 i( > 0)，若复数 = ( + i)的虚部减去其实部的差等于2，
求复数 ．
4．（23-24 · 2高一下 江苏常州·期中）在复平面内，复数 对应的点在第四象限，设 + = ( ∈ C)．
(1)若 = 2，求 ；
(2)若 ∈ R，求| |．
题型 8 求辅角主值
1．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）复数cos4 isin4的辐角主值是（ ）
A B 3 ．4 ． 4 C
5 D 7 ． 4 ． 4
2．（23-24 高三上·福建泉州·期中）任意复数 = + i（ 、 ∈ ，i为虚数单位）都可以写成 = (cos + isin )
的形式，其中 = 2 + 2(0 ≤ < 2 ) 3该形式为复数的三角形式，其中 称为复数的辐角主值.若复数 = 2
+ 12i，则 的辐角主值为（ ）
A B 2 ．6 ．3 C． 3 D
5
． 6
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）写出下列复数的辐角的主值
(1)-4
(2)2i
(3) 3 3i
(4)2 cos π isin π
3 3
4．（2024 高一下·上海·专题练习）已知 ( ) = 1，且 ( 1 2) = 4 + 4i，若 1 = 2 2i．
(1)求复数 1 = 2 2i的三角形式，并且复数 1的辐角主值arg 1；
1 (2) 2求| + |．1 2
题型 9 复数的代数形式与三角形式的互化
1．（24-25 高一上·全国·课后作业）请将以下复数表示为三角形式（辐角取主值）：
(1) 3 + i；
(2)1 i；
(3)-1
2．（24-25 高一上·上海·课堂例题）将下列复数用三角形式表示：
(1)12
1
2i；
(2) 1 3i.
3．（24-25 高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式．
(1)12 cos
π isin π ；
4 4
(2) 1 i
(3) 12 cos
π + isin π ；
3 3
(4) i( < 0)
4．（24-25 高一·全国·课后作业）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)1 + i；
(3)1 3i；
(4) 3 + 1
2 2
i．
题型 10 复数乘、除运算的三角表示
9
1．（2024·辽宁·模拟预测）(cos75° + isin75°) × 2 2 i =2 2 （ ）
A 3 + 1． i B 3 1． i
2 2 2 2
C 1．2 +
3i D 1 3．
2 2
i
2
2．（24-25 π π高一下·全国·课后作业）已知复数 1 = 2 cos + isin 对应的向量绕原点逆时针旋转6后得到12 12
的向量对应的复数为 2，且 = 1 2，则 = （ ）
A．2 + 2 3i B．1 + 3i
C． 2 2 3i D． 1 3i
3．（24-25 高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：
(1) 3 cos π + isin π 5 cos π + isin π ；
4 4 6 6
(2)(1 + i) ÷ 3 cos 3π + isin 3π ．
4 4
4．（24-25 高一·全国·课后作业）计算：
(1)3 cos π + isin π × 2 cos π isin π
6 6 6 6
(2) 6 cos π + isin π ÷ 3 cos π isin π
3 3 6 6
(3) 1 + 3 i × cos π isin π
2 2 6 6
(4)(1 i) ÷ cos π + isin π
6 6
